שינוי מידות · מרובעים, משולשים ומעגל · מבחן כניסה לכיתה ז׳ (לתלמידי ו׳)

שאלה שחוזרת בכל מבחן: ״מגדילים את הצלע — מה קורה לשטח?״

אין צורך במידות עצמן. צריך לדעת שההיקף והשטח אינם משתנים באותו קצב.

ההיקף: פי אותו מספר

ההיקף הוא סכום של אורכים. כל הצלעות גדלות פי $3$ — גם הסכום גדל פי $3$ .

גם במעגל: רדיוס פי $2$ נותן היקף פי $2$ .

השטח: פי המספר בריבוע

הכפלנו את הצלע, והשטח גדל פי $4$ — לא פי $2$ .

הריבוע גדל בשני כיוונים, באורך וברוחב. כל כיוון תורם פי $2$ .

\begin{aligned}P' &= k \times P \\ \qquad S' &= k^2 \times S\end{aligned}

כשכל המידות גדלות פי $k$

כשמשנים רק חלק מהמידות

שטח הוא מכפלה של שני אורכים.

לכן השטח מרגיש את מכפלת השינויים: בסיס פי $3$ וגובה פי $2$ נותנים שטח פי $3 \times 2 = 6$ — לא פי $5$ .

ומה עם אחוזים? צלע ריבוע שגדלה ב- $10\%$ מוכפלת ב- $1.1$ — בשני הכיוונים.

מקטינים את רדיוס המעגל פי $2$ . מה קורה לשטח? ומה קורה להיקף?

להציג את התשובה והפתרון

השטח קטן פי $4$ , וההיקף קטן פי $2$ . ברדיוס $4$ : שטח $16\pi$ והיקף $8\pi$ . ברדיוס $2$ : שטח $4\pi$ והיקף $4\pi$ .

כשהשטח נשאר קבוע

השטח של מלבן לא משתנה, והאורך גדל פי $2$ ? אז הרוחב קטן פי $2$ .

המכפלה נשארת אותה מכפלה: $6 \times 4 = 12 \times 2 = 24$ .

למלבן אורך $8$ ס״מ ורוחב $6$ ס״מ. אורכו גדל פי $3$ , והשטח לא השתנה. מהו הרוחב החדש?

להציג את התשובה והפתרון

$2$ ס״מ. השטח $48$ , האורך החדש $24$ , ו- $48 : 24 = 2$ . הרוחב קטן פי $3$ .

המלכודת: לחבר במקום להכפיל.

S \times 2

S \times 4

הכפלת צלע הריבוע מכפילה את השטח פי $4$ — שני כיוונים.

+10\% + 10\% = +20\%

1.1 \times 1.1 = 1.21

אחוזים על שטח מוכפלים. השטח גדל ב- $21\%$ .

כשהשטח המקורי לא ידוע, בחרו מספרים נוחים: ריבוע שצלעו $10$ , מלבן $10 \times 5$ , עיגול שרדיוסו $1$ . חשבו לפני ואחרי, והשוו. זה לוקח חצי דקה ואינו טועה.

תרגילים

תרגיל 1

צלע של ריבוע גדלה פי $3$ . פי כמה גדל השטח שלו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

3 \times 3 = 9

התשובה היא $9$ . גם האורך וגם הרוחב גדלים פי $3$ . לדוגמה: צלע $2$ נותנת שטח $4$ , וצלע $6$ נותנת שטח $36$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מגדילים את כל צלעות המלבן פי $2$ . מה קורה להיקף?

לא משתנה
גדל פי $2$
גדל פי $4$
גדל פי $8$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גדל פי $2$

הפתרון:

2 \times (6 + 4) = 20

מלבן 6 על 4

2 \times (12 + 8) = 40

אחרי ההגדלה פי 2: ההיקף גדל פי 2

התשובה היא גדל פי $2$ . ההיקף הוא סכום של צלעות, וכל אחת גדלה פי $2$ . פי $4$ הוא מה שקורה לשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אם צלע של ריבוע גדלה ב- $10\%$ , השטח שלו גדל ב- $20\%$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1.1 \times 1.1 = 1.21

לא נכון. השטח מוכפל ב- $1.1 \times 1.1 = 1.21$ , כלומר גדל ב- $21\%$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

למלבן אורך $6$ ס״מ ורוחב $4$ ס״מ. מגדילים את האורך פי $3$ ואת הרוחב פי $2$ . מהו השטח החדש (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 144

הפתרון:

6 \times 4 = 24

השטח המקורי

24 \times 6 = 144

פי $3 \times 2 = 6$

18 \times 8 = 144

בדיקה ישירה

התשובה היא $144$ . השטח גדל פי $6$ — מכפלת השינויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

צלע של ריבוע גדלה פי $4$ . פי כמה גדל השטח שלו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

4 \times 4 = 16

האורך פי $4$ , וגם הרוחב פי $4$

התשובה היא $16$ . צלע $1$ נותנת שטח $1$ , וצלע $4$ נותנת שטח $16$ . מי שענה $4$ שכח שהריבוע גדל בשני כיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מגדילים את רדיוס המעגל פי $3$ . מה קורה להיקף?

גדל פי $9$
גדל פי $3$
לא משתנה
גדל פי $6$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גדל פי $3$

הפתרון:

2\pi \times 3r = 3 \times 2\pi r

ההיקף הוא אורך

התשובה היא גדל פי $3$ . ההיקף הוא אורך, והוא גדל כמו הרדיוס. פי $9$ — זה השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מגדילים את הבסיס של משולש פי $2$ , ומקטינים את הגובה שלו פי $2$ . השטח לא משתנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2 \times \frac{1}{2} = 1

מכפלת השינויים

נכון. השטח מוכפל ב- $2 \times \frac{1}{2} = 1$ . למשל: בסיס $4$ וגובה $4$ — שטח $8$ ; בסיס $8$ וגובה $2$ — שטח $8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שטחו של ריבוע $36$ סמ״ר. מגדילים את צלעו פי $2$ . מהו השטח החדש (בסמ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 144

הפתרון:

36 \times 4 = 144

צלע פי $2$ : שטח פי $4$

12 \times 12 = 144

בדיקה: הצלע $6$ הופכת ל- $12$

התשובה היא $144$ . מי שענה $72$ הכפיל את השטח פי $2$ בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

צלע של ריבוע משתנה. התאימו כל שינוי בצלע לשינוי בשטח

הצלע גדלה פי $2$
הצלע גדלה פי $3$
הצלע גדלה פי $10$
הצלע קטנה פי $2$

השטח גדל פי $100$
השטח גדל פי $4$
השטח גדל פי $9$
השטח קטן פי $4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הצלע גדלה פי $2$ — השטח גדל פי $4$ · הצלע גדלה פי $3$ — השטח גדל פי $9$ · הצלע גדלה פי $10$ — השטח גדל פי $100$ · הצלע קטנה פי $2$ — השטח קטן פי $4$

הפתרון:

k \Rightarrow k^2

השטח משתנה פי הריבוע של השינוי

בכל שורה: השינוי בצלע בריבוע. גם בהקטנה: חצי מהצלע — רבע מהשטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

צלע של ריבוע גדלה ב- $30\%$ . באיזה אחוז גדל השטח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 69

הפתרון:

1.3 \times 1.3 = 1.69

כפל ב- $1.3$ בשני הכיוונים

\begin{aligned}10 \times 10 &= 100 \to 13 \times 13 \\ &= 169\end{aligned}

בדיקה עם צלע $10$

התשובה היא $69\%$ . לא $60\%$ : מעבר לשתי הרצועות נוספת גם הפינה, $3 \times 3 = 9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

ההיקף: פי אותו מספר

השטח: פי המספר בריבוע

כשמשנים רק חלק מהמידות

כשהשטח נשאר קבוע

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev