תרגול — מחלקים, ראשוניים וסימני התחלקות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, מהקלה לקשה, וביניהן שלוש שאלות אימון בצורה אחרת. הפעילו שעון: חמש עשרה דקות, בלי מחשבון. בכל שאלת «בוודאות» — חפשו קודם דוגמה נגדית.

תרגילים

תרגיל 1

לאיזה מהמספרים הבאים יש בדיוק שלושה מחלקים?

  1. 2525
  2. 1616
  3. 2727
  4. 2121
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2525

הפתרון:

25: 1, 5, 2525:\ 1,\ 5,\ 25

שלושה

27: 1, 3, 9, 2727:\ 1,\ 3,\ 9,\ 27

ארבעה

21: 1, 3, 7, 2121:\ 1,\ 3,\ 7,\ 21

ארבעה

16: 1, 2, 4, 8, 1616:\ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16

חמישה

התשובה היא 2525. שלושה מחלקים יש רק לריבוע של מספר ראשוני. 27=3×3×327 = 3 \times 3 \times 3 מפתה בגלל ה«שלוש», ול-2121 שוכחים את המספר עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לאיזה מהמספרים הבאים יש הכי הרבה מחלקים?

  1. 4545
  2. 3636
  3. 4040
  4. 5050
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 3636

הפתרון:

36=2×2×3×3→3×3=9\begin{aligned}36 &= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \to 3 \times 3 \\ &= 9\end{aligned}
40=2×2×2×5→4×2=8\begin{aligned}40 &= 2 \times 2 \times 2 \times 5 \to 4 \times 2 \\ &= 8\end{aligned}
45→3×2=650→2×3=6\begin{aligned}45 \to 3 \times 2 &= 6 \\ \quad 50 \to 2 \times 3 &= 6\end{aligned}

התשובה היא 3636, עם 99 מחלקים. 5050 הוא הגדול ביותר, אבל יש לו רק 66. מספר המחלקים תלוי בפירוק, לא בגודל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המספר 73□673\square6 מתחלק ב-3636. איזו ספרה מסתתרת מאחורי □\square?

  1. 99
  2. 22
  3. 55
  4. אין ספרה כזו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אין ספרה כזו

הפתרון:

36=4×936 = 4 \times 9

צריך את שני הסימנים יחד

7+3+6=16→□=2\begin{aligned}7 + 3 + 6 &= 16 \to \square \\ &= 2\end{aligned}

רק 22 נותן סכום 1818

26:4=6.526 : 4 = 6.5

אבל 2626 אינו מתחלק ב-44

התשובה היא אין ספרה כזו. 22 עובד רק לסימן של 99; 55 ו-99 עובדים רק לסימן של 44 (5656 ו-9696). צריך את שניהם באותה ספרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איזה מהמספרים הבאים מתחלק ב-1111?

  1. 3,7193{,}719
  2. 2,3152{,}315
  3. 4,5114{,}511
  4. 3,7293{,}729
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 3,7293{,}729

הפתרון:

3,729: 9−2+7−3=113{,}729:\ 9 - 2 + 7 - 3 = 11

מתחלק

3,719: 9−1+7−3=123{,}719:\ 9 - 1 + 7 - 3 = 12

לא

3,729=11×3393{,}729 = 11 \times 339

בדיקה ✓

התשובה היא 3,7293{,}729. ל-2,3152{,}315 סכום הספרות 1111 — אבל זה לא הסימן של 1111. ו-4,5114{,}511 רק נגמר ב-1111.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שלוש דוגמאות
המספרהמספר ההפוךהסכום
47477474121121
252552527777
131331314444

מחברים מספר דו-ספרתי למספר שמתקבל כשהופכים את סדר ספרותיו (למשל 47+7447 + 74). בוודאות התוצאה מתחלקת ב—

  1. 1111
  2. 22
  3. 1010
  4. 99
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 1111

הפתרון:

(10a+b)+(10b+a)(10a + b) + (10b + a)

המספר והמספר ההפוך

=11a+11b=11(a+b)= 11a + 11b = 11(a + b)

התשובה היא 1111. המסיח 22 נופל כבר בדוגמה 47+74=12147 + 74 = 121, שהוא אי-זוגי. ו-99 שייך להפרש בין המספר להפוך שלו, לא לסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

aa, bb ו-cc מספרים ראשוניים, a<ba < b, ו-a+b=ca + b = c. מהו aa?

  1. 33
  2. 22
  3. 11
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 22

הפתרון:

3+5=87+11=18\begin{aligned}3 + 5 &= 8 \\ \quad 7 + 11 &= 18\end{aligned}

אם aa ו-bb אי-זוגיים, cc זוגי וגדול מ-22 — לא ראשוני

a=2a = 2

הראשוני הזוגי היחיד

2+3=52+5=7\begin{aligned}2 + 3 &= 5 \\ \quad 2 + 5 &= 7\end{aligned}

דוגמאות

התשובה היא 22. 11 אינו ראשוני, ולכן אינו אפשרות. «לא ניתן לדעת» מפתה כי bb ו-cc באמת לא ידועים — אבל aa נקבע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

aa ו-bb שני מספרים שלמים עוקבים (למשל 77 ו-88). איזה מהביטויים הבאים הוא בוודאות מספר שלם?

  1. 3ab2\frac{3ab}{2}
  2. a+b+14\frac{a + b + 1}{4}
  3. 3a+b2\frac{3a + b}{2}
  4. a+b2\frac{a + b}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 3ab2\frac{3ab}{2}

הפתרון:

abab

אחד משני עוקבים זוגי, ולכן המכפלה זוגית

a+ba + b

זוגי ועוד אי-זוגי — אי-זוגי תמיד

7+8+14=48+9+14=4.5\begin{aligned}\frac{7 + 8 + 1}{4} &= 4 \\ \quad \frac{8 + 9 + 1}{4} &= 4.5\end{aligned}

התשובה היא 3ab2\frac{3ab}{2}. a+b2\frac{a+b}{2} ו-3a+b2\frac{3a+b}{2} אף פעם אינם שלמים (המונה אי-זוגי), ו-a+b+14\frac{a+b+1}{4} שלם רק לפעמים — הוא עובד ב-77 ו-88 ונכשל ב-88 ו-99.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כשמחלקים את המספר nn ב-66 מקבלים שארית 55. מה השארית כשמחלקים את nn ב-33?

  1. לא ניתן לדעת
  2. 22
  3. 55
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 22

הפתרון:

n=6k+5n = 6k + 5
n=3×2k+3+2n = 3 \times 2k + 3 + 2

5=3+25 = 3 + 2

11=3×3+217=3×5+2\begin{aligned}11 &= 3 \times 3 + 2 \\ \quad 17 &= 3 \times 5 + 2\end{aligned}

בדיקה

התשובה היא 22. 55 אינו יכול להיות שארית בחלוקה ב-33 — השארית קטנה מהמחלק. «לא ניתן לדעת» מפתה, אבל כל המספרים 5,11,17,…5, 11, 17, \ldots נותנים אותה שארית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

טל בחרה מספר דו-ספרתי ששתי ספרותיו שוות (כמו 4444), והוסיפה לו את סכום ספרותיו. התוצאה מתחלקת בוודאות ב—

  1. 1313
  2. 44
  3. 1111
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 1313

הפתרון:

11a+2a=13a11a + 2a = 13a

המספר הוא 11a11a, וסכום הספרות 2a2a

44+8=52=4×13\begin{aligned}44 + 8 &= 52 \\ &= 4 \times 13\end{aligned}

בדיקה

התשובה היא 1313. 1111 מחלק את המספר שבחרה, אבל לא אחרי שהוסיפה לו 2a2a. 22 ו-44 נכונים רק לחלק מהמספרים: 33+6=3933 + 6 = 39 אי-זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

לכמה מהמספרים מ-11 עד 5050 יש מספר אי-זוגי של מחלקים?

  1. 2525
  2. 1515
  3. 66
  4. 77
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 77

הפתרון:

36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6\begin{aligned}36 &= 1 \times 36 \\ &= 2 \times 18 \\ &= 3 \times 12 \\ &= 4 \times 9 \\ &= 6 \times 6\end{aligned}

מחלקים באים בזוגות, חוץ ממחלק שכופלים בעצמו

1, 4, 9, 16, 25, 36, 491,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49

המספרים הריבועיים עד 5050

התשובה היא 77. 2525 הם המספרים האי-זוגיים — מלכודת של קריאה. 66 מתקבל כששוכחים את 11, שיש לו מחלק אחד. 1515 הוא מספר הראשוניים עד 5050 — לכל אחד מהם שני מחלקים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

השלימו את הטבלה: האם המספר מתחלק ב-44? וב-1111?

המספרמתחלק ב-44?מתחלק ב-1111?
1,2321{,}232________
3,5753{,}575________
2,3162{,}316________
9,0909{,}090________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1,2321{,}232: כן, כן · 3,5753{,}575: לא, כן · 2,3162{,}316: כן, לא · 9,0909{,}090: לא, לא

הפתרון:

1,232: 32=4×82−3+2−1=0\begin{aligned}1{,}232:\ 32 &= 4 \times 8 \\ \quad 2 - 3 + 2 - 1 &= 0\end{aligned}

שתי הספרות האחרונות מתחלקות ב-44, והסכום המתחלף 00

3,575: 75=4×18+35−7+5−3=0\begin{aligned}3{,}575:\ 75 &= 4 \times 18 + 3 \\ \quad 5 - 7 + 5 - 3 &= 0\end{aligned}

לא ב-44, אבל כן ב-1111

2,316: 16=4×46−1+3−2=6\begin{aligned}2{,}316:\ 16 &= 4 \times 4 \\ \quad 6 - 1 + 3 - 2 &= 6\end{aligned}

ב-44 כן, ב-1111 לא

9,090: 90=4×22+20−9+0−9=−18\begin{aligned}9{,}090:\ 90 &= 4 \times 22 + 2 \\ \quad 0 - 9 + 0 - 9 &= -18\end{aligned}

−18-18 אינו כפולה של 1111

שני סימנים שונים לגמרי: ב-44 מסתכלים רק על שתי הספרות האחרונות, וב-1111 על הסכום המתחלף של כל הספרות. מי שבודק את 9,0909{,}090 לפי ספרת האחדות בלבד חושב בטעות שהוא מתחלק ב-44 כי הוא זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הסכום של שלושה מספרים אי-זוגיים הוא תמיד מספר אי-זוגי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

3+5=83 + 5 = 8

שני אי-זוגיים נותנים זוגי

8+7=158 + 7 = 15

זוגי ועוד אי-זוגי — אי-זוגי

הטענה נכונה. כל זוג של אי-זוגיים מתקזז לזוגי, והשלישי נשאר לבד ומשאיר את הסכום אי-זוגי. המלכודת: לחשוב ש«אי-זוגי ועוד אי-זוגי זוגי» חל גם על שלושה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

כמה מספרים ראשוניים יש בין 5050 ל-7070?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

51=3×17 57=3×19 63=7×9 69=3×23\begin{aligned}51 &= 3 \times 17 \\ \ 57 &= 3 \times 19 \\ \ 63 &= 7 \times 9 \\ \ 69 &= 3 \times 23\end{aligned}

אי-זוגיים שנראים ראשוניים — ואינם

53, 59, 61, 6753,\ 59,\ 61,\ 67

נשארים ארבעה ראשוניים

יש 44: 5353, 5959, 6161 ו-6767. המלכודת היא 5151, 5757 ו-6969, שמתחלקים ב-33 — סכום הספרות שלהם מתחלק ב-33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת