תרגול — הפרשים · סדרות ודפוסים · מבחן כניסה לכיתה ו׳ (לתלמידי ה׳)

עשר שאלות בפורמט המבחן, מהקלה לקשה, וביניהן שלוש שאלות אימון בצורה אחרת. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון.

בכל שאלה כתבו קודם את ההפרשים מתחת לסדרה. אם הם אינם קבועים — בדקו את ההפרשים שלהם, או אם הם מוכפלים.

תרגילים

תרגיל 1

מהו המספר החסר בסדרה $4, 5, 8, 13, \_\_, 29$ ?

$21$
$18$
$22$
$20$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $20$

הפתרון:

1, 3, 5, \ ?, \ ?

ההפרשים הידועים: אי-זוגיים ברצף

13 + 7 = 20

ההפרש הבא $7$

20 + 9 = 29

בדיקה: ההפרש שאחריו $9$ מגיע בדיוק ל- $29$

התשובה היא $20$ . $21$ הוא האמצע בין $13$ ל- $29$ — נכון רק כשההפרש קבוע. $18$ חוזר על ההפרש $5$ , ו- $22$ קופץ ישר ל- $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה $7, 12, 17, 22, \ldots$ — באיזה מקום נמצא המספר $102$ ?

$102$ אינו בסדרה
$19$
$20$
$21$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $20$

הפתרון:

102 - 7 = 95

כמה עולים מהאיבר הראשון

95 : 5 = 19

$19$ קפיצות

19 + 1 = 20

והאיבר הראשון עצמו תופס את המקום הראשון

התשובה היא המקום ה- $20$ . $19$ הוא מספר הקפיצות, לא המקום. כל האיברים מסתיימים ב- $2$ או ב- $7$ , ולכן $102$ בהחלט יכול להיות בסדרה — והוא אכן בה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

איזה מהמספרים הבאים אינו איבר בסדרה $3, 7, 11, 15, \ldots$ ?

$43$
$59$
$99$
$81$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $81$

הפתרון:

3 + 4k

כל איבר הוא $3$ ועוד כמה קפיצות של $4$

81 - 3 = 78

$78$ אינו מתחלק ב- $4$

\begin{aligned}43 - 3 &= 40 \\ \ 59 - 3 &= 56 \\ \ 99 - 3 &= 96\end{aligned}

שלושת האחרים — מתחלקים ב- $4$

התשובה היא $81$ . כל ארבעת המספרים אי-זוגיים, ולכן בדיקת זוגיות לא מספיקה: צריך לבדוק שארית בחלוקה ב- $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 5, 10, 17, 26, \ldots$ ?

$35$
$52$
$37$
$36$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $37$

הפתרון:

3, 5, 7, 9

ההפרשים — אי-זוגיים ברצף

9 + 2 = 11

ההפרש הבא

26 + 11 = 37

האיבר הבא

6 \times 6 + 1 = 37

בדיקה: כל איבר הוא ריבוע של מספר ועוד $1$

התשובה היא $37$ . $35$ חוזר על ההפרש $9$ , $36$ מוסיף $10$ (הפרשים שגדלים ב- $1$ ), ו- $52$ מכפיל את $26$ ב- $2$ — כלל שלא מתאים כבר למעבר $2 \to 5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 6, 18, 54, \ldots$ ?

$108$
$216$
$90$
$162$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $162$

הפתרון:

\begin{aligned}6 : 2 &= 3 \\ \ 18 : 6 &= 3\end{aligned}

כל איבר פי $3$ מהקודם

54 \times 3 = 162

האיבר הבא

התשובה היא $162$ . $90$ חוזר על ההפרש האחרון ( $36$ ), $108$ הוא ההפרש הבא ולא האיבר, ו- $216$ כופל ב- $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האיבר הראשון בסדרה הוא $3$ . כל איבר הבא מתקבל כך: כופלים את הקודם ב- $3$ , ואחר כך מחסרים $2$ . מהו האיבר החמישי?

$55$
$487$
$163$
$241$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $163$

הפתרון:

3 \to 7

$3 \times 3 - 2$

7 \to 19 \to 55

$7 \times 3 - 2 = 19$ , $19 \times 3 - 2 = 55$

55 \times 3 - 2 = 163

האיבר החמישי — ארבעה צעדים אחרי הראשון

התשובה היא $163$ . $55$ הוא האיבר הרביעי, $487$ עושה חמישה צעדים במקום ארבעה, ו- $241$ כופל ארבע פעמים ומחסר $2$ רק פעם אחת בסוף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו האיבר הבא בסדרה $1, 4, 5, 9, 14, 23, \ldots$ ?

$46$
$37$
$32$
$28$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $37$

הפתרון:

\begin{aligned}1 + 4 &= 5 \\ \ 4 + 5 &= 9\end{aligned}

כל איבר הוא סכום שני הקודמים

9 + 14 = 23

בדיקה

14 + 23 = 37

האיבר הבא

התשובה היא $37$ . $32$ חוזר על ההפרש $9$ , $46$ מכפיל את $23$ , ו- $28$ מוסיף $5$ , ההפרש שבין $9$ ל- $14$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בסדרה עם הפרש קבוע, האיבר השלישי הוא $17$ והאיבר השביעי הוא $41$ . מהו האיבר הראשון?

$11$
$1$
$5$
$6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $5$

הפתרון:

41 - 17 = 24

מהמקום השלישי לשביעי

7 - 3 = 4

יש ביניהם $4$ קפיצות

24 : 4 = 6

ההפרש

17 - 2 \times 6 = 5

מהמקום השלישי חוזרים שתי קפיצות

התשובה היא $5$ . $11$ חוזר קפיצה אחת בלבד, $1$ מתקבל כשסופרים $3$ קפיצות במקום $4$ (הפרש $8$ ), ו- $6$ הוא ההפרש, לא האיבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהו האיבר הבא בסדרה $1, 2, 6, 15, 31, \ldots$ ?

$62$
$47$
$48$
$56$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $56$

הפתרון:

1, 4, 9, 16

ההפרשים — ריבועים: $1 \times 1, 2 \times 2, 3 \times 3, 4 \times 4$

5 \times 5 = 25

ההפרש הבא

31 + 25 = 56

האיבר הבא

התשובה היא $56$ . $47$ חוזר על ההפרש $16$ , $48$ מוסיף $17$ כאילו ההפרשים גדלים ב- $1$ , ו- $62$ מכפיל את $31$ ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נועה חוסכת: ביום הראשון שמה בקופה $1$ ₪, ובכל יום היא שמה $2$ ₪ יותר מביום הקודם. כמה כסף יש בקופה אחרי $10$ ימים?

$81$ ₪
$19$ ₪
$100$ ₪
$110$ ₪

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $100$ ₪

הפתרון:

1, 3, 5, \ldots, 19

הסכומים של עשרת הימים

(1 + 19) + (3 + 17) + \ldots

מחברים בזוגות

5 \times 20 = 100

חמישה זוגות של $20$

התשובה היא $100$ ₪. $19$ ₪ הוא רק מה שהיא שמה ביום העשירי, $81$ ₪ הוא הסכום אחרי $9$ ימים, ו- $110$ ₪ מתחיל מ- $2$ ₪ במקום מ- $1$ ₪.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בסדרה $9, 13, 17, 21, \ldots$ — מהו האיבר ה- $30$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 125

הפתרון:

13 - 9 = 4

ההפרש הקבוע

30 - 1 = 29

מהאיבר הראשון עד ה- $30$ יש $29$ קפיצות

9 + 29 \times 4 = 125

מתחילים מ- $9$ וקופצים $29$ פעמים

$125$ . המלכודת: $30 \times 4 = 120$ שוכח את נקודת ההתחלה, ו- $9 + 30 \times 4 = 129$ קופץ פעם אחת יותר מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

השלימו את ההפרשים של הסדרה $2, 3, 7, 16, 32, \ldots$ , ואחר כך את האיבר השישי.

מקום	איבר	הפרש מהקודם
$1$	$2$	—
$2$	$3$	____
$3$	$7$	____
$4$	$16$	____
$5$	$32$	____
$6$	____	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2$ : 1 · $3$ : 4 · $4$ : 9 · $5$ : 16 · $6$ : 57, 25

הפתרון:

1, 4, 9, 16

ההפרשים: $1 \times 1$ , $2 \times 2$ , $3 \times 3$ , $4 \times 4$

5 \times 5 = 25

ההפרש הבא

32 + 25 = 57

האיבר השישי

ההפרשים הם ריבועים, ולכן הבא $25$ והאיבר השישי $57$ . המלכודת: לחפש הפרש שני קבוע — כאן ההפרשים השניים $3, 5, 7$ גדלים בעצמם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

דנה חיפשה את האיבר הבא בסדרה $2, 4, 8, 14, 22, \ldots$ — שורה אחת שגויה. מצאו אותה.

4 - 2 = 2

8 - 4 = 4

14 - 8 = 6

22 - 14 = 8

22 + 8 = 30

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $22 + 8 = 30$ → $22 + 10 = 32$

הפתרון:

2, 4, 6, 8

ההפרשים גדלים ב- $2$

8 + 2 = 10

ההפרש הבא

22 + 10 = 32

האיבר הבא

האיבר הבא $32$ . דנה חזרה על ההפרש האחרון ( $8$ ) — הטעות הנפוצה בפרק. ההפרשים הם סדרה בעצמם, והיא ממשיכה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev