תבניות שחוזרות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

כשמשהו חוזר על עצמו — אותיות, צבעים, ימים בשבוע — לא סופרים עד המקום הרחוק.

מוצאים את אורך המחזור, מחלקים בו, ומסתכלים על השארית.

מה יש במקום ה-100100?

ומהי האות במקום ה-102102?

להציג את התשובה והפתרון

ב. 102=25×4+2102 = 25 \times 4 + 2 — שני מקומות אחרי סוף מחזור.

השארית אומרת איפה אנחנו בתוך המחזור: שארית 11 — המקום הראשון במחזור, שארית 22 — השני, ושארית 00 — המקום האחרון.

כמה פעמים?

כמה חרוזים לבנים יש באותה שרשרת?

להציג את התשובה והפתרון

1616. 50−34=1650 - 34 = 16 — חרוז לבן אחד בכל מחזור שלם, ושני החרוזים שנשארו אפורים.

ימים בשבוע

ספרת האחדות

252^{5} פירושו 2×2×2×2×22 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2.

ספרת האחדות של מכפלה תלויה רק בספרות האחדות של הגורמים. לכן ספרות האחדות של 2,4,8,16,32,…2, 4, 8, 16, 32, \ldots חוזרות במחזור.

מהי ספרת האחדות של 2502^{50}?

להציג את התשובה והפתרון

44. 50=12×4+250 = 12 \times 4 + 2 — המקום השני במחזור 2,4,8,62, 4, 8, 6.

שתי טעויות במחזורים

100=25×4⇒1100 = 25 \times 4 \Rightarrow 1
100=25×4⇒4100 = 25 \times 4 \Rightarrow 4

שארית 00 פירושה סוף מחזור — המקום האחרון בו, לא הראשון.

30:7=430 : 7 = 4
30=4×7+230 = 4 \times 7 + 2

ארבעה שבועות הם 2828 ימים, לא 3030. שני הימים שנשארו מזיזים את היום.

בודקים את החלוקה בחזרה: 16×3+2=5016 \times 3 + 2 = 50. אם הבדיקה לא מחזירה את המספר המקורי — יש טעות.

תרגילים

תרגיל 1

…

הצורות בשורה חוזרות שוב ושוב בסדר שבציור: עיגול, ריבוע, ריבוע, משולש. מהי הצורה ה-5252?

  1. עיגול
  2. לא ניתן לדעת
  3. ריבוע
  4. משולש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד משולש

הפתרון:

44

אורך המחזור

52=13×452 = 13 \times 4

בדיוק 1313 מחזורים, בלי שארית

44

שארית 00 — המקום האחרון במחזור

התשובה היא משולש. מי שבחר עיגול חשב ששארית 00 מחזירה להתחלה — אבל היא מסיימת מחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

את המילה ״שלום״ כותבים שוב ושוב בלי רווחים: שלוםשלוםשלום... כמה פעמים מופיעה האות ל ב-5050 האותיות הראשונות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

44

אורך המחזור: ש, ל, ו, ם

50=12×4+250 = 12 \times 4 + 2

1212 מחזורים שלמים, ועוד שתי אותיות: ש, ל

12+1=1312 + 1 = 13

ל אחת בכל מחזור, ועוד אחת בשארית

התשובה היא 1313. מי שכתב 1212 שכח את שתי האותיות שנשארו — והשנייה בהן היא ל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי ספרת האחדות של 7207^{20} (עשרים פעמים 77 כפול עצמו)?

  1. 33
  2. 77
  3. 99
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 11

הפתרון:

7,9,3,17, 9, 3, 1

ספרות האחדות של 7,49,343,24017, 49, 343, 2401 — מחזור של 44

20=5×420 = 5 \times 4

שארית 00

11

המקום האחרון במחזור

התשובה היא 11. 77 מתקבל כששארית 00 נקראת ״התחלה״, ו-99 או 33 מספירה שגויה בתוך המחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ברצף הספרות 142857142857142857…142857142857142857\ldots הספרה במקום ה-20262026 היא 77.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

66

אורך המחזור: 1,4,2,8,5,71, 4, 2, 8, 5, 7

2026=337×6+42026 = 337 \times 6 + 4

שארית 44

88

הספרה הרביעית במחזור

הטענה לא נכונה: במקום ה-20262026 עומדת הספרה 88. 77 היא הספרה האחרונה במחזור — היא הייתה נכונה רק אילו 20262026 התחלק ב-66.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

היום יום רביעי. איזה יום יהיה בעוד 100100 ימים?

  1. יום חמישי
  2. יום שישי
  3. יום רביעי
  4. יום שבת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יום שישי

הפתרון:

100=7×14+2100 = 7 \times 14 + 2

1414 שבועות שלמים, ועוד 22 ימים

+2+2

השבועות מחזירים ליום רביעי, ועוד יומיים

התשובה: יום שישי. 1414 השבועות לא מזיזים דבר — רק השארית 22. מי שבחר יום רביעי חשב ש-100100 מתחלק ב-77.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הרצף א, ב, ב, ג חוזר שוב ושוב: א, ב, ב, ג, א, ב, ב, ג, ... כמה פעמים מופיעה האות ב ב-4545 המקומות הראשונים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22

הפתרון:

44

אורך המחזור

45=4×11+145 = 4 \times 11 + 1

1111 מחזורים שלמים, ועוד מקום אחד: א

11×2=2211 \times 2 = 22

שתי ב בכל מחזור, ואין ב בשארית

התשובה: 2222. מי שכתב 2323 חשב שהמקום הנוסף הוא ב — אבל מחזור חדש מתחיל ב-א.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נורות דולקות בצבעים אדום, כחול, ירוק, אדום, כחול, ירוק, ... הנורה במקום ה-6060 אדומה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

60=3×2060 = 3 \times 20

בלי שארית

33

סוף מחזור — המקום השלישי, הצבע האחרון: ירוק

הטענה לא נכונה: 6060 מתחלק ב-33, ולכן המקום ה-6060 סוגר מחזור — ירוק. אדום הוא המקום ה-6161.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ברצף 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,…1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, \ldots השלימו את הטבלה.

המקוםהשארית בחלוקה ב-55המספר במקום
2323________
4040________
5151________
9999________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2323: 3, 3 · 4040: 0, 5 · 5151: 1, 1 · 9999: 4, 4

הפתרון:

23=5×4+323 = 5 \times 4 + 3

שארית 33 — המספר 33

40=5×840 = 5 \times 8

שארית 00 — סוף מחזור: 55

השארית אומרת איפה אנחנו בתוך המחזור. רק שארית 00 דורשת זהירות: היא לא המקום ״אפס״ — היא המקום האחרון, 55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ספרות האחדות של 3,9,27,81,243,…3, 9, 27, 81, 243, \ldots חוזרות במחזור 3,9,7,13, 9, 7, 1. השלימו.

ספרת האחדות של 3103^{10} היא ____, ושל 3123^{12} היא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ספרת האחדות של 3103^{10} היא 9, ושל 3123^{12} היא 1.

הפתרון:

10=4×2+210 = 4 \times 2 + 2

המקום השני במחזור: 99

12=4×312 = 4 \times 3

סוף מחזור: 11

אורך המחזור 44. 3103^{10} — שארית 22, ו-3123^{12} — שארית 00, המקום האחרון במחזור. מי שכתב 33 ל-3123^{12} חזר להתחלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

השנה ה-1 בינואר חל ביום ראשון. בשנה 365365 ימים. באיזה יום יחול ה-1 בינואר בשנה הבאה?

  1. יום ראשון
  2. לא ניתן לדעת
  3. יום שלישי
  4. יום שני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יום שני

הפתרון:

365=7×52+1365 = 7 \times 52 + 1

5252 שבועות שלמים, ועוד יום אחד

+1+1

יום ראשון, ועוד יום אחד

התשובה: יום שני. הנתונים מספיקים: השבועות לא מזיזים, והשארית 11 מקדמת ביום אחד. מי שבחר יום ראשון חשב ששנה היא מספר שלם של שבועות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת