סדרה 2 — שני שינויים ברצף

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו את מה שנראה לכם הגיוני והמשיכו.

תרגילים

תרגיל 1

מחיר של 200200 ש״ח עלה ב-10%10\%, ואחר כך ירד ב-10%10\%. מה המחיר עכשיו?

  1. 200200 ש״ח
  2. 202202 ש״ח
  3. 180180 ש״ח
  4. 198198 ש״ח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 198198 ש״ח

הפתרון:

200×1.1=220200 \times 1.1 = 220

אחרי העלייה

220×0.9=198220 \times 0.9 = 198

הירידה נספרת מ-220, לא מ-200

התשובה היא 198198 ש״ח. 200200 היא התשובה של מי שחיבר וחיסר את האחוזים. העלייה נספרה מהקטן, הירידה מהגדול — ולכן אין חזרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מספר גדל ב-50%50\%, ואחר כך גדל שוב ב-50%50\%. פי כמה גדול המספר החדש מהמספר המקורי?

  1. פי 33
  2. פי 22
  3. פי 2.252.25
  4. פי 2.52.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג פי 2.252.25

הפתרון:

1.5×1.5=2.251.5 \times 1.5 = 2.25

מכפילים את שני המקדמים

התשובה היא פי 2.252.25. פי 22 היא תשובת החיבור, 50%+50%50\% + 50\% — והיא מתעלמת מכך שהגדילה השנייה נספרת מהמספר שכבר גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אוכלוסייה ירדה ב-20%20\%, ואחר כך ירדה ב-25%25\% נוספים. בכמה אחוזים ירדה האוכלוסייה בסך הכול?

  1. 50%50\%
  2. 45%45\%
  3. 40%40\%
  4. 5%5\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 40%40\%

הפתרון:

0.8×0.75=0.60.8 \times 0.75 = 0.6

נשארו שישה עשיריות

1−0.6=0.4=40%\begin{aligned}1 - 0.6 &= 0.4 \\ &= 40\%\end{aligned}

התשובה היא 40%40\%. 45%45\% הוא סכום האחוזים, והוא תמיד גדול מדי כששתי הירידות רצופות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מחיר עלה ב-25%25\%. בכמה אחוזים צריך להוריד אותו כדי לחזור בדיוק למחיר המקורי?

  1. 30%30\%
  2. 15%15\%
  3. 25%25\%
  4. 20%20\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 20%20\%

הפתרון:

1.25×x=11.25 \times x = 1

רוצים לחזור ל-1

x=0.8x = 0.8

כלומר ירידה של 20 אחוז

התשובה היא 20%20\%. הדרך חזרה תמיד קצרה מהדרך הלוך, כי היא נספרת מהמספר הגדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מחיר ירד ב-20%20\%. בכמה אחוזים צריך להעלות אותו כדי לחזור בדיוק למחיר המקורי?

  1. 20%20\%
  2. 30%30\%
  3. 22%22\%
  4. 25%25\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 25%25\%

הפתרון:

0.8×x=10.8 \times x = 1
x=1.25x = 1.25

כלומר עלייה של 25 אחוז

התשובה היא 25%25\%. כאן הדרך חזרה ארוכה מהדרך הלוך — הפוך מהשאלה הקודמת, ומאותה סיבה בדיוק: השלם התחלף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ערכו של רכב יורד ב-10%10\% בכל שנה. אחרי שנתיים הוא שווה 81,00081{,}000 ש״ח. כמה היה שווה הרכב בתחילת השנתיים?

  1. 100,000100{,}000 ש״ח
  2. 101,250101{,}250 ש״ח
  3. 99,00099{,}000 ש״ח
  4. 90,00090{,}000 ש״ח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 100,000100{,}000 ש״ח

הפתרון:

0.9×0.9=0.810.9 \times 0.9 = 0.81

שתי שנים של ירידה

810000.81=100000\frac{81000}{0.81} = 100000

התשובה היא 100,000100{,}000 ש״ח. שימו לב ש-0.810.81 נופל בדיוק על 8181 — סימן טוב שהחישוב בכיוון הנכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמות עלתה ב-20%20\% ואחר כך ירדה ב-50%50\%. בכמה אחוזים היא קטנה ביחס לכמות ההתחלתית?

  1. 70%70\%
  2. 60%60\%
  3. 30%30\%
  4. 40%40\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 40%40\%

הפתרון:

1.2×0.5=0.61.2 \times 0.5 = 0.6

נשארו שישה עשיריות

1−0.6=40%1 - 0.6 = 40\%

התשובה היא 40%40\%. 30%30\% הוא ההפרש בין האחוזים, 50−2050 - 20, והוא לא מתאר שום דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

על מחיר מבצעים שני שינויים: אצל דנה קודם ירידה של 10%10\% ואחר כך עלייה של 10%10\%; אצל יואב קודם עלייה של 10%10\% ואחר כך ירידה של 10%10\%. איזו טענה נכונה?

  1. המחיר של דנה גבוה יותר
  2. לא ניתן לדעת בלי לדעת את המחיר ההתחלתי
  3. שני המחירים הסופיים שווים
  4. המחיר של יואב גבוה יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שני המחירים הסופיים שווים

הפתרון:

0.9×1.1=0.990.9 \times 1.1 = 0.99

אצל דנה

1.1×0.9=0.991.1 \times 0.9 = 0.99

אצל יואב

a×b=b×aa \times b = b \times a

חוק החילוף

התשובה היא ששני המחירים שווים. סדר הכפל אינו משנה, ולכן סדר השינויים אינו משנה. שניהם, אגב, נמוכים מהמחיר ההתחלתי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מחיר של 500500 ש״ח קיבל שתי הנחות רצופות: תחילה 10%10\%, ואחר כך 20%20\% מהמחיר שהתקבל. מה המחיר הסופי?

  1. 350350 ש״ח
  2. 370370 ש״ח
  3. 400400 ש״ח
  4. 360360 ש״ח
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 360360 ש״ח

הפתרון:

500×0.9=450500 \times 0.9 = 450

אחרי ההנחה הראשונה

450×0.8=360450 \times 0.8 = 360

ההנחה השנייה נספרת מ-450

התשובה היא 360360 ש״ח. 350350 היא התשובה של מי שהוריד 30%30\% בבת אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

האם הנחה אחת של 30%30\% שווה לשתי הנחות רצופות של 15%15\% כל אחת?

  1. לא ניתן לדעת בלי לדעת את המחיר
  2. כן — שתיהן נותנות אותו מחיר
  3. לא — שתי ההנחות של 15%15\% מותירות מחיר נמוך יותר
  4. לא — שתי ההנחות של 15%15\% מותירות מחיר גבוה יותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא — שתי ההנחות של 15%15\% מותירות מחיר גבוה יותר

הפתרון:

0.85×0.85=0.72250.85 \times 0.85 = 0.7225

שתי הנחות של 15 אחוז

1−0.30=0.701 - 0.30 = 0.70

הנחה אחת של 30 אחוז

0.7225>0.700.7225 > 0.70

נשאר יותר, כלומר ההנחה קטנה יותר

התשובה היא שההנחות של 15%15\% מותירות מחיר גבוה יותר. ההנחה השנייה נספרת ממחיר שכבר ירד, ולכן היא שווה פחות שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מחיר של 400400 ש״ח עלה ב-25%25\%, ואחר כך ירד ב-20%20\%. מה המחיר עכשיו, בש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 400

הפתרון:

400×1.25=500400 \times 1.25 = 500

אחרי העלייה

500×0.8=400500 \times 0.8 = 400

אחרי הירידה: 20 אחוז מתוך 500

400400 ש״ח — בדיוק המחיר ההתחלתי, כי 1.25×0.8=11.25 \times 0.8 = 1. מי שחיבר +25%−20%=+5%+25\% - 20\% = +5\% קיבל 420420.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

כמות ירדה ב-60%60\%. בכמה אחוזים צריך להעלות אותה כדי לחזור בדיוק לכמות המקורית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

100×0.4=40100 \times 0.4 = 40

מתחילים מ-100: נשארו 40

40→100:6040=1.5=150%\begin{aligned}40 \to 100: \frac{60}{40} &= 1.5 \\ &= 150\%\end{aligned}

הדרך חזרה נספרת מתוך 40

150%150\%. הדרך חזרה נספרת מהמספר הקטן, ולכן היא ארוכה הרבה יותר מ-60%60\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

התאימו לכל שינוי את המספר שבו כופלים.

  • עלייה ב-30%30\%
  • ירידה ב-30%30\%
  • שתי עליות של 10%10\%
  • עלייה ב-10%10\% ואז ירידה ב-10%10\%
  • 0.70.7
  • 0.990.99
  • 1.211.21
  • 1.31.3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עלייה ב-30%30\% — 1.31.3 · ירידה ב-30%30\% — 0.70.7 · שתי עליות של 10%10\% — 1.211.21 · עלייה ב-10%10\% ואז ירידה ב-10%10\% — 0.990.99

הפתרון:

1±p1001 \pm \frac{p}{100}

כל שינוי הוא כפל

1.1×1.1=1.211.1×0.9=0.99\begin{aligned}1.1 \times 1.1 &= 1.21 \\ \quad 1.1 \times 0.9 &= 0.99\end{aligned}

שינויים ברצף מוכפלים

שתי עליות של 10%10\% הן 21%21\%, לא 20%20\%. ועלייה וירידה של 10%10\% נותנות ירידה של 1%1\%.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

עלייה של 10%10\% ואחריה עלייה של 20%20\% נותנות יחד עלייה של 32%32\%.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

1.1×1.2=1.321.1 \times 1.2 = 1.32

מכפילים את שני המקדמים

1.32=1+0.321.32 = 1 + 0.32

עלייה של 32 אחוז

נכון. לא 30%30\%: העלייה השנייה נספרת מ-110110, ו-20%20\% מתוך 110110 הם 2222.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מתחילים מ-100100. סדרו את הסופים מהקטן לגדול.

  • −10%-10\% ואז +10%+10\%
  • +20%+20\% ואז −20%-20\%
  • +25%+25\% ואז −20%-20\%
  • +50%+50\% ואז −50%-50\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: +50%+50\% ואז −50%-50\% · +20%+20\% ואז −20%-20\% · −10%-10\% ואז +10%+10\% · +25%+25\% ואז −20%-20\%

הפתרון:

1.5×0.5=0.751.2×0.8=0.96\begin{aligned}1.5 \times 0.5 &= 0.75 \\ \quad 1.2 \times 0.8 &= 0.96\end{aligned}

75 ו-96

0.9×1.1=0.991.25×0.8=1\begin{aligned}0.9 \times 1.1 &= 0.99 \\ \quad 1.25 \times 0.8 &= 1\end{aligned}

99 ו-100

75<96<99<10075 < 96 < 99 < 100. ככל שהאחוז גדול יותר, הלוך-חזור מאבד יותר. ורק +25%+25\% ואז −20%-20\% חוזר בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת