ספרות: ספרות חסרות, ספירה וספרת האחדות · פעולות חשבון במספרים טבעיים · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

בשאלות האלה המספר מוסתר, ורק חלק מהספרות גלוי.

הכלי המרכזי הוא ההעברה: בחיבור של שני מספרים, כל טור מקבל לכל היותר $1$ מהטור שמימינו.

ספרות חסרות בתרגיל במאונך

בתרגיל $5\square3 - 27\square = 268$ חסרות שתי ספרות. מהן?

להציג את התשובה והפתרון

$543 - 275 = 268$ . הופכים לחיבור: $268 + 27\square = 5\square3$ . באחדות $8 + \square$ נגמר ב- $3$ , ולכן $\square = 5$ ומעבירים $1$ . בעשרות $6 + 7 + 1 = 14$ : רושמים $4$ ומעבירים $1$ . במאות $2 + 2 + 1 = 5$ ✓.

כמה ספרות כתבנו?

1, \ldots, 9

$9$ מספרים, ספרה אחת לכל אחד — $9$ ספרות

10, \ldots, 99

$90$ מספרים, שתי ספרות — $180$ ספרות

100, \ldots, 999

$900$ מספרים, שלוש ספרות — $2{,}700$ ספרות

פעילות אינטראקטיבית

כמה פעמים כותבים את הספרה $1$ מ- $1$ עד $100$ ?

סופרים לפי מקום ולא לפי מספרים. קודם — הספרה $1$ במקום האחדות.

1,\ 11,\ 21,\ \ldots,\ 91 \ \to\ 10

עכשיו — $1$ במקום העשרות.

10,\ 11,\ \ldots,\ 19 \ \to\ 10

ועוד $1$ אחד במקום המאות, ב- $100$ .

10 + 10 + 1 = 21

ב- $11$ כתבנו את $1$ פעמיים, ולכן הוא נספר פעמיים. מי שסופר מספרים שיש בהם $1$ מקבל $20$ — ומפספס.

בשאלות «כמה פעמים כתבנו ספרה» סופרים כל מקום (אחדות, עשרות, מאות) לחוד.

לעשות את הפעילות ב-elev

כמה ספרות צריך כדי לכתוב את כל המספרים מ- $1$ עד $120$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$252$ . $9$ ספרות ל- $1$ עד $9$ , $180$ ל- $10$ עד $99$ , ו- $21$ מספרים תלת-ספרתיים ( $100$ עד $120$ ) — עוד $63$ . $9 + 180 + 63 = 252$ .

ספרת האחדות של חזקה

ספרת האחדות של מכפלה תלויה רק בספרות האחדות של הגורמים.

לכן ספרת האחדות של חזקות חוזרת במחזור קצר.

ספרת האחדות של חזקות

המספר	חזקה 1	חזקה 2	חזקה 3	חזקה 4	חזקה 5
$2$	$2$	$4$	$8$	$6$	$2$
$3$	$3$	$9$	$7$	$1$	$3$
$7$	$7$	$9$	$3$	$1$	$7$
$4$	$4$	$6$	$4$	$6$	$4$
$9$	$9$	$1$	$9$	$1$	$9$

המחזור של

2

3

ו-

7

באורך

4

; של

4

ו-

9

באורך

2

. ל-

5

ול-

6

ספרת האחדות לא משתנה.

מהי ספרת האחדות של $2^{10}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$4$ . המחזור של $2$ : $2, 4, 8, 6$ — באורך $4$ . $10 = 4 \times 2 + 2$ , ולכן כמו החזקה השנייה: $4$ . ואכן $2^{10} = 1{,}024$ .

מספרי מראה

(10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)

למשל $47 + 74 = 121 = 11 \times 11$

(10a + b) - (10b + a) = 9(a - b)

למשל $82 - 28 = 54 = 9 \times 6$

ההפרש בין מספר דו-ספרתי למספר ההפוך לו הוא $63$ . מה ההפרש בין שתי הספרות שלו?

להציג את התשובה והפתרון

$7$ . $9 \times (a - b) = 63$ , ולכן $a - b = 7$ . למשל $81 - 18 = 63$ או $92 - 29 = 63$ .

גוזרים רצועת ספרות

שלוש טעויות שעולות נקודות.

192 : 2 = 96

100

לא לכל העמודים יש שתי ספרות. עמודים $1$ עד $9$ משתמשים בספרה אחת.

7^{20} \to 7 \times 20 = 140 \to 0

7^{20} \to 1

חזקה אינה כפל במעריך: $7^{20}$ הוא $7$ כפול עצמו עשרים פעמים.

\begin{aligned}3\square7 + 4\square8 &= 825 \Rightarrow \square + \square \\ &= 1\end{aligned}

\square + \square = 11

שכחו את ההעברה מהאחדות ואת ההעברה למאות.

בשאלת ספרות חסרות מתחילים תמיד מהאחדות, ובודקים בסוף את הטור השמאלי — הוא זה שמגלה אם הייתה העברה.

תרגילים

תרגיל 1

	אחדות	עשרות	מאות
המספר הראשון	6	?	2
המספר השני	5	?	3	+
הסכום	1	4	6	=

בתרגיל $2\square6 + 3\square5 = 641$ חסרות שתי ספרות. מהו סכומן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

6 + 5 = 11

באחדות: $1$ , ומעבירים $1$

\square + \square + 1 = 14

בעשרות צריך לצאת $4$ ולהעביר $1$

2 + 3 + 1 = 6

בדיקה במאות ✓

\square + \square = 13

התשובה היא $13$ . מי ששוכח את שתי ההעברות מקבל $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה ספרות צריך כדי לכתוב את כל המספרים מ- $1$ עד $60$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 111

הפתרון:

9 \times 1 = 9

$1$ עד $9$

60 - 10 + 1 = 51

המספרים הדו-ספרתיים

9 + 51 \times 2 = 111

התשובה היא $111$ . $120$ מתקבל כשנותנים לכל המספרים שתי ספרות, ו- $109$ כשסופרים $50$ מספרים דו-ספרתיים במקום $51$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי ספרת האחדות של $3^{15}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $7$

הפתרון:

3,\ 9,\ 7,\ 1,\ 3,\ \ldots

מחזור באורך $4$

15 = 4 \times 3 + 3

שארית $3$

\to 7

כמו החזקה השלישית

התשובה היא $7$ . $5$ מתקבל מ- $3 \times 15 = 45$ — חזקה אינה כפל. $3$ מתאים למי שמחלק באורך מחזור שגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ההפרש בין מספר דו-ספרתי למספר ההפוך לו מתחלק תמיד ב- $9$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b

= 9(a - b)

\begin{aligned}73 - 37 &= 36 \\ &= 9 \times 4\end{aligned}

דוגמה

הטענה נכונה. גם כשהספרות שוות ההפרש הוא $0$ , ו- $0$ מתחלק ב- $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

	אחדות	עשרות	מאות	אלפים
המספר הראשון	7	?	3
המספר השני	9	4	?		+
הסכום	6	2	0	1	=

בתרגיל $3\square7 + \square49 = 1{,}026$ חסרות שתי ספרות. מהי הספרה החסרה במספר השני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

7 + 9 = 16

באחדות: $6$ , ומעבירים $1$

\square + 4 + 1 = 12

בעשרות: $\square = 7$ , ומעבירים $1$

3 + \square + 1 = 10

במאות: $\square = 6$ , וה- $1$ עובר לאלפים

הספרה היא $6$ : $377 + 649 = 1{,}026$ . מי ששוכח את ההעברה מהעשרות מקבל $7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

למספור עמודי ספר, מעמוד $1$ , השתמשו ב- $300$ ספרות. כמה עמודים בספר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 136

הפתרון:

9 + 180 = 189

עמודים $1$ עד $99$

300 - 189 = 111

ספרות לעמודים התלת-ספרתיים

111 : 3 = 37

$37$ עמודים: $100$ עד $136$

יש $136$ עמודים. מי שמחלק את $300$ ב- $3$ מקבל $100$ — אבל עמודים $1$ עד $99$ קצרים יותר. ו- $99 + 37$ , לא $100 + 37$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהי ספרת האחדות של $2^{2026}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $4$

הפתרון:

2,\ 4,\ 8,\ 6,\ 2,\ \ldots

מחזור באורך $4$

2{,}026 = 4 \times 506 + 2

שארית $2$

\to 4

כמו החזקה השנייה

התשובה היא $4$ . $6$ מתאים למי שחושב ש- $2{,}026$ מתחלק ב- $4$ — אבל $26$ אינו מתחלק ב- $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התאימו לכל חזקה את ספרת האחדות שלה.

$3^{8}$
$4^{7}$
$2^{5}$
$7^{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3^{8}$ — $1$ · $4^{7}$ — $4$ · $2^{5}$ — $2$ · $7^{3}$ — $3$

הפתרון:

3^{8}:\ 8 = 4 \times 2

סוף מחזור — $1$

4^{7}:\ 4,\ 6,\ 4,\ \ldots

חזקה אי-זוגית — $4$

\begin{aligned}2^{5} &= 32 \\ \quad 7^{3} &= 343\end{aligned}

בכל אחת: מוצאים את המחזור, ומחלקים את המעריך באורכו. השארית אומרת איפה במחזור עוצרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הסכום של מספר דו-ספרתי והמספר ההפוך לו מתחלק תמיד ב- $11$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b

= 11(a + b)

\begin{aligned}38 + 83 &= 121 \\ &= 11 \times 11\end{aligned}

דוגמה

הטענה נכונה. בהפרש של מספרי מראה מופיע $9$ , ובסכום — $11$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה ספרות כותבים? השלימו את הטבלה.

המספרים	כמה מספרים	כמה ספרות
$1$ עד $9$	____	____
$10$ עד $99$	____	____
$100$ עד $250$	____	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1$ עד $9$ : 9, 9 · $10$ עד $99$ : 90, 180 · $100$ עד $250$ : 151, 453

הפתרון:

99 - 10 + 1 = 90

מספרים דו-ספרתיים

250 - 100 + 1 = 151

מספרים תלת-ספרתיים

151 \times 3 = 453

בכל שורה: קודם כמה מספרים (האחרון פחות הראשון, ועוד $1$ ), ואז כפול מספר הספרות של כל אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המספר	חזקה 1	חזקה 2	חזקה 3	חזקה 4	חזקה 5
$2$	$2$	$4$	$8$	$6$	$2$
$3$	$3$	$9$	$7$	$1$	$3$
$7$	$7$	$9$	$3$	$1$	$7$
$4$	$4$	$6$	$4$	$6$	$4$
$9$	$9$	$1$	$9$	$1$	$9$

המספר	חזקה 1	חזקה 2	חזקה 3	חזקה 4	חזקה 5
$2$	$2$	$4$	$8$	$6$	$2$
$3$	$3$	$9$	$7$	$1$	$3$
$7$	$7$	$9$	$3$	$1$	$7$
$4$	$4$	$6$	$4$	$6$	$4$
$9$	$9$	$1$	$9$	$1$	$9$

ספרות חסרות בתרגיל במאונך

כמה ספרות כתבנו?

ספרת האחדות של חזקה

מספרי מראה

גוזרים רצועת ספרות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev

המספר	חזקה 1	חזקה 2	חזקה 3	חזקה 4	חזקה 5
$2$	$2$	$4$	$8$	$6$	$2$
$3$	$3$	$9$	$7$	$1$	$3$
$7$	$7$	$9$	$3$	$1$	$7$
$4$	$4$	$6$	$4$	$6$	$4$
$9$	$9$	$1$	$9$	$1$	$9$