סדרה 3 — זוגיות והתחלקות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו את מה שנראה לכם הגיוני והמשיכו.

תרגילים

תרגיל 1

aa ו-bb שלמים, ו-a+ba + b אי-זוגי. איזה ביטוי זוגי בהכרח?

  1. a2+b2a^{2} + b^{2}
  2. a−ba - b
  3. abab
  4. a+2ba + 2b
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג abab

הפתרון:

a+ba + b

אי-זוגי — ולכן אחד מהם זוגי והשני אי-זוגי

abab

יש גורם זוגי

התשובה היא abab. a−ba - b ו-a2+b2a^{2} + b^{2} תמיד אי-זוגיים כאן. a+2ba + 2b זוגי רק כש-aa הוא הזוגי מבין השניים — ואין לנו מידע מי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

nn מספר שלם. איזה ביטוי מתחלק ב-66 בהכרח?

  1. n(n+2)n(n+2)
  2. n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2)
  3. n(n+1)n(n+1)
  4. 3n+33n + 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2)

הפתרון:

n, n+1, n+2n, \ n+1, \ n+2

שלושה עוקבים: יש ביניהם זוגי ויש כפולה של 33

n=1: n(n+1)=2 3n+3=6\begin{aligned}n &= 1: \ n(n+1) \\ &= 2 \\ \ 3n + 3 &= 6\end{aligned}
n=2: 3n+3=9\begin{aligned}n &= 2: \ 3n + 3 \\ &= 9\end{aligned}

התשובה היא n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2). n(n+1)n(n+1) זוגי תמיד אבל לא תמיד מתחלק ב-33. 3n+33n + 3 מתחלק ב-33, אבל זוגי רק כש-nn אי-זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המספר nn נותן שארית 33 בחלוקה ב-44. מהי השארית של nn בחלוקה ב-88?

  1. 77
  2. 33
  3. 66
  4. לא ניתן לדעת בוודאות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא ניתן לדעת בוודאות

הפתרון:

n=3: 3:8→3n = 3: \ 3 : 8 \to 3
n=7: 7:8→7n = 7: \ 7 : 8 \to 7

שני מספרים שמתאימים לנתון, שתי שאריות שונות

התשובה היא לא ניתן לדעת בוודאות. 33 ו-77 נותנים שניהם שארית 33 בחלוקה ב-44, אבל שאריות שונות בחלוקה ב-88. בכיוון ההפוך יש ודאות: 44 מחלק את 88, לא להפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הספרה AA נבחרה כך שהמספר 35A2‾\overline{35A2} מתחלק גם ב-33 וגם ב-44. מהי AA?

  1. 11
  2. 88
  3. 55
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 55

הפתרון:

A2‾=1232527292\begin{aligned}\overline{A2} &= 12 \\ 32 \\ 52 \\ 72 \\ 92\end{aligned}

מתחלק ב-44: AA אי-זוגית

3+5+A+2=10+A3 + 5 + A + 2 = 10 + A

מתחלק ב-33: A=2,5,8A = 2, 5, 8

A=5A = 5

רק היא בשתי הרשימות

התשובה היא 55. 22 ו-88 עוברים את בדיקת ה-33 אבל נותנים 2222 ו-8282, שאינם מתחלקים ב-44. 11 עובר את בדיקת ה-44 בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהי ספרת האחדות של 220262^{2026}?

  1. 44
  2. 22
  3. 88
  4. 66
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 44

הפתרון:

2, 4, 8, 62, \ 4, \ 8, \ 6

המחזור, באורך 44

2026=506×4+22026 = 506 \times 4 + 2
44

הצעד השני במחזור

התשובה היא 44. השארית של 20262026 בחלוקה ב-44 היא 22 — מספיק לבדוק את 2626. 66 מתקבל כשמניחים ש-20262026 מתחלק ב-44 כי הוא זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהי ספרת האחדות של המכפלה 1×3×5×7×…×991 \times 3 \times 5 \times 7 \times \ldots \times 99 (כל המספרים האי-זוגיים עד 9999)?

  1. 55
  2. 00
  3. 99
  4. 11
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 55

הפתרון:

5×3=155 \times 3 = 15

יש במכפלה 55 — היא מתחלקת ב-55

1×3×…1 \times 3 \times \ldots

כל הגורמים אי-זוגיים — המכפלה אי-זוגית

התשובה היא 55. מספר שמתחלק ב-55 ואינו זוגי נגמר ב-55. 00 מתקבל כשזוכרים את ה-55 ושוכחים שאין שום גורם זוגי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המספר nn נותן שארית 33 בחלוקה ב-77. מהי השארית של 2n+52n + 5 בחלוקה ב-77?

  1. 66
  2. 1111
  3. 44
  4. 33
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 44

הפתרון:

n=7k+3n = 7k + 3
2n+5=14k+112n + 5 = 14k + 11
11=7+411 = 7 + 4

השארית 44

התשובה היא 44. מחליפים את nn בשארית שלו: 2×3+5=112 \times 3 + 5 = 11 — ו-1111 עדיין גדול מ-77. מי שעוצר ב-1111 שוכח שהשארית קטנה מהמחלק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לאיזה מהמספרים הבאים יש מספר אי-זוגי של מחלקים חיוביים?

  1. 4848
  2. 120120
  3. 7272
  4. 144144
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 144144

הפתרון:

144=12×12144 = 12 \times 12

ריבוע: המחלק 1212 מתאים לעצמו

48,72,12048, 72, 120

אינם ריבועים — המחלקים בזוגות

התשובה היא 144144, שיש לו 1515 מחלקים. המחלקים באים בזוגות, ורק בריבוע יש מחלק שהוא בן-הזוג של עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כותבים מספר תלת-ספרתי פעמיים ברצף, ומקבלים מספר בן שש ספרות — למשל 457457457457. מה נכון בוודאות על המספר שמתקבל?

  1. הוא מתחלק ב-77, ב-1111 וב-1313
  2. הוא זוגי
  3. הוא מתחלק ב-99
  4. הוא מתחלק ב-1111, אבל לא בהכרח ב-77
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הוא מתחלק ב-77, ב-1111 וב-1313

הפתרון:

abcabc‾=abc‾×1000+abc‾\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1000 + \overline{abc}
=abc‾×1001= \overline{abc} \times 1001
1001=7×11×131001 = 7 \times 11 \times 13

התשובה היא מתחלק ב-77, ב-1111 וב-1313. מי שבודק רק את סימן ה-1111 רואה את ה-1111, אבל 10011001 מביא איתו גם את 77 ואת 1313. 457457457457 עצמו אי-זוגי, ואינו מתחלק ב-99.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

pp ו-qq מספרים ראשוניים, ו-p+q=99p + q = 99. מהו pqpq?

  1. אין פתרון
  2. 9797
  3. לא ניתן לדעת בוודאות
  4. 194194
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 194194

הפתרון:

9999

אי-זוגי — ולכן אחד המחוברים זוגי

p=2 q=97\begin{aligned}p &= 2 \\ \ q &= 97\end{aligned}

הראשוני הזוגי היחיד הוא 22, ו-9797 ראשוני

2×97=1942 \times 97 = 194

התשובה היא 194194. ״אין פתרון״ שוכח את 22: שני ראשוניים אי-זוגיים אכן לא יתנו סכום אי-זוגי, אבל 22 ראשוני. והפתרון יחיד, ולכן יש ודאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת