סדר פעולות, חישוב חכם ואומדן · פעולות חשבון במספרים טבעיים · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

כלל אחד לכולם, בשלוש דרגות:

(\ \ )

1. סוגריים

\times \quad :

2. כפל וחילוק

+ \quad -

3. חיבור וחיסור

באותה דרגה הולכים משמאל לימין — כי כך כתוב תרגיל חשבון, גם בספר בעברית.

שימו סוגריים בתרגיל $8 + 4 \times 6 - 2$ כך שהתוצאה תהיה הגדולה ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

$(8 + 4) \times 6 - 2 = 70$ . בלי סוגריים יוצא $30$ , ו- $(8 + 4) \times (6 - 2) = 48$ — להקטין את המספר שכופלים בו רק מזיק.

חישוב חכם: פילוג

כפל מתפלג על חיבור ועל חיסור:

a \times (b + c) = a \times b + a \times c

משתמשים בזה בשני הכיוונים: כדי לפרק מספר קשה, או כדי להוציא גורם שחוזר.

כמה זה $101 \times 23$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$2{,}323$ . $101 = 100 + 1$ , ולכן $100 \times 23 + 1 \times 23 = 2{,}300 + 23$ .

חישוב חכם: קיבוץ

25 \times 4 = 100

מחפשים ל- $25$ את השותף $4$

125 \times 8 = 1{,}000

ול- $125$ את השותף $8$

\begin{aligned}25 \times 36 &= 25 \times 4 \times 9 \\ &= 900\end{aligned}

מפרקים את השותף מתוך מספר אחר

כמה זה $4 \times 17 \times 25$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$1{,}700$ . מקבצים את $4 \times 25 = 100$ , ואז $100 \times 17$ . בלי לכפול את $17$ ב- $4$ בכלל.

סכום של הרבה מספרים עוקבים

כמה זה $1 + 2 + \ldots + 50$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$1{,}275$ . $50$ מחוברים הם $25$ זוגות, וכל זוג שווה $1 + 50 = 51$ : $25 \times 51 = 1{,}275$ .

אומדן

במבחן בלי מחשבון, הרבה פעמים מספיק לדעת בין מה למה התשובה.

מעגלים פעם כלפי מטה ופעם כלפי מעלה, ומקבלים שני גבולות.

שלוש טעויות שחוזרות.

\begin{aligned}48 : 4 \times 3 &= 48 : 12 \\ &= 4\end{aligned}

48 : 4 \times 3 = 36

כפל אינו קודם לחילוק. הם באותה דרגה, והולכים משמאל לימין.

\begin{aligned}100 - 20 + 30 &= 100 - 50 \\ &= 50\end{aligned}

100 - 20 + 30 = 110

גם חיבור וחיסור באותה דרגה — משמאל לימין, לא «קודם חיבור».

38 \times 12 = 30 \times 10 + 8 \times 2

38 \times 12 = 30 \times 12 + 8 \times 12

בפילוג כל חלק מוכפל בכל המספר השני.

לפני שמחשבים — מסתכלים. מספר שחוזר, $25$ ליד $4$ , $99$ או $101$ — כולם סימן שיש דרך קצרה.

תרגילים

תרגיל 1

כמה זה $120 - 8 \times (15 - 9) : 4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

15 - 9 = 6

סוגריים

\begin{aligned}8 \times 6 : 4 &= 48 : 4 \\ &= 12\end{aligned}

כפל וחילוק משמאל לימין

120 - 12 = 108

התשובה היא $108$ . מי שמחסר קודם ( $120 - 8 = 112$ ) מקבל $168$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה זה $99 \times 99 + 99$ ?

$19{,}602$
$9{,}900$
$10{,}000$
$9{,}801$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $9{,}900$

הפתרון:

99 \times 99 + 99 \times 1

$99$ מופיע בשני המחוברים

\begin{aligned}99 \times (99 + 1) &= 99 \times 100 \\ &= 9{,}900\end{aligned}

התשובה היא $9{,}900$ . $9{,}801$ הוא רק $99 \times 99$ , ו- $19{,}602$ מתקבל כשכופלים את $99$ ב- $99 + 99$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$8 \times 125 \times 7 \times 3 = 21{,}000$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

8 \times 125 = 1{,}000

מקבצים את השותפים

7 \times 3 = 21

1{,}000 \times 21 = 21{,}000

הטענה נכונה. בכפל מותר לשנות סדר ולקבץ — וזה חוסך כל חישוב קשה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לאיזה מהמספרים הבאים המכפלה $612 \times 49$ הכי קרובה?

$30{,}000$
$3{,}000$
$24{,}000$
$36{,}000$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $30{,}000$

הפתרון:

612 \approx 600,\quad 49 \approx 50

600 \times 50 = 30{,}000

המדויק: $29{,}988$

התשובה היא $30{,}000$ . $24{,}000$ מתקבל כשמעגלים את $49$ ל- $40$ — עיגול שמזיז את התוצאה בחמישית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה זה $60 : 5 \times 3 - 2 \times (7 - 3)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

7 - 3 = 4

סוגריים

\begin{aligned}60 : 5 \times 3 &= 12 \times 3 \\ &= 36\end{aligned}

כפל וחילוק, משמאל לימין

2 \times 4 = 8

36 - 8 = 28

התשובה היא $28$ . מי שכופל קודם מחשב $60 : 15 = 4$ במקום $60 : 5 \times 3 = 36$ — כפל אינו קודם לחילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

יוסי חישב את $98 \times 15$ בדרך הקצרה. באיזו שורה הטעות?

98 \times 15 = (100 - 2) \times 15

= 1{,}500 - 2

= 1{,}470

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $= 1{,}500 - 2$ → $= 1{,}500 - 30$

הפתרון:

(100 - 2) \times 15 = 100 \times 15 - 2 \times 15

גם ה- $2$ מוכפל ב- $15$

1{,}500 - 30 = 1{,}470

הטעות בשורה השנייה: בפילוג כל חלק מוכפל. $1{,}500 - 2$ שוכח לכפול את ה- $2$ ב- $15$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה זה $125 \times 32$ ?

$40{,}000$
$4{,}000$
$400$
$3{,}200$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $4{,}000$

הפתרון:

32 = 8 \times 4

מפרקים את השותף של $125$

\begin{aligned}125 \times 8 \times 4 &= 1{,}000 \times 4 \\ &= 4{,}000\end{aligned}

התשובה היא $4{,}000$ . $400$ ו- $40{,}000$ הם טעויות בספירת האפסים, ו- $3{,}200$ הוא $100 \times 32$ — כאילו $125$ היה $100$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

כמה זה $21 + 22 + 23 + \ldots + 40$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 610

הפתרון:

40 - 21 + 1 = 20

מספר המחוברים

21 + 40 = 61

כל זוג

10 \times 61 = 610

עשרה זוגות

התשובה היא $610$ . מי שסופר $40 - 21 = 19$ מחוברים מפספס את הראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלימו.

בסכום $15 + 16 + \ldots + 64$ יש ____ מחוברים, וכל זוג (הראשון והאחרון, וכך הלאה) שווה ____. הסכום כולו: ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בסכום $15 + 16 + \ldots + 64$ יש 50 מחוברים, וכל זוג (הראשון והאחרון, וכך הלאה) שווה 79. הסכום כולו: 1975.

הפתרון:

64 - 15 + 1 = 50

15 + 64 = 79

25 \times 79 = 1{,}975

$50$ מחוברים הם $25$ זוגות

$50$ מחוברים, $25$ זוגות של $79$ : $1{,}975$ . הזוגות הם חצי ממספר המחוברים — לא כופלים $50 \times 79$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בלי לחשב בדיוק: התוצאה גדולה מ- $10{,}000$ , או קטנה ממנו?

גדולה מ- $10{,}000$
קטנה מ- $10{,}000$

$198 \times 49$
$251 \times 41$
$505 \times 21$
$99 \times 99$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $198 \times 49$ — קטנה מ- $10{,}000$ · $251 \times 41$ — גדולה מ- $10{,}000$ · $99 \times 99$ — קטנה מ- $10{,}000$ · $505 \times 21$ — גדולה מ- $10{,}000$

הפתרון:

198 \times 49 < 200 \times 50 = 10{,}000

שני הגורמים עוגלו כלפי מעלה

251 \times 41 > 250 \times 40 = 10{,}000

שני הגורמים עוגלו כלפי מטה

כשמעגלים את שני הגורמים לאותו כיוון, יודעים בוודאות באיזה צד של הגבול התוצאה — בלי לחשב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

חישוב חכם: פילוג

חישוב חכם: קיבוץ

סכום של הרבה מספרים עוקבים

אומדן

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev