אומדן — לענות בלי לחשב עד הסוף

ב-elev Bar-Ilan השיעור הזה מגיע עם:

  • כל תרגיל נבדק ברגע שעונים
  • רמז בדיוק כשנתקעים
  • מעקב אחרי ההתקדמות, פרק אחרי פרק
לתרגל ב-elev Bar-Ilan

השיעור הזה פתוח למנויים. פרק שלם בחינם: חשיבה מתמטית-לוגית

במבחן הכניסה יש שאלות שבהן החישוב המלא לוקח דקה, ושלוש בדיקות של חמש שניות מספיקות. המילים ״בערך״, ״כ-״ ו״הכי קרוב ל-״ הן סימן ברור: מבקשים אומדן. וגם כששואלים על תוצאה מדויקת — לרוב אפשר לפסול את התשובות השגויות בלי לחשב.

כרטיס שיטה: ארבעה כלים לפני כל חישוב

  1. 31×968≈30×100031 \times 968 \approx 30 \times 1000

    עיגול נוח — קרוב למספר, וקל לחשב בראש

  2. 300×4000=12×105300 \times 4000 = 12 \times 10^{5}

    סדר גודל — סופרים אפסים, ובודקים כמה ספרות יש לתוצאה

  3. …4×3=…2\ldots 4 \times 3 = \ldots 2

    ספרת האחדות — תלויה רק בספרות האחדות של המספרים

  4. 772<77.52<78277^{2} < 77.5^{2} < 78^{2}

    גבולות — עיגול כלפי מטה וכלפי מעלה, והתוצאה ביניהם

השלבים, בכל שאלה: (1) קוראים את התשובות לפני שמחשבים. (2) אם הן רחוקות זו מזו — אומדן גס מספיק. (3) אם שתיים קרובות — בודקים ספרת אחדות או גבולות. (4) מחשבים במדויק רק אם עדיין נשארו שתי תשובות.

עיגול נוח: קרוב, וגם קל

מעגלים כל מספר לספרה הראשונה שלו: 968≈1000968 \approx 1000, 31≈3031 \approx 30, 4.8≈54.8 \approx 5. כך נשאר חישוב של ספרה אחת כפול ספרה אחת, ועוד אפסים.

אפשר גם לעגל למספר ידידותי — 2525, 5050, 250250 — כשהוא קרוב יותר. וכשמספר אחד עוגל למעלה, טוב שהאחר יעוגל למטה: השגיאות מקזזות זו את זו.

פעילות אינטראקטיבית

31×96831 \times 968 — בערך כמה?

כדאי לנסות כמה עיגולים: 31×97031 \times 970 קרוב, אבל קשה לחשב בראש. 40×90040 \times 900 קל, אבל רחוק.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: פרס שמתחלק בין 3131 זוכים

3131 אנשים זכו יחד בפרס של 30,00030{,}000 ש״ח וחילקו אותו שווה בשווה. בערך כמה קיבל כל אחד? התשובות: כ-267267, כ-967967, כ-2,3962{,}396, כ-1,0071{,}007.

30,000:31≈30,000:3030{,}000 : 31 \approx 30{,}000 : 30

מעגלים את המחלק למספר נוח

30,000:30=100030{,}000 : 30 = 1000

הורדנו את המחלק, ולכן האומדן גדול מעט מהתוצאה

967<1000967 < 1000

התשובה צריכה להיות מעט פחות מ-10001000: כ-967967

שלוש טעויות שעולות נקודות במבחן.

30×1000=300030 \times 1000 = 3000
30×1000=30,00030 \times 1000 = 30{,}000

סופרים את כל האפסים: אחד מ-3030 ושלושה מ-10001000

30,000:31≈100730{,}000 : 31 \approx 1007
30,000:31≈96730{,}000 : 31 \approx 967

עיגלנו את המחלק 3131 למטה, ולכן האומדן 10001000 גדול מהתשובה: בוחרים את מה שמעט קטן ממנו

47×812≈40×90047 \times 812 \approx 40 \times 900
47×812≈50×80047 \times 812 \approx 50 \times 800

עיגול רחוק מדי (מ-4747 ל-4040) מקלקל את האומדן

בערך כמה זה 49×5149 \times 51? ולמה האומדן כאן מדויק במיוחד?

להציג את התשובה והפתרון

כ-25002500: 50×5050 \times 50. המספר הראשון עוגל למעלה בדיוק כמו שהשני עוגל למטה, והשגיאות כמעט מתקזזות — התוצאה המדויקת היא 24992499.

סדר גודל: לספור אפסים

כשכופלים מספרים עגולים, כופלים את הספרות שאינן אפס, ומוסיפים את כל האפסים של שני המספרים. כך יודעים מיד כמה ספרות יהיו לתוצאה.

300×4000=(3×4)×102×103=1,200,000\begin{aligned}300 \times 4000 &= (3 \times 4) \times 10^{2} \times 10^{3} \\ &= 1{,}200{,}000\end{aligned}

שני אפסים ועוד שלושה אפסים: חמישה

מספר עשרוני הוא חלק ממספר עגול: 0.5×800=4000.5 \times 800 = 400 (חצי), 0.25×800=2000.25 \times 800 = 200 (רבע). וחילוק במספר קטן מ-11 מגדיל: 40:0.5=8040 : 0.5 = 80.

כמה ספרות יש למכפלה 61×183061 \times 1830?

להציג את התשובה והפתרון

שש. 60×1800=108,00060 \times 1800 = 108{,}000 ו-70×1900=133,00070 \times 1900 = 133{,}000 — התוצאה ביניהם, ושני הגבולות הם מספרים בני שש ספרות. (בדיוק: 111,630111{,}630.)

רוצה לדעת אם הבנת?

ב-elev Bar-Ilan כל תרגיל נבדק ברגע שעונים, ורמז מגיע בדיוק כשנתקעים.

לתרגל ב-elev Bar-Ilan

ספרת האחדות: בדיקה של שתי שניות

בחיבור, בחיסור ובכפל, ספרת האחדות של התוצאה תלויה רק בספרות האחדות של המספרים. ב-6847×46847 \times 4: 7×4=287 \times 4 = 28, ולכן התוצאה מסתיימת ב-88 — וכל תשובה שמסתיימת בספרה אחרת נפסלת.

פעילות אינטראקטיבית

מה התוצאה של 6847×46847 \times 4?

שלושה כלים. כל כלי פוסל את מה שאינו מתאים לו — ובשום שלב לא כופלים עד הסוף.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

מה ספרת האחדות לא יודעת לעשות.

7392:4→2:47392 : 4 \to 2 : 4
7392:4=18487392 : 4 = 1848

בחילוק אין כלל כזה: ספרת האחדות של המנה אינה תלויה רק באחדות

…8⇒✓\ldots 8 \Rightarrow \checkmark
…8⇒?\ldots 8 \Rightarrow \text{?}

ספרת אחדות מתאימה אינה מוכיחה שהתשובה נכונה — היא רק לא פוסלת אותה

גבולות: למטה ולמעלה

כששתי תשובות קרובות זו לזו, עיגול אחד לא מספיק. מעגלים הכול למטה — זה גבול תחתון. מעגלים הכול למעלה — זה גבול עליון. התוצאה חייבת להיות ביניהם.

פעילות אינטראקטיבית

64.3264.3^{2} — מה התוצאה?

מי שמעגל רק למטה מקבל 642=409664^{2} = 4096 — והתשובה הקרובה אליו ביותר היא דווקא השגויה.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: אחוזים במספרים נוחים

בערך כמה הם 24%24\% מתוך 39803980?

24%≈25%=1424\% \approx 25\% = \frac{1}{4}

אחוז ידידותי: רבע

3980≈40003980 \approx 4000
14×4000=1000\frac{1}{4} \times 4000 = 1000

האומדן

24%<25%,  3980<400024\% < 25\%,\; 3980 < 4000

שני העיגולים כלפי מעלה, ולכן התוצאה מעט פחות מ-10001000 (בדיוק: 955.2955.2)

אומדן בשאלה מילולית

בשאלה מילולית מתרגמים קודם לתרגיל, ורק אחר כך מעגלים. מספרים שכדאי לזכור: שנה ≈365\approx 365 ימים ≈52\approx 52 שבועות, חודש ≈30\approx 30 ימים, יממה =24= 24 שעות.

דוגמה פתורה: קילומטרים בשנה

דני רוכב על אופניים כ-1818 ק״מ ביום, 55 ימים בשבוע, כל השנה. בערך כמה ק״מ הוא רוכב בשנה? התשובות: כ-900900, כ-4,7004{,}700, כ-6,5006{,}500, כ-47,00047{,}000.

18×5=9018 \times 5 = 90

ק״מ בשבוע

90×52≈90×50=450090 \times 52 \approx 90 \times 50 = 4500

שבועות בשנה, ולא ימים

4500→47004500 \to 4700

עיגלנו את 5252 למטה, ולכן התשובה מעט יותר: כ-4,7004{,}700

שתי מלכודות של שאלות מילוליות.

18×36518 \times 365
18×5×5218 \times 5 \times 52

הוא לא רוכב כל יום: 6,5706{,}570 היא תשובה של מי שלא קרא עד הסוף

90×52≈100×6090 \times 52 \approx 100 \times 60
90×52≈90×5090 \times 52 \approx 90 \times 50

שני עיגולים כלפי מעלה מצטברים: כאן השגיאה כבר יותר מ-25%25\%

איזה מספר הכי קרוב ל-401×0.499.9\frac{401 \times 0.49}{9.9}: 22, 2020, 200200 או 20002000?

להציג את התשובה והפתרון

2020. 401≈400401 \approx 400, 0.49≈0.50.49 \approx 0.5, 9.9≈109.9 \approx 10, ולכן 400×0.510=20010=20\frac{400 \times 0.5}{10} = \frac{200}{10} = 20. (בדיוק: כ-19.8519.85.)

סיכום השיטה: מסתכלים על התשובות ← מעגלים לספרה הראשונה ← סופרים אפסים ← אם צריך: ספרת אחדות וגבולות ← בודקים שהתשובה הגיונית (אדם לא רוכב 47,00047{,}000 ק״מ בשנה).

השיעור הבא מחכה ב-elev Bar-Ilan

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev Bar-Ilanלגלות את elev Bar-Ilan לכיתה הזאת

השיעור הזה פתוח למנויים. פרק שלם בחינם: חשיבה מתמטית-לוגית