כפולות משותפות, מחלקים משותפים ושאריות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

שני מושגים, ושתי שאלות שונות לגמרי.

הכפולה המשותפת הקטנה ביותר עונה על «מתי זה יקרה שוב ביחד?».

המחלק המשותף הגדול ביותר עונה על «לכמה חלקים שווים אפשר לחלק?».

מתי נפגשים שוב — כפולה משותפת

מהי הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של 44 ושל 1010?

להציג את התשובה והפתרון

2020, ולא 4040. הכפולות של 1010: 10,20,…10, 20, \ldots — ו-2020 כבר מתחלק ב-44.

חבילות זהות — מחלק משותף

יש 4848 חרוזים אדומים ו-6060 חרוזים כחולים. כמה צמידים זהים לכל היותר אפשר להכין, בלי שיישארו חרוזים?

להציג את התשובה והפתרון

1212 צמידים, ובכל אחד 44 אדומים ו-55 כחולים. 1212 הוא המספר הגדול ביותר שמחלק גם את 4848 וגם את 6060.

שארית נתונה

«ב-33 נשארת שארית 11, וב-44 שארית 22»: רושמים מועמדים לפי התנאי הראשון, ובודקים אותם מול השני.

אחרי שמוצאים את הראשון, הבאים מגיעים כל כפולה משותפת.

כיסאות ושולחנות

משמאל: שולחן בודד ו-44 כיסאות. מימין: שני שולחנות צמודים — ורק 66 כיסאות, כי בצד שבו הם נוגעים אין מקום לכיסא.

«או» — בלי לספור פעמיים

כמה מהמספרים 11 עד 6060 מתחלקים ב-22 או ב-33?

להציג את התשובה והפתרון

4040. 3030 זוגיים ו-2020 כפולות של 33 — אבל 1010 הכפולות של 66 נספרו פעמיים: 30+20−10=4030 + 20 - 10 = 40.

שלוש טעויות שעולות נקודות.

6×8=486 \times 8 = 48
2424

המכפלה היא כפולה משותפת, אבל לא תמיד הקטנה ביותר.

33+20=5333 + 20 = 53
33+20−6=4733 + 20 - 6 = 47

הכפולות של 1515 נספרו גם עם 33 וגם עם 55.

24, 36→7224,\ 36 \to 72
24, 36→1224,\ 36 \to 12

בחבילות זהות מחפשים מחלק, לא כפולה. אי אפשר להכין 7272 חבילות מ-2424 עפרונות.

שאלו את עצמכם: התשובה צריכה להיות גדולה מהמספרים הנתונים (מתי נפגשים — כפולה) או קטנה מהם (לכמה מחלקים — מחלק)?

תרגילים

תרגיל 1

אוטובוס קו 33 יוצא מהתחנה המרכזית כל 1212 דקות, וקו 55 כל 1818 דקות. בשעה 7:007{:}00 יצאו שניהם יחד. בעוד כמה דקות ייצאו שוב יחד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

12=2×2×318=2×3×3\begin{aligned}12 &= 2 \times 2 \times 3 \\ \quad 18 &= 2 \times 3 \times 3\end{aligned}
2×2×3×3=362 \times 2 \times 3 \times 3 = 36

התשובה היא 3636 דקות. 216=12×18216 = 12 \times 18 היא פגישה מאוחרת בהרבה, ו-66 הוא המחלק המשותף — לא כפולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

יש 4242 תפוחים ו-7070 תפוזים. מכינים סלסלות זהות, ולא נשאר אף פרי. כמה סלסלות לכל היותר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

42=2×3×770=2×5×7\begin{aligned}42 &= 2 \times 3 \times 7 \\ \quad 70 &= 2 \times 5 \times 7\end{aligned}
2×7=142 \times 7 = 14

הגורמים המשותפים

42:14=370:14=5\begin{aligned}42 : 14 &= 3 \\ \quad 70 : 14 &= 5\end{aligned}

בכל סלסלה 33 תפוחים ו-55 תפוזים

התשובה היא 1414 סלסלות. 77 גם מחלק את שניהם, אבל אינו הגדול ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו המספר הקטן ביותר, הגדול מ-11, שבחלוקה ב-22, ב-33, ב-44, ב-55 וב-66 נותן תמיד שארית 11?

  1. 3131
  2. 6161
  3. 6060
  4. 121121
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 6161

הפתרון:

6060

הכפולה המשותפת הקטנה ביותר של 2,3,4,5,62, 3, 4, 5, 6

60+1=6160 + 1 = 61

שארית 11 בכל החלוקות

התשובה היא 6161. 6060 מתחלק בכולם בלי שארית — שכחו להוסיף 11. 121121 מתאים לתנאים, אבל אינו הקטן ביותר. 3131 נותן שארית 33 בחלוקה ב-44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כמה מהמספרים 11 עד 6060 מתחלקים ב-44 או ב-66?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

60:4=1560 : 4 = 15

כפולות של 44

60:6=1060 : 6 = 10

כפולות של 66

60:12=560 : 12 = 5

בשניהם — כפולות של 1212, לא של 2424

15+10−5=2015 + 10 - 5 = 20

התשובה היא 2020. 2525 מתקבל בלי להוריד את הספירה הכפולה, ו-2323 כשמורידים את הכפולות של 2424 במקום של 1212.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שלוש נורות מהבהבות: אחת כל 44 שניות, אחת כל 66 ואחת כל 1010. עכשיו הבהבו שלושתן יחד. בעוד כמה שניות יהבהבו שוב יחד?

  1. 120120
  2. 2020
  3. 240240
  4. 6060
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 6060

הפתרון:

4=2×26=2×310=2×5\begin{aligned}4 &= 2 \times 2 \\ \quad 6 &= 2 \times 3 \\ \quad 10 &= 2 \times 5\end{aligned}
2×2×3×5=602 \times 2 \times 3 \times 5 = 60

כל גורם, כמה פעמים שהוא מופיע במספר שבו יש ממנו הכי הרבה

התשובה היא 6060. 240=4×6×10240 = 4 \times 6 \times 10 היא פגישה מאוחרת יותר, ו-2020 מתאים ל-44 ול-1010 בלבד — לא ל-66.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

השלימו את הטבלה.

המספריםהמחלק המשותף הגדול ביותרהכפולה המשותפת הקטנה ביותר
88, 1212________
99, 1515________
77, 55________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 88, 1212: 4, 24 · 99, 1515: 3, 45 · 77, 55: 1, 35

הפתרון:

8=2×2×212=2×2×3\begin{aligned}8 &= 2 \times 2 \times 2 \\ \quad 12 &= 2 \times 2 \times 3\end{aligned}

משותף: 44; כפולה: 2424

9=3×315=3×5\begin{aligned}9 &= 3 \times 3 \\ \quad 15 &= 3 \times 5\end{aligned}

משותף: 33; כפולה: 4545

7, 57,\ 5

אין גורם משותף: המחלק 11, והכפולה היא המכפלה 3535

המחלק המשותף קטן משני המספרים (או שווה לקטן), והכפולה המשותפת גדולה מהם. רק כשאין גורם משותף הכפולה היא המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

יש 3030 כדורים כחולים ו-4545 כדורים צהובים. אפשר לחלק אותם ל-1010 קבוצות זהות, בלי שיישאר אף כדור.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

45=10×4+545 = 10 \times 4 + 5

נשארים 55 כדורים צהובים

30=2×3×545=3×3×5\begin{aligned}30 &= 2 \times 3 \times 5 \\ \quad 45 &= 3 \times 3 \times 5\end{aligned}

המשותף: 3×5=153 \times 5 = 15

הטענה שגויה. 1010 מחלק את 3030 אבל לא את 4545. אפשר 33, 55 או 1515 קבוצות — והכי הרבה 1515.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהו המספר הקטן ביותר ששארית החלוקה שלו ב-55 היא 33, וב-66 היא 44?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

3, 8, 13, 18, 23, 283,\ 8,\ 13,\ 18,\ 23,\ 28

שארית 33 בחלוקה ב-55

28=6×4+428 = 6 \times 4 + 4

הראשון שמתאים גם לתנאי השני

התשובה היא 2828. דרך קצרה: בשני התנאים חסרים 22 עד החלוקה המלאה, ולכן 28+2=3028 + 2 = 30 — כפולה של 55 ושל 66.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מיינו את השאלות: מחפשים כפולה משותפת, או מחלק משותף?

  • כפולה משותפת
  • מחלק משותף
  • חותכים חבל של 3636 מטר וחבל של 6060 מטר לחתיכות שוות, ארוכות ככל האפשר. מה אורך חתיכה?
  • מכינים סלטים זהים מ-1818 עגבניות ו-2424 מלפפונים. כמה סלטים לכל היותר?
  • שני אוטובוסים יוצאים כל 1515 וכל 2020 דקות. מתי ייצאו שוב יחד?
  • שני רצים מקיפים מסלול: אחד בכל 66 דקות, השני בכל 88. מתי ייפגשו שוב בקו הזינוק?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שני אוטובוסים יוצאים כל 1515 וכל 2020 דקות. מתי ייצאו שוב יחד? — כפולה משותפת · מכינים סלטים זהים מ-1818 עגבניות ו-2424 מלפפונים. כמה סלטים לכל היותר? — מחלק משותף · שני רצים מקיפים מסלול: אחד בכל 66 דקות, השני בכל 88. מתי ייפגשו שוב בקו הזינוק? — כפולה משותפת · חותכים חבל של 3636 מטר וחבל של 6060 מטר לחתיכות שוות, ארוכות ככל האפשר. מה אורך חתיכה? — מחלק משותף

הפתרון:

15, 20  →  6015,\ 20 \;\to\; 60

כפולה משותפת

18, 24  →  618,\ 24 \;\to\; 6

מחלק משותף

6, 8  →  246,\ 8 \;\to\; 24

כפולה משותפת

36, 60  →  1236,\ 60 \;\to\; 12

מחלק משותף

«מתי שוב ביחד» — התשובה גדולה מהנתונים: כפולה משותפת. «לכמה חלקים שווים», «הכי ארוך» — התשובה קטנה מהנתונים: מחלק משותף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה מהמספרים 11 עד 100100 מתחלקים ב-44 או ב-66?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 33

הפתרון:

100:4=25100 : 4 = 25

כפולות של 44

100:6=16…100 : 6 = 16 \ldots

1616 כפולות של 66

100:12=8…100 : 12 = 8 \ldots

88 כפולות של 1212 — נספרו פעמיים

25+16−8=3325 + 16 - 8 = 33

התשובה היא 3333. 4141 מתקבל בלי להוריד את הכפולות של 1212, ו-3737 כשמורידים את הכפולות של 24=4×624 = 4 \times 6 במקום של 1212.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת