סדרה 3 — להשוות שני גדלים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו את מה שנראה לכם הגיוני והמשיכו.

תרגילים

תרגיל 1

מספר aa גדול ב-25%25\% ממספר bb. בכמה אחוזים bb קטן מ-aa?

  1. 30%30\%
  2. 20%20\%
  3. 25%25\%
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 20%20\%

הפתרון:

a=1.25ba = 1.25b

נתון

a−b=0.25ba - b = 0.25b

ההפרש

0.25b1.25b=0.2\frac{0.25b}{1.25b} = 0.2

הפעם סופרים מתוך a

התשובה היא 20%20\%. ההפרש לא השתנה; רק השלם שממנו סופרים אותו התחלף, מ-bb ל-aa הגדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

משכורתו של דן גדולה פי 1.51.5 ממשכורתו של רן. בכמה אחוזים משכורתו של דן גדולה משל רן?

  1. 150%150\%
  2. 15%15\%
  3. 33%33\%
  4. 50%50\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 50%50\%

הפתרון:

1.5=1+0.51.5 = 1 + 0.5

פי 1.5 זה השלם ועוד חצי

0.5=50%0.5 = 50\%

התשובה היא 50%50\%. פי 1.51.5 אינו 150%150\% יותר אלא 50%50\% יותר: מתוך 1.51.5, השלם הראשון הוא המשכורת עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מספר aa קטן ב-20%20\% ממספר bb. פי כמה bb גדול מ-aa?

  1. פי 0.80.8
  2. פי 1.81.8
  3. פי 1.251.25
  4. פי 1.21.2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג פי 1.251.25

הפתרון:

a=0.8ba = 0.8b

נתון

b=a0.8=1.25a\begin{aligned}b &= \frac{a}{0.8} \\ &= 1.25a\end{aligned}

התשובה היא פי 1.251.25. ירידה של חמישית בכיוון אחד היא גדילה של רבע בכיוון השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ידוע ש-30%30\% מהמספר הראשון שווים ל-45%45\% מהמספר השני, ושני המספרים חיוביים. איזו טענה נכונה?

  1. שני המספרים שווים
  2. המספר השני גדול מהראשון
  3. המספר הראשון גדול מהשני
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג המספר הראשון גדול מהשני

הפתרון:

0.3a=0.45b0.3a = 0.45b

נתון

a=1.5ba = 1.5b

מחלקים ב-0.3

1.5>11.5 > 1

ולכן a גדול

התשובה היא שהראשון גדול. אחוז קטן יותר שנותן את אותה כמות חייב להילקח משלם גדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בכיתה א׳ 40%40\% מהתלמידים הם בנים, ובכיתה ב׳ 60%60\% מהתלמידים הם בנים. באיזו כיתה יש יותר בנים?

  1. בכיתה ב׳
  2. בכיתה א׳
  3. בשתיהן מספר שווה
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא ניתן לדעת

הפתרון:

0.4×n10.4 \times n_{1}

בנים בכיתה א

0.6×n20.6 \times n_{2}

בנים בכיתה ב

n1,n2 ?n_{1}, n_{2}\ ?

גדלי הכיתות אינם נתונים

התשובה היא לא ניתן לדעת. אם בכיתה א׳ 5050 תלמידים ובכיתה ב׳ 2020, יש 2020 בנים מול 1212 — ההפך ממה שהאחוזים מרמזים. שני אחוזים מתוך שני שלמים שונים אינם ברי-השוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המחיר בחנות XX גבוה ב-20%20\% מהמחיר של אותו מוצר בחנות YY. בכמה אחוזים המחיר בחנות YY נמוך מזה שבחנות XX?

  1. לא ניתן לדעת
  2. בפחות מ-20%20\%
  3. ביותר מ-20%20\%
  4. בדיוק ב-20%20\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב בפחות מ-20%20\%

הפתרון:

X=1.2YX = 1.2Y

נתון

X−YX=0.2Y1.2Y\frac{X - Y}{X} = \frac{0.2Y}{1.2Y}

סופרים מתוך X

0.21.2<0.2\frac{0.2}{1.2} < 0.2

מחלקים במספר גדול מ-1

התשובה היא בפחות מ-20%20\%. שימו לב שאין צורך בערך המדויק כדי לענות — מספיק לראות שהמכנה גדל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מספר aa הוא 150%150\% ממספר bb. כמה אחוזים מ-aa הוא bb?

  1. לא ניתן לדעת
  2. 50%50\%
  3. 75%75\%
  4. 6623%66\frac{2}{3}\%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 6623%66\frac{2}{3}\%

הפתרון:

a=1.5ba = 1.5b
ba=11.5=23\begin{aligned}\frac{b}{a} &= \frac{1}{1.5} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}
23=6623%\frac{2}{3} = 66\frac{2}{3}\%

התשובה היא 6623%66\frac{2}{3}\%. מי שסימן 50%50\% הפך את היחס במקום להפוך את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

אותו מוצר נמכר בשתי חנויות. בחנות א׳ מחירו 200200 ש״ח עם הנחה של 40%40\%; בחנות ב׳ מחירו 150150 ש״ח עם הנחה של 25%25\%. באיזו חנות המוצר זול יותר?

  1. לא ניתן לדעת
  2. בחנות א׳
  3. בחנות ב׳
  4. המחירים שווים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בחנות ב׳

הפתרון:

200×0.6=120200 \times 0.6 = 120

חנות א

150×0.75=112.5150 \times 0.75 = 112.5

חנות ב

112.5<120112.5 < 120

התשובה היא חנות ב׳. ההנחה הגדולה יותר אינה בהכרח המחיר הנמוך יותר — היא נלקחת ממחיר התחלתי גבוה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ידוע ש-20%20\% מ-aa שווים ל-30%30\% מ-bb. מהו היחס a:ba : b?

  1. 20:3020 : 30
  2. 1:11 : 1
  3. 2:32 : 3
  4. 3:23 : 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 3:23 : 2

הפתרון:

0.2a=0.3b0.2a = 0.3b
ab=0.30.2=32\begin{aligned}\frac{a}{b} &= \frac{0.3}{0.2} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

היחס הפוך לאחוזים

התשובה היא 3:23 : 2. 2:32 : 3 היא אותה מלכודת בדיוק — האחוזים והגדלים הולכים בכיוונים הפוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מספר גדל ב-100%100\%, ואחר כך ירד ב-50%50\%. מה קרה למספר בסך הכול?

  1. הוא קטן מהמקורי
  2. הוא גדול מהמקורי
  3. הוא חזר בדיוק למספר המקורי
  4. לא ניתן לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הוא חזר בדיוק למספר המקורי

הפתרון:

2×0.5=12 \times 0.5 = 1

המכפלה היא בדיוק 1

התשובה היא שהוא חזר למקור. זה המקרה היחיד שבו שני שינויים כן מתבטלים — ושימו לב שהאחוזים אינם שווים (100100 ו-5050). דווקא כאן החיבור הנאיבי היה נותן תשובה שגויה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מספר aa גדול ב-100%100\% ממספר bb. בכמה אחוזים bb קטן מ-aa?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

b=100⇒a=200\begin{aligned}b &= 100 \Rightarrow a \\ &= 200\end{aligned}

מתחילים מ-100

200−100200=50%\frac{200 - 100}{200} = 50\%

השלם הוא a, כי משווים אליו

50%50\%. גדול ב-100%100\% הוא פי 22; והקטן הוא חצי מהגדול. מי שענה 100%100\% ספר מתוך bb.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

באיזה מקרה אפשר לדעת מה גדול יותר, ובאיזה לא?

  • אפשר לדעת
  • לא ניתן לדעת
  • 20 אחוז ממספר חיובי מול 30 אחוז מאותו מספר
  • 40 אחוז מ-50 מול 60 אחוז מ-30
  • 40 אחוז מכיתה א׳ מול 60 אחוז מכיתה ב׳
  • 50 אחוז ממספר חיובי מול 50 אחוז מכפליים ממנו
  • הנחה של 30 אחוז בשתי חנויות: איפה חוסכים יותר שקלים?
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40 אחוז מכיתה א׳ מול 60 אחוז מכיתה ב׳ — לא ניתן לדעת · 40 אחוז מ-50 מול 60 אחוז מ-30 — אפשר לדעת · 20 אחוז ממספר חיובי מול 30 אחוז מאותו מספר — אפשר לדעת · הנחה של 30 אחוז בשתי חנויות: איפה חוסכים יותר שקלים? — לא ניתן לדעת · 50 אחוז ממספר חיובי מול 50 אחוז מכפליים ממנו — אפשר לדעת

הפתרון:

40%⋅50=2060%⋅30=18\begin{aligned}40\% \cdot 50 &= 20 \\ \quad 60\% \cdot 30 &= 18\end{aligned}

כשהשלמים ידועים — מחשבים

0.3x  ?  0.3y0.3x \;?\; 0.3y

בלי x ו-y אי אפשר להשוות

אפשר להשוות אחוזים רק כשהשלם משותף או ידוע. שני שלמים לא ידועים — לא ניתן לדעת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

אם aa קטן ב-20%20\% מ-bb, אז bb גדול ב-20%20\% מ-aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

b=100⇒a=80\begin{aligned}b &= 100 \Rightarrow a \\ &= 80\end{aligned}

מתחילים מ-100

2080=25%\frac{20}{80} = 25\%

b גדול מ-a ב-25 אחוז

לא נכון: 25%25\%. אותו הפרש, 2020, נספר פעם מתוך 100100 ופעם מתוך 8080.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השלימו.

20%20\% מ-aa שווים ל-50%50\% מ-bb. לכן aa גדול פי ____ מ-bb.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20%20\% מ-aa שווים ל-50%50\% מ-bb. לכן aa גדול פי 2.5 מ-bb.

הפתרון:

0.2a=0.5b0.2a = 0.5b

התרגום

a=0.50.2 b=2.5b\begin{aligned}a &= \frac{0.5}{0.2}\,b \\ &= 2.5b\end{aligned}

מחלקים ב-0.2

פי 2.52.5. האחוז הקטן יותר נלקח מהמספר הגדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ידוע ש-40%40\% מ-aa שווים ל-80%80\% מ-bb. כמה אחוזים מ-aa הוא bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

0.4a=0.8b0.4a = 0.8b

התרגום

b=0.40.8 a=0.5a\begin{aligned}b &= \frac{0.4}{0.8}\,a \\ &= 0.5a\end{aligned}

מחלקים ב-0.8: b הוא חצי מ-a

50%50\%. מי שענה 200%200\% הפך את השאלה: aa הוא 200%200\% מ-bb.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת