לקרוא הגדרה ולהציב · פעולות מוגדרות · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

בכל הגדרה יש אותיות: $a$ ו- $b$ , או $A$ ו- $B$ .

כל אות היא מקום. $a$ הוא המספר שמשמאל לסימן, ו- $b$ המספר שמימינו. לגודל המספרים אין שום קשר.

מציבים בזהירות

בלי לחשב עד הסוף: למה $4 \# 2$ ו- $2 \# 4$ לא יכולים להיות שווים?

להציג את התשובה והפתרון

כי המספר השמאלי מוכפל ב- $13$ והימני רק ב- $1$ . כשמחליפים ביניהם, המספר שמקבל את ה- $13$ משתנה, ולכן גם הסכום שבסוגריים: $54$ מול $30$ .

חילוק בתוך ההגדרה — כמו במבחן

בהגדרות של המבחן יש לעתים קרובות חילוק, שנכתב בסימן $:$ . סדר פעולות החשבון לא משתנה:

1

מה שבתוך הסוגריים

2

כפל וחילוק

3

חיבור וחיסור

התוצאה יכולה לצאת גם שבר. זו לא טעות: מחשבים את החילוק עד הסוף.

ומה יוצא מ- $2 \# 4$ באותה הגדרה?

להציג את התשובה והפתרון

$4 \times (3 \cdot 2 - 4 : 2) = 4 \times (6 - 2) = 16$ .

פעולה על מספר אחד

יש גם פעולות שמקבלות מספר אחד בלבד. בדף ההכנה למבחן: $a\# = 5a - 6$ .

הסימן בא אחרי המספר: כופלים ב- $5$ ומחסירים $6$ . למשל $3\# = 15 - 6 = 9$ .

שתי טעויות קריאה.

(13a + b) : 9 = 13a + (b : 9)

(13a + b) : 9

הסוגריים בהגדרה אומרים לחלק ב- $9$ את כל הסכום.

2a = 2 + a

2a = 2 \cdot a

מספר צמוד לאות פירושו כפל: כש- $a = 7$ , $2a$ הוא $14$ — לא $9$ ולא $27$ .

שאלו את עצמכם בכל פעם: איזה מספר עומד משמאל לסימן? הוא $a$ . זה כל הסוד.

תרגילים

תרגיל 1

הפעולה $\&$ מוגדרת לכל שני מספרים כך: $a \& b = 2a + 6b$ . מהי תוצאת $7 \& 2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26

הפתרון:

7 \& 2 = 2 \cdot 7 + 6 \cdot 2

$a = 7$ משמאל לסימן, $b = 2$ מימינו

= 14 + 12 = 26

התשובה היא $26$ . מי שהציב $a = 2$ ו- $b = 7$ קיבל $4 + 42 = 46$ — זו התוצאה של $2 \& 7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הפעולה $@$ מוגדרת כך: $A @ B = \frac{3A + 2B}{4}$ . מהי תוצאת $2 @ 5$ ?

$8\frac{1}{2}$
$16$
$4\frac{3}{4}$
$4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $4$

הפתרון:

\frac{3 \cdot 2 + 2 \cdot 5}{4}

$A = 2$ , $B = 5$

\begin{aligned}\frac{6 + 10}{4} &= \frac{16}{4} \\ &= 4\end{aligned}

קודם כל המונה, ורק אחר כך החלוקה

התשובה היא $4$ . $4\frac{3}{4}$ היא התוצאה של $5 @ 2$ (הסדר הוחלף), $16$ שוכחת לחלק ב- $4$ , ו- $8\frac{1}{2}$ מחלקת ב- $4$ רק את $2B$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הפעולה $\#$ מוגדרת כך: $a \# b = (13a + b) : 9$ . איזה מהביטויים הבאים הוא מספר שלם?

$3 \# 1$
$4 \# 4$
$1 \# 5$
$2 \# 3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $1 \# 5$

הפתרון:

\begin{aligned}1 \# 5 &= (13 + 5) : 9 \\ &= 18 : 9 \\ &= 2\end{aligned}

שלם

\begin{aligned}2 \# 3 &= (26 + 3) : 9 \\ &= 29 : 9\end{aligned}

לא שלם

\begin{aligned}3 \# 1 &= (39 + 1) : 9 \\ &= 40 : 9\end{aligned}

לא שלם

\begin{aligned}4 \# 4 &= (52 + 4) : 9 \\ &= 56 : 9\end{aligned}

לא שלם

התשובה היא $1 \# 5$ . צריך שהסכום $13a + b$ יתחלק ב- $9$ : רק $18$ מתחלק. מי שבדק רק אם $b$ מתחלק ב- $9$ , או רק אם $a$ מתחלק, לא ימצא אף תשובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הפעולה $\#$ מוגדרת כך: $a \# b = 4 \times (3a - b : 2)$ . מהי תוצאת $6 \# 2$ ?

$17$
$68$
$71$
$32$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $68$

הפתרון:

6 \# 2 = 4 \times (3 \cdot 6 - 2 : 2)

\begin{aligned}4 \times (18 - 1) &= 4 \times 17 \\ &= 68\end{aligned}

התשובה היא $68$ . מי שחילק את כל $18 - 2$ ב- $2$ קיבל $4 \times 8 = 32$ , ומי ששכח את הכפל ב- $4$ שמחוץ לסוגריים קיבל $17$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הפעולה $\diamond$ מוגדרת כך: $a \diamond b = 3a - b$ . התאימו כל ביטוי לתוצאה שלו.

$4 \diamond 2$
$2 \diamond 4$
$5 \diamond 3$
$3 \diamond 5$

$10$
$12$
$2$
$4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $4 \diamond 2$ — $10$ · $2 \diamond 4$ — $2$ · $5 \diamond 3$ — $12$ · $3 \diamond 5$ — $4$

הפתרון:

\begin{aligned}4 \diamond 2 &= 12 - 2 \\ &= 10\end{aligned}

$a = 4$

\begin{aligned}2 \diamond 4 &= 6 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

$a = 2$

\begin{aligned}5 \diamond 3 &= 15 - 3 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}3 \diamond 5 &= 9 - 5 \\ &= 4\end{aligned}

בכל זוג אותם שני מספרים, והתוצאות שונות לגמרי. מי שמציב את המספר הגדול במקום $a$ מקבל $10$ גם ל- $2 \diamond 4$ — וזו הטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הפעולה $\#$ מוגדרת כך: $a \# b = a + 2b$ . טענה: לכל שני מספרים, $a \# b = b \# a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}1 \# 2 &= 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}2 \# 1 &= 2 + 2 \\ &= 4\end{aligned}

5 \neq 4

דוגמה אחת נגדית מספיקה

הטענה לא נכונה. המספר הימני מוכפל ב- $2$ והשמאלי לא — לכן החלפת הסדר משנה את התוצאה. מספיקה דוגמה נגדית אחת כדי להפריך ״לכל שני מספרים״.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הפעולה $\star$ מוגדרת כך: $a \star b = 2a + b$ . ידוע ש- $x \star 3 = 11$ . מהו $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x \star 3 = 2x + 3

$x$ משמאל לסימן — הוא $a$

\begin{aligned}2x + 3 &= 11 \Rightarrow 2x \\ &= 8 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

\begin{aligned}4 \star 3 &= 8 + 3 \\ &= 11\end{aligned}

בדיקה

התשובה היא $4$ . מי שהציב $x$ במקום $b$ פתר $6 + x = 11$ וקיבל $5$ — אבל $x$ כתוב משמאל לסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

הפעולה $\#$ מוגדרת כך: $a \# b = (a + 3b) : 2$ . דני חישב את $5 \# 3$ . באיזו שורה הטעות?

5 \# 3 = (5 + 3 \cdot 3) : 2

= (5 + 9) : 2

= 5 + 9 : 2 = 9\frac{1}{2}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $= 5 + 9 : 2 = 9\frac{1}{2}$ → $= 14 : 2 = 7$

הפתרון:

(5 + 9) : 2 = 14 : 2

הסוגריים: קודם החיבור

= 7

דני ״איבד״ את הסוגריים בשורה האחרונה, וחילק ב- $2$ רק את $9$ . הסוגריים בהגדרה אומרים לחלק את כל הסכום: התשובה היא $7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הפעולה $\#$ מוגדרת כך: $a \# b = 2 \times (a + b : 2)$ . סדרו את שלבי החישוב של $6 \# 4$ .

$16$
$2 \times (6 + 2)$
$2 \times (6 + 4 : 2)$
$2 \times 8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2 \times (6 + 4 : 2)$ · $2 \times (6 + 2)$ · $2 \times 8$ · $16$

הפתרון:

2 \times (6 + 4 : 2)

מציבים: $a = 6$ , $b = 4$

= 2 \times (6 + 2)

בתוך הסוגריים: קודם החילוק

= 2 \times 8 = 16

ורק בסוף הכפל שבחוץ

התוצאה $16$ . מי שחיבר קודם $6 + 4$ וחילק ב- $2$ קיבל $2 \times 5 = 10$ : חילוק בא לפני חיבור, גם בתוך סוגריים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הפעולה $@$ מוגדרת כך: $a @ b = \frac{a + b}{3}$ . השלימו.

$4 @ 5 =$ ____, ו- $5 @ 7 =$ ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $4 @ 5 =$ 3, ו- $5 @ 7 =$ 4.

הפתרון:

\begin{aligned}4 @ 5 &= \frac{4 + 5}{3} \\ &= \frac{9}{3} \\ &= 3\end{aligned}

\begin{aligned}5 @ 7 &= \frac{5 + 7}{3} \\ &= \frac{12}{3} \\ &= 4\end{aligned}

קו השבר מחלק את כל המונה: קודם מחברים, אחר כך מחלקים. מי שחילק רק את $b$ קיבל $4 + \frac{5}{3}$ — לא מספר שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הפעולה $\#$ מוגדרת על מספר אחד: $a\# = 5a - 6$ . מהי תוצאת $(3\#)\#$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 39

הפתרון:

\begin{aligned}3\# &= 5 \cdot 3 - 6 \\ &= 9\end{aligned}

קודם הסוגריים

\begin{aligned}9\# &= 5 \cdot 9 - 6 \\ &= 39\end{aligned}

התוצאה $9$ נכנסת שוב למכונה

התשובה היא $39$ . $9$ הוא רק השלב הראשון. מי שכפל פעמיים ב- $5$ ורק בסוף החסיר $6$ קיבל $75 - 6 = 69$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הפעולה $\#$ מוגדרת על מספר אחד: $a\# = 2a + 1$ . מיינו את הביטויים.

שווה $7$
לא שווה $7$

$(1\#)\#$
$(2\#) - 2$
$(3\#)\#$
$1\#$
$3\#$
$7\#$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3\#$ — שווה $7$ · $(1\#)\#$ — שווה $7$ · $1\#$ — לא שווה $7$ · $(3\#)\#$ — לא שווה $7$ · $(2\#) - 2$ — לא שווה $7$ · $7\#$ — לא שווה $7$

הפתרון:

\begin{aligned}3\# &= 7 \\ \quad (1\#)\# &= 3\# \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}1\# &= 3 \\ \quad (3\#)\# &= 7\# \\ &= 15\end{aligned}

\begin{aligned}(2\#) - 2 &= 5 - 2 \\ &= 3\end{aligned}

$(1\#)\#$ שווה $7$ : קודם $1\# = 3$ , ואז $3\# = 7$ . ו- $(3\#)\#$ אינו $7$ — הוא מפעיל את המכונה פעם שנייה על $7$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מציבים בזהירות

חילוק בתוך ההגדרה — כמו במבחן

פעולה על מספר אחד

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev