סדר פעולות, נעלמים, חזקות ושורשים · סדר פעולות, נעלמים, חזקות ושורשים, מבחן כניסה לכיתה ז׳ (לתלמידי ו׳) — שיעור

ארבעה סוגי שאלות במבחן נראים קלים — ובכל אחד מחכה מלכודת: סדר הפעולות, סימן או סוגריים שחסרים, ספרה נעלמת בתרגיל במאונך, וחזקה שמתחלפת בכפל. בכל אחד יש שיטה, והיא מהירה יותר מניחוש.

כרטיס שיטה: סדר הפעולות

$(\;\;)$
1. סוגריים — מבפנים החוצה
$a^{n},\;\sqrt{a}$
2. חזקה ושורש
$\times \;\; :$
3. כפל וחילוק — משמאל לימין
$+ \;\; -$
4. חיבור וחיסור — משמאל לימין

באותה דרגה — משמאל לימין. חילוק אינו "חלש" מכפל, וחיסור אינו "חלש" מחיבור: $12 : 3 \times 2 = 8$ , ולא $2$ . ובתרגיל ארוך — מסמנים קודם את הפעולה הראשונה, וכותבים כל שלב בשורה חדשה.

פעילות אינטראקטיבית

איזו פעולה קודם?

נגיעה בסימן של הפעולה שעושים עכשיו. פעולה שצריכה לחכות — תסביר למה.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה

כמה זה $(15 - 3^{2}) \times 4 : 2$ ?

3^{2} = 9

בתוך הסוגריים: קודם החזקה

15 - 9 = 6

ועכשיו החיסור שבסוגריים

6 \times 4 = 24

כפל וחילוק — משמאל לימין

24 : 2 = 12

שלוש טעויות שהמבחן בונה עליהן תשובות.

\begin{aligned}12 : 3 \times 2 &= 12 : 6 \\ &= 2\end{aligned}

\begin{aligned}12 : 3 \times 2 &= 4 \times 2 \\ &= 8\end{aligned}

כפל אינו קודם לחילוק: משמאל לימין

\begin{aligned}20 - 5 + 3 &= 20 - 8 \\ &= 12\end{aligned}

\begin{aligned}20 - 5 + 3 &= 15 + 3 \\ &= 18\end{aligned}

חיבור אינו קודם לחיסור: משמאל לימין

\begin{aligned}2 + 3^{2} &= 5^{2} \\ &= 25\end{aligned}

\begin{aligned}2 + 3^{2} &= 2 + 9 \\ &= 11\end{aligned}

החזקה שייכת רק למספר שלידה

איפה שמים סוגריים כדי ש- $2 + 3 \times 4 - 1$ יהיה שווה ל- $19$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$(2 + 3) \times 4 - 1 = 5 \times 4 - 1 = 19$ . בלי סוגריים יוצא $2 + 12 - 1 = 13$ .

סימנים וסוגריים חסרים

שיטה: (1) גודל — אם התוצאה גדולה מכל המספרים, כנראה יש כפל. (2) סוף התרגיל — מה צריך לקרות למספר האחרון כדי להגיע לתוצאה? (3) מציבים כל אפשרות — ותמיד לפי סדר הפעולות.

פעילות אינטראקטיבית

אילו סימנים חסרים?

נגיעה בתיבה מחליפה את הסימן: $+$ , $-$ , $\times$ , $:$ . התוצאה מחושבת מחדש בכל נגיעה — לפי סדר הפעולות.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

פעילות אינטראקטיבית

איפה הסוגריים?

בלי סוגריים: $6 \times 2 + 3 - 4 = 11$ . נגיעה במספר הראשון ובאחרון שבתוך הסוגריים.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

בשאלה אמריקאית עם סוגריים: לא מנסים את כל המקומות. שואלים מה צריך לקרות לפני הכפל כדי להגיע לתוצאה — כאן $26 + 4 = 30 = 6 \times 5$ , ולכן בסוגריים צריך לצאת $5$ .

ספרות נעלמות: מימין לשמאל

בתרגיל במאונך עובדים עמודה אחרי עמודה, מהאחדות. בכל עמודה: מה ידוע, איזו ספרה חסרה, והאם עובר נשא לעמודה הבאה. בתרגיל חיסור כדאי להפוך אותו לחיבור: $a - b = c$ פירושו $c + b = a$ .

רוצה לדעת אם הבנת?

ב-elev Bar-Ilan כל תרגיל נבדק ברגע שעונים, ורמז מגיע בדיוק כשנתקעים.

לתרגל ב-elev Bar-Ilan

פעילות אינטראקטיבית

שלוש ספרות נעלמות

מתחילים באחדות: $7 + 6 = 13$ . ומה עובר לעשרות?

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

פעילות אינטראקטיבית

כפל: גם סדר הגודל עוזר

בעשרות יש שתי ספרות שמתאימות. רק אחת מהן נותנת תוצאה בת ארבע ספרות.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

דוגמה פתורה: חיסור

אילו ספרות חסרות: $7\square 3 - 28\square = 457$ ?

457 + 28\square = 7\square 3

הופכים לחיבור

\begin{aligned}7 + \square &= 13 \Rightarrow \square \\ &= 6\end{aligned}

אחדות: הספרה היא $6$ , ועובר $1$

5 + 8 + 1 = 14

עשרות: הספרה היא $4$ , ועובר $1$

4 + 2 + 1 = 7 \;\checkmark

מאות: מתאים

743 - 286 = 457

בדיקה

מה מכשיל בספרות נעלמות.

5 + 8 = 13

5 + 8 + 1 = 14

שוכחים את הנשא שעבר מהעמודה הקודמת

\begin{aligned}\square 47 \\ \; \square &= 0\end{aligned}

\square \neq 0

מספר לא מתחיל באפס

\text{?}

\text{1, 2, 3}

ניחוש אקראי לוקח יותר זמן משיטה: מתחילים מהעמודה שבה יש רק נעלם אחד

חזקות ושורשים

$a^{n}$ הוא $a$ כפול עצמו $n$ פעמים: $2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ . השורש הוא הפעולה ההפוכה לריבוע: $\sqrt{49} = 7$ , כי $7^{2} = 49$ .

$11^{2} = 121$
$12^{2} = 144$
$13^{2} = 169$
$14^{2} = 196$
$15^{2} = 225$
$2^{10} = 1024$
$3^{4} = 81$
$5^{3} = 125$

כדאי לדעת בעל פה את הריבועים עד $15^{2}$ ואת החזקות של $2$ עד $2^{10}$ : הם חוזרים במבחן שוב ושוב.

שלוש טעויות של חזקות ושורשים.

2^{5} = 10

2^{5} = 32

חזקה אינה כפל במעריך

\sqrt{9 + 16} = 3 + 4

\begin{aligned}\sqrt{9 + 16} &= \sqrt{25} \\ &= 5\end{aligned}

שורש של סכום אינו סכום השורשים

(2 \times 5)^{2} = 2 \times 25

\begin{aligned}(2 \times 5)^{2} &= 10^{2} \\ &= 100\end{aligned}

החזקה של סוגריים חלה על כל מה שבתוכם

פעילות אינטראקטיבית

$\sqrt{70}$ — בין אילו שלמים?

נגיעה במספר בונה עמודה בגובה הריבוע שלו. מחפשים את שני השכנים: ריבוע אחד מתחת ל- $70$ , ואחד מעליו.

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

מה גדול יותר: $2^{10}$ או $10^{3}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$2^{10} = 1024$ , ו- $10^{3} = 1000$ — ולכן $2^{10}$ גדול יותר, בקצת. זו עובדה ששווה לזכור: $2^{10} \approx 1000$ .

דוגמה פתורה: להשוות חזקות

סידור מהקטן לגדול: $3^{4}$ , $4^{3}$ , $2^{6}$ , $9^{2}$ .

\begin{aligned}3^{4} &= 81 \\ \; 9^{2} &= 81\end{aligned}

שתי חזקות שוות

\begin{aligned}4^{3} &= 64 \\ \; 2^{6} &= 64\end{aligned}

ועוד שתיים

\begin{aligned}4^{3} &= 2^{6} < 3^{4} \\ &= 9^{2}\end{aligned}

פעילות אינטראקטיבית

אתגר: $\sqrt[3]{50}$

שורש שלישי: מחפשים מספר שבחזקת $3$ קרוב ל- $50$ .

לעשות את הפעילות ב-elev Bar-Ilan

סיכום השיטה: סדר פעולות ← מסמנים את הפעולה הראשונה. סימנים חסרים ← גודל, סוף התרגיל, הצבה. ספרות נעלמות ← מימין לשמאל, עם הנשא. חזקות ← כפל חוזר, לא כפל במעריך.

כרטיס שיטה: סדר הפעולות

סימנים וסוגריים חסרים

ספרות נעלמות: מימין לשמאל

חזקות ושורשים

השיעור הבא מחכה ב-elev Bar-Ilan