סדרה 2 — ממוצע משוקלל · עיבוד נתונים · מבחן כניסה לכיתה ז׳ (לתלמידי ו׳)

עשר שאלות בפורמט המבחן. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו את מה שנראה לכם הגיוני והמשיכו. אחריהן, ארבע שאלות תרגול בצורות אחרות, בלי שעון.

תרגילים

תרגיל 1

בכיתה אחת $15$ תלמידים וממוצע הציונים $90$ ; בכיתה שנייה $25$ תלמידים וממוצע $70$ . מהו ממוצע הציונים של שתי הכיתות יחד?

$80$
$75$
$77.5$
$82$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $77.5$

הפתרון:

15 \times 90 = 1350

25 \times 70 = 1750

\frac{1350 + 1750}{40} = 77.5

התשובה היא $77.5$ . $80$ הוא ממוצע שני הממוצעים, והוא נכון רק אם הכיתות שוות בגודלן — כאן הכיתה החלשה גדולה יותר ומושכת למטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בקבוצה של $10$ אנשים הממוצע הוא $50$ , ובקבוצה של $30$ הממוצע הוא $70$ . מהו הממוצע המשותף?

$55$
$65$
$60$
$70$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $65$

הפתרון:

10 \times 50 + 30 \times 70 = 2600

\frac{2600}{40} = 65

התשובה היא $65$ . הקבוצה הגדולה פי שלוש מושכת את הממוצע לכיוונה — $65$ קרוב ל- $70$ ורחוק מ- $60$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שתי קבוצות בנות $20$ איש כל אחת, עם ממוצעים $80$ ו- $60$ . מהו הממוצע המשותף?

$75$
$70$
$140$
$65$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $70$

הפתרון:

20 = 20

הקבוצות שוות

\frac{80 + 60}{2} = 70

התשובה היא $70$ . זה המקרה היחיד שבו ממוצע הממוצעים נכון: כשהקבוצות שוות בגודלן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ב- $5$ מבחנים ממוצע התלמיד היה $100$ , וב- $15$ מבחנים נוספים היה $80$ . מהו ממוצעו בכל $20$ המבחנים?

$83$
$90$
$85$
$95$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $85$

הפתרון:

5 \times 100 + 15 \times 80 = 1700

\frac{1700}{20} = 85

התשובה היא $85$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בקבוצה של $12$ הממוצע $75$ , ובקבוצה של $18$ הממוצע $85$ . מהו הממוצע המשותף?

$80$
$79$
$81$
$82$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $81$

הפתרון:

12 \times 75 + 18 \times 85 = 2430

\frac{2430}{30} = 81

התשובה היא $81$ . הקבוצה החזקה גדולה יותר, ולכן הממוצע עובר את $80$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ב- $20$ דייגים עם חכה נתפסים בממוצע $7$ דגים ליום, וב- $15$ דייגים עם רשת נתפסים בממוצע $10.5$ . כמה דגים תופס דייג בממוצע ביום?

$8.75$
$9.5$
$8.5$
$7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $8.5$

הפתרון:

20 \times 7 = 140

15 \times 10.5 = 157.5

\frac{297.5}{35} = 8.5

התשובה היא $8.5$ . $8.75$ הוא ממוצע שני הממוצעים — קרוב מאוד, ושגוי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בקבוצה של $8$ שחקנים הגובה הממוצע $90$ ס״מ, ובקבוצה של $2$ הוא $40$ ס״מ. מהו הגובה הממוצע של כולם?

$75$ ס״מ
$65$ ס״מ
$70$ ס״מ
$80$ ס״מ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $80$ ס״מ

הפתרון:

8 \times 90 + 2 \times 40 = 800

\frac{800}{10} = 80

התשובה היא $80$ ס״מ. $65$ הוא ממוצע הממוצעים, והוא רחוק מאוד — כי הקבוצות רחוקות מאוד בגודלן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בקבוצה של $6$ הממוצע $60$ , ובקבוצה של $4$ הממוצע $85$ . מהו הממוצע המשותף?

$72.5$
$68$
$75$
$70$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $70$

הפתרון:

6 \times 60 + 4 \times 85 = 700

\frac{700}{10} = 70

התשובה היא $70$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שתי קבוצות מתאחדות. הראשונה גדולה מהשנייה, וממוצעה נמוך יותר. איפה יימצא הממוצע המשותף?

קרוב יותר לממוצע של הקטנה
קרוב יותר לממוצע של הקבוצה הגדולה
בדיוק באמצע
לא ניתן לדעת

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב קרוב יותר לממוצע של הקבוצה הגדולה

הפתרון:

\frac{n_{1}m_{1} + n_{2}m_{2}}{n_{1} + n_{2}}

n_{1} > n_{2}

המשקל הגדול מושך

התשובה היא קרוב לממוצע של הגדולה. שאלה שנפתרת בלי מספרים — וזה בדיוק מה שהבנת המשקל נותנת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

הממוצע של שישה מספרים הוא $15$ . מהו סכומם?

$21$
$6$
$90$
$15$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $90$

הפתרון:

15 \times 6 = 90

ממוצע כפול מספר האיברים

התשובה היא $90$ . ממוצע הוא סכום מוסתר, וזה המעבר הראשון שכדאי לעשות בכל שאלת ממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בכיתה $10$ בנים, וממוצע הציונים שלהם $84$ ; ו- $15$ בנות, וממוצע הציונים שלהן $74$ . מהו ממוצע הציונים של כל הכיתה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 78

הפתרון:

10 \times 84 = 840

סכום הבנים

15 \times 74 = 1110

סכום הבנות

\begin{aligned}\frac{840 + 1110}{25} &= \frac{1950}{25} \\ &= 78\end{aligned}

סכום על סכום

התשובה היא $78$ . ממוצע הממוצעים, $79$ , שגוי: הבנות רבות יותר, והן מושכות את הממוצע למטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בקבוצה אחת $30$ איש עם ממוצע $60$ , ובשנייה $10$ איש עם ממוצע $100$ . הממוצע של כל $40$ האנשים הוא $80$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

30 \times 60 + 10 \times 100 = 2800

סכום כל האנשים

\frac{2800}{40} = 70

לא נכון: הממוצע הוא $70$ . $80$ הוא ממוצע הממוצעים, והוא נכון רק כשהקבוצות שוות בגודלן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

בקבוצה א׳ הממוצע $70$ , ובקבוצה ב׳ הממוצע $90$ . כל כרטיס נותן את גודלי הקבוצות, א׳ : ב׳. האם הממוצע המשותף מעל $80$ , או מתחת לו?

מעל 80
מתחת ל-80

$10 : 20$
$12 : 13$
$25 : 5$
$3 : 30$
$40 : 39$
$8 : 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $10 : 20$ — מעל 80 · $25 : 5$ — מתחת ל-80 · $12 : 13$ — מעל 80 · $40 : 39$ — מתחת ל-80 · $3 : 30$ — מעל 80 · $8 : 2$ — מתחת ל-80

הפתרון:

n_{\text{ב}} > n_{\text{א}} \Rightarrow \bar{x} > 80

ב׳ גדולה יותר: הממוצע נמשך אל 90

n_{\text{א}} > n_{\text{ב}} \Rightarrow \bar{x} < 80

א׳ גדולה יותר: הממוצע נמשך אל 70

לא צריך לחשב: הקבוצה הגדולה מושכת. גם הפרש של איש אחד ( $40$ מול $39$ ) מספיק כדי שהממוצע לא יהיה בדיוק $80$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הממוצע של $20$ תלמידים הוא $75$ . הצטרפו אליהם $5$ תלמידים, והממוצע של כל $25$ התלמידים עלה ל- $78$ . מהו הממוצע של חמשת המצטרפים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

25 \times 78 = 1950

הסכום אחרי

20 \times 75 = 1500

הסכום לפני

\begin{aligned}\frac{1950 - 1500}{5} &= \frac{450}{5} \\ &= 90\end{aligned}

מה שהמצטרפים הביאו

התשובה היא $90$ . מי שענה $81$ (עלייה של $3$ ועוד $78$ ) לא תרגם את הממוצעים לסכומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev