פעולה בתוך פעולה

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

כשהתוצאה של פעולה אחת נכנסת לפעולה אחרת, יש כלל אחד: מבפנים החוצה.

שתי מכונות בשרשרת

מחשבים את מה שבסוגריים, והתוצאה נכנסת למקום שלהם. סוגריים משמאל לסימן — התוצאה היא aa. סוגריים מימין — היא bb.

באותה פעולה: מה גדול יותר, (1#1)#1(1 \# 1) \# 1 או 1#(1#1)1 \# (1 \# 1)?

להציג את התשובה והפתרון

השני. (1#1)#1=4#1=7(1 \# 1) \# 1 = 4 \# 1 = 7, ו-1#(1#1)=1#4=131 \# (1 \# 1) = 1 \# 4 = 13. מה שעומד מימין מוכפל ב-33.

שתי פעולות שונות

לפעמים יש שני סימנים, ולכל אחד הגדרה משלו.

הכלל לא משתנה: מבפנים החוצה. בכל שלב בודקים איזה סימן עומד שם, ומשתמשים רק בהגדרה שלו.

משווים שתי תוצאות

הטעות הנפוצה: ״אותם מספרים — אותה תוצאה״.

(3∘1)∘1=3∘(1∘1)(3 \circ 1) \circ 1 = 3 \circ (1 \circ 1)
15≠915 \neq 9

מקום הסוגריים קובע מי נכנס כ-aa ומי כ-bb.

(2#3)⋆2=2#(3⋆2)(2 \# 3) \star 2 = 2 \# (3 \star 2)
12≠912 \neq 9

עם a#b=a+b+1a \# b = a + b + 1 ו-a⋆b=a⋅ba \star b = a \cdot b: הסוגריים קובעים גם איזו פעולה מתבצעת קודם.

בשאלת ״איזו גדולה יותר״ אל תנחשו לפי המראה — חשבו את שתיהן. זה לוקח חצי דקה, והתשובה ״הן שוות״ היא המלכודת הנפוצה ביותר.

תרגילים

תרגיל 1

ab5b12a+2b3a+2b?

הפעולה #\# מוגדרת כך: a#b=a+2ba \# b = a + 2b. מהי תוצאת (1#2)#3(1 \# 2) \# 3?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

1#2=1+4=5\begin{aligned}1 \# 2 &= 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

קודם הסוגריים

5#3=5+6=11\begin{aligned}5 \# 3 &= 5 + 6 \\ &= 11\end{aligned}

התוצאה 55 היא ה-aa של הפעולה השנייה

התשובה היא 1111.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה פעולה, a#b=a+2ba \# b = a + 2b: מהי תוצאת 1#(2#3)1 \# (2 \# 3)?

  1. 1515
  2. 88
  3. 1111
  4. 1717
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 1717

הפתרון:

2#3=2+6=8\begin{aligned}2 \# 3 &= 2 + 6 \\ &= 8\end{aligned}

קודם הסוגריים

1#8=1+16=17\begin{aligned}1 \# 8 &= 1 + 16 \\ &= 17\end{aligned}

עכשיו 88 עומד מימין — הוא bb, ולכן מוכפל ב-22

התשובה היא 1717. 1111 היא התוצאה של (1#2)#3(1 \# 2) \# 3 — הסוגריים במקום אחר. 88 עוצרת באמצע, ו-1515 מחשבת בסוגריים 3#23 \# 2 במקום 2#32 \# 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונות שתי פעולות: a#b=a+ba \# b = a + b ו-a⋆b=a⋅ba \star b = a \cdot b. טענה: (2#3)⋆4=2#(3⋆4)(2 \# 3) \star 4 = 2 \# (3 \star 4).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

(2#3)⋆4=5⋆4=20\begin{aligned}(2 \# 3) \star 4 &= 5 \star 4 \\ &= 20\end{aligned}

משמאל

2#(3⋆4)=2#12=14\begin{aligned}2 \# (3 \star 4) &= 2 \# 12 \\ &= 14\end{aligned}

מימין

20≠1420 \neq 14

הטענה לא נכונה. בכל צד הסוגריים קובעים איזו פעולה מתבצעת קודם — בדיוק כמו ההבדל בין (2+3)⋅4(2 + 3) \cdot 4 ל-2+3⋅42 + 3 \cdot 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הפעולה ∘\circ מוגדרת כך: a∘b=a+3ba \circ b = a + 3b. מה נכון לגבי X=(2∘1)∘1X = (2 \circ 1) \circ 1 ו-Y=2∘(1∘1)Y = 2 \circ (1 \circ 1)?

  1. YY גדול מ-XX
  2. לא ניתן לדעת
  3. X=YX = Y
  4. XX גדול מ-YY
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א YY גדול מ-XX

הפתרון:

X=(2∘1)∘1=5∘1=8\begin{aligned}X &= (2 \circ 1) \circ 1 \\ &= 5 \circ 1 \\ &= 8\end{aligned}

2∘1=2+3=52 \circ 1 = 2 + 3 = 5

Y=2∘(1∘1)=2∘4=14\begin{aligned}Y &= 2 \circ (1 \circ 1) \\ &= 2 \circ 4 \\ &= 14\end{aligned}

1∘1=1+3=41 \circ 1 = 1 + 3 = 4, והוא עומד מימין — מוכפל ב-33

התשובה: YY גדול מ-XX. בפעולה הזו המספר הימני מוכפל ב-33, ולכן כדאי שהתוצאה של הסוגריים תעמוד מימין. ״X=YX = Y״ היא המלכודת של מי שלא חישב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הפעולה #\# מוגדרת כך: a#b=2a−ba \# b = 2a - b. מהי תוצאת (4#3)#2(4 \# 3) \# 2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

4#3=8−3=5\begin{aligned}4 \# 3 &= 8 - 3 \\ &= 5\end{aligned}

קודם הסוגריים

5#2=10−2=8\begin{aligned}5 \# 2 &= 10 - 2 \\ &= 8\end{aligned}

55 עומד משמאל — הוא aa

התשובה היא 88. מי שהכניס את 55 במקום bb חישב 2⋅2−5=−12 \cdot 2 - 5 = -1 — אבל הסוגריים עמדו משמאל לסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הפעולה #\# מוגדרת כך: a#b=a⋅b−1a \# b = a \cdot b - 1. סדרו את שלבי החישוב של 3#(2#4)3 \# (2 \# 4).

  • 2020
  • 3#(2#4)3 \# (2 \# 4)
  • 3#73 \# 7
  • 3⋅7−13 \cdot 7 - 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3#(2#4)3 \# (2 \# 4) · 3#73 \# 7 · 3⋅7−13 \cdot 7 - 1 · 2020

הפתרון:

2#4=8−1=7\begin{aligned}2 \# 4 &= 8 - 1 \\ &= 7\end{aligned}

קודם הסוגריים

3#7=21−1=20\begin{aligned}3 \# 7 &= 21 - 1 \\ &= 20\end{aligned}

77 נכנס במקום bb

התשובה 2020. הסוגריים מתקפלים ל-77 לפני שנוגעים ב-33.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפעולה #\# מוגדרת כך: a#b=a+2ba \# b = a + 2b. השלימו.

(1#1)#1=(1 \# 1) \# 1 = ____, ו-1#(1#1)=1 \# (1 \# 1) = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (1#1)#1=(1 \# 1) \# 1 = 5, ו-1#(1#1)=1 \# (1 \# 1) = 7.

הפתרון:

1#1=1+2=3\begin{aligned}1 \# 1 &= 1 + 2 \\ &= 3\end{aligned}
(1#1)#1=3#1=3+2=5\begin{aligned}(1 \# 1) \# 1 &= 3 \# 1 \\ &= 3 + 2 \\ &= 5\end{aligned}

33 במקום aa

1#(1#1)=1#3=1+6=7\begin{aligned}1 \# (1 \# 1) &= 1 \# 3 \\ &= 1 + 6 \\ &= 7\end{aligned}

33 במקום bb — מוכפל ב-22

שלושה אחדים, ושתי תוצאות שונות: 55 ו-77. כשהסוגריים מימין, התוצאה שלהם מוכפלת ב-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונות שתי פעולות: a#b=a+ba \# b = a + b ו-a⋆b=a⋅ba \star b = a \cdot b. נועה חישבה את (3⋆2)#(1⋆4)(3 \star 2) \# (1 \star 4). באיזו שורה הטעות?

3⋆2=63 \star 2 = 6
1⋆4=41 \star 4 = 4
6#4=246 \# 4 = 24
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6#4=246 \# 4 = 24 → 6#4=6+4=106 \# 4 = 6 + 4 = 10

הפתרון:

3⋆2=61⋆4=4\begin{aligned}3 \star 2 &= 6 \\ \quad 1 \star 4 &= 4\end{aligned}

שני הסוגריים — פעולת ⋆\star

6#4=6+4=10\begin{aligned}6 \# 4 &= 6 + 4 \\ &= 10\end{aligned}

בחוץ עומד #\# — חיבור

בשורה האחרונה נועה המשיכה לכפול, אבל הסימן שבחוץ הוא #\#. בכל שלב משתמשים בהגדרה של הסימן שעומד שם: התשובה 1010.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונות שתי פעולות: a#b=a+b+1a \# b = a + b + 1 ו-a⋆b=a⋅ba \star b = a \cdot b. השלימו את הטבלה.

הביטויהתוצאה
2#22 \# 2____
2⋆22 \star 2____
(2#2)⋆2(2 \# 2) \star 2____
2#(2⋆2)2 \# (2 \star 2)____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2#22 \# 2: 5 · 2⋆22 \star 2: 4 · (2#2)⋆2(2 \# 2) \star 2: 10 · 2#(2⋆2)2 \# (2 \star 2): 7

הפתרון:

2#2=52⋆2=4\begin{aligned}2 \# 2 &= 5 \\ \quad 2 \star 2 &= 4\end{aligned}
(2#2)⋆2=5⋆2=10\begin{aligned}(2 \# 2) \star 2 &= 5 \star 2 \\ &= 10\end{aligned}
2#(2⋆2)=2#4=7\begin{aligned}2 \# (2 \star 2) &= 2 \# 4 \\ &= 7\end{aligned}

אותם שלושה מספרים ואותן שתי פעולות — והסוגריים קובעים איזו פעולה קודם: 1010 מול 77.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הפעולה ∘\circ מוגדרת כך: a∘b=3a−ba \circ b = 3a - b. מה נכון לגבי X=(2∘1)∘1X = (2 \circ 1) \circ 1 ו-Y=2∘(1∘1)Y = 2 \circ (1 \circ 1)?

  1. לא ניתן לדעת
  2. X=YX = Y
  3. YY גדול מ-XX
  4. XX גדול מ-YY
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד XX גדול מ-YY

הפתרון:

X=(2∘1)∘1=5∘1=14\begin{aligned}X &= (2 \circ 1) \circ 1 \\ &= 5 \circ 1 \\ &= 14\end{aligned}

2∘1=6−1=52 \circ 1 = 6 - 1 = 5

Y=2∘(1∘1)=2∘2=4\begin{aligned}Y &= 2 \circ (1 \circ 1) \\ &= 2 \circ 2 \\ &= 4\end{aligned}

1∘1=3−1=21 \circ 1 = 3 - 1 = 2

התשובה: XX גדול מ-YY, 1414 מול 44. כאן המספר השמאלי מוכפל ב-33 והימני מוחסר — לכן כדאי שהתוצאה של הסוגריים תעמוד משמאל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הפעולה #\# מוגדרת כך: a#b=a+ba \# b = a + b. טענה: לכל שלושה מספרים xx, yy, zz — בהכרח (x#y)#z=x#(y#z)(x \# y) \# z = x \# (y \# z).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(x#y)#z=(x+y)+z(x \# y) \# z = (x + y) + z
x#(y#z)=x+(y+z)x \# (y \# z) = x + (y + z)
(x+y)+z=x+(y+z)(x + y) + z = x + (y + z)

בחיבור אפשר לקבץ איך שרוצים

הטענה נכונה: שני הצדדים שווים x+y+zx + y + z. זה המקרה הנדיר — ברוב הפעולות של המבחן מקום הסוגריים כן משנה, ולכן בודקים ולא מנחשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת