מחלקים, ראשוניים וסימני התחלקות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

aa הוא מחלק של nn אם nn מתחלק ב-aa בלי שארית.

אז nn הוא כפולה של aa. למשל: 66 מחלק את 4242, ו-4242 כפולה של 66.

סימני התחלקות

2, 5, 102,\ 5,\ 10

ספרת האחדות: זוגית / 00 או 55 / 00

44

שתי הספרות האחרונות יוצרות מספר שמתחלק ב-44

3, 93,\ 9

סכום הספרות מתחלק ב-33 / ב-99

66

זוגי וגם מתחלק ב-33

1111

סכום מתחלף — ספרה בפלוס, ספרה במינוס — מתחלק ב-1111 (גם 00 נחשב)

האם 5,1845{,}184 מתחלק ב-44? וב-66?

להציג את התשובה והפתרון

בשניהם. 8484 מתחלק ב-44. המספר זוגי וסכום ספרותיו 1818, שמתחלק ב-33 — ולכן הוא מתחלק גם ב-66.

כמה מחלקים יש למספר?

מחלקים באים בזוגות: אם 33 מחלק את 8484, גם 84:3=2884 : 3 = 28 מחלק אותו.

לכן בודקים רק מחלקים קטנים, עד שהזוגות נפגשים.

רק למספר ריבועי (1,4,9,16,25,…1, 4, 9, 16, 25, \ldots) יש מספר אי-זוגי של מחלקים: בזוג 6×66 \times 6 של 3636, המחלק 66 נספר פעם אחת בלבד.

כמה מחלקים יש ל-100100?

להציג את התשובה והפתרון

99. 1×1001 \times 100, 2×502 \times 50, 4×254 \times 25, 5×205 \times 20, 10×1010 \times 10 — חמישה זוגות, אבל 1010 נספר פעם אחת. 100100 ריבועי, ולכן מספר המחלקים אי-זוגי.

מספרים ראשוניים

למספר ראשוני יש בדיוק שני מחלקים: 11 והמספר עצמו.

11 אינו ראשוני — יש לו מחלק אחד בלבד. 22 הוא הראשוני הזוגי היחיד.

הנפה שלמטה מסננת את הראשוניים עד 100100: כל ראשוני מוחק את הכפולות שלו.

האם 9191 ראשוני?

להציג את התשובה והפתרון

לא. 91=7×1391 = 7 \times 13. מספרים כמו 51=3×1751 = 3 \times 17, 57=3×1957 = 3 \times 19 ו-9191 נראים ראשוניים, ולכן כותבי מבחנים אוהבים אותם.

זוגי ואי-זוגי — גם עם אותיות

4+6=104 + 6 = 10

זוגי ועוד זוגי — זוגי

3+5=83 + 5 = 8

אי-זוגי ועוד אי-זוגי — זוגי

4+5=94 + 5 = 9

זוגי ועוד אי-זוגי — אי-זוגי

3×5=153 \times 5 = 15

אי-זוגי כפול אי-זוגי — אי-זוגי

2×7=142 \times 7 = 14

די בגורם זוגי אחד, והמכפלה זוגית

שלוש טעויות שעולות נקודות.

4×6=244 \times 6 = 24
1212

מספר שמתחלק ב-44 וב-66 מתחלק בוודאות ב-1212, לא ב-2424. ל-44 ול-66 יש גורם משותף, 22, ו-1212 עצמו הוא דוגמה נגדית.

1,352: 1+3+5+2=111{,}352:\ 1 + 3 + 5 + 2 = 11
52=4×1352 = 4 \times 13

סימן ההתחלקות ב-44 אינו סכום הספרות. בודקים את שתי הספרות האחרונות, ו-1,3521{,}352 מתחלק ב-44.

45: 1, 3, 5, 4545:\ 1,\ 3,\ 5,\ 45
45: 1, 3, 5, 9, 15, 4545:\ 1,\ 3,\ 5,\ 9,\ 15,\ 45

מחלקים מוצאים בזוגות, לא בניחוש. כך לא שוכחים את 99 ואת 1515.

שאלה שכתוב בה «בוודאות» נופלת מדוגמה נגדית אחת. לפני שבוחרים, נסו מספרים קטנים: 11, 22, 33.

תרגילים

תרגיל 1

כמה מחלקים יש למספר 3636?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

1×36, 2×18, 3×12, 4×9, 6×61 \times 36,\ 2 \times 18,\ 3 \times 12,\ 4 \times 9,\ 6 \times 6

חמישה זוגות

4×2+1=94 \times 2 + 1 = 9

בזוג 6×66 \times 6 יש מחלק אחד בלבד

יש 99 מחלקים. מי שעונה 1010 סופר את 66 פעמיים — 3636 ריבועי, ולכן מספר המחלקים שלו אי-זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מספר שמתחלק ב-44 וגם ב-66 מתחלק בוודאות גם ב-2424.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

12:4=312:6=2\begin{aligned}12 : 4 &= 3 \\ \quad 12 : 6 &= 2\end{aligned}

1212 מתחלק בשניהם

12<2412 < 24

אבל לא ב-2424

הטענה שגויה. 1212 הוא דוגמה נגדית. מה שנכון בוודאות: המספר מתחלק ב-1212, הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של 44 ו-66.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באיזו ספרה יש להחליף את □\square כדי שהמספר 52□452\square4 יתחלק ב-99?

  1. 44
  2. 77
  3. 99
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 77

הפתרון:

5+2+4=115 + 2 + 4 = 11

סכום הספרות הידועות

11+7=1811 + 7 = 18

הכפולה הקרובה של 99

5,274=9×5865{,}274 = 9 \times 586

בדיקה ✓

התשובה היא 77. עם 11 או עם 44 הסכום הוא 1212 או 1515 — מתחלק ב-33 בלבד, לא ב-99. עם 99 הסכום 2020.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

aa מספר אי-זוגי ו-bb מספר זוגי. איזה מהביטויים הבאים הוא בוודאות אי-זוגי?

  1. 2a+b2a + b
  2. a+b+1a + b + 1
  3. a×ba \times b
  4. a+ba + b
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד a+ba + b

הפתרון:

a+ba + b

אי-זוגי ועוד זוגי — אי-זוגי

a×b,2a+ba \times b,\quad 2a + b

גורם זוגי, או זוגי ועוד זוגי — זוגיים

a+b+1a + b + 1

אי-זוגי ועוד 11 — זוגי

התשובה היא a+ba + b. בדיקה עם a=3a = 3, b=4b = 4: a+b=7a + b = 7, ab=12ab = 12, 2a+b=102a + b = 10, a+b+1=8a + b + 1 = 8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מיינו את המספרים: מתחלק ב-66, או לא?

  • מתחלק ב-66
  • לא מתחלק ב-66
  • 104104
  • 132132
  • 246246
  • 315315
  • 424424
  • 522522
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 132132 — מתחלק ב-66 · 315315 — לא מתחלק ב-66 · 246246 — מתחלק ב-66 · 424424 — לא מתחלק ב-66 · 522522 — מתחלק ב-66 · 104104 — לא מתחלק ב-66

הפתרון:

132: 1+3+2=6132:\ 1 + 3 + 2 = 6

זוגי, וסכום הספרות מתחלק ב-33 ✓

424: 4+2+4=10424:\ 4 + 2 + 4 = 10

זוגי, אבל 1010 לא מתחלק ב-33 ✗

315315

סכום הספרות 99, אבל המספר אי-זוגי ✗

מתחלק ב-66 רק מי שעובר שני מבחנים: זוגי, וגם סכום ספרות שמתחלק ב-33. 315315 עובר רק את השני, ו-424424 רק את הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השלימו את הספרה החסרה.

כדי ש-7□67\square6 יתחלק ב-1111, צריך לכתוב במקום □\square את הספרה ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כדי ש-7□67\square6 יתחלק ב-1111, צריך לכתוב במקום □\square את הספרה 2.

הפתרון:

6−□+7=13−□6 - \square + 7 = 13 - \square

סכום מתחלף, מימין לשמאל

13−2=1113 - 2 = 11

צריך כפולה של 1111 — ורק 1111 אפשרי

726=11×66726 = 11 \times 66

בדיקה ✓

הספרה היא 22. מי שמחבר את כל הספרות (7+□+67 + \square + 6) משתמש בסימן של 33 ו-99, לא של 1111.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה מחלקים יש למספר 4848?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

1×48, 2×24, 3×16, 4×12, 6×81 \times 48,\ 2 \times 24,\ 3 \times 16,\ 4 \times 12,\ 6 \times 8

חמישה זוגות

5×2=105 \times 2 = 10

7×7=497 \times 7 = 49 כבר גדול מ-4848 — עוצרים

יש 1010 מחלקים. מי שעוצר ב-4×124 \times 12 שוכח את הזוג 6×86 \times 8 ומקבל 88.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איזה מהמספרים הבאים הוא ראשוני?

  1. 5151
  2. 9191
  3. 9797
  4. 8787
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 9797

הפתרון:

51=3×1787=3×29\begin{aligned}51 &= 3 \times 17 \\ \quad 87 &= 3 \times 29\end{aligned}

סכום הספרות 66 ו-1515 — מתחלקים ב-33

91=7×1391 = 7 \times 13
9797

לא מתחלק ב-2,3,5,72, 3, 5, 7, ו-11×11=121>9711 \times 11 = 121 > 97

התשובה היא 9797. שלושת האחרים «נראים» ראשוניים, אבל סימן ההתחלקות ב-33 פוסל שניים מהם מיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

aa מספר שלם. המספר a×(a+1)a \times (a + 1) הוא תמיד זוגי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

a, a+1a,\ a + 1

שני מספרים עוקבים — אחד מהם זוגי

4×5=207×8=56\begin{aligned}4 \times 5 &= 20 \\ \quad 7 \times 8 &= 56\end{aligned}

דוגמאות

הטענה נכונה. בכל זוג עוקבים יש מספר זוגי, ודי בגורם זוגי אחד כדי שהמכפלה תהיה זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

השלימו את הטבלה.

המספרמספר המחלקיםריבועי?
1212________
1616________
2525________
3030________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1212: 6, לא · 1616: 5, כן · 2525: 3, כן · 3030: 8, לא

הפתרון:

12: 1,2,3,4,6,1212:\ 1, 2, 3, 4, 6, 12

שישה

16: 1,2,4,8,1616:\ 1, 2, 4, 8, 16

חמישה

25: 1,5,2525:\ 1, 5, 25

שלושה

30: 1,2,3,5,6,10,15,3030:\ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

שמונה

רק ל-1616 ול-2525, המספרים הריבועיים, יש מספר אי-זוגי של מחלקים: ב-4×44 \times 4 וב-5×55 \times 5 המחלק נספר פעם אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת