מעגל · הנדסת המישור · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

כל נקודות המעגל נמצאות באותו מרחק מהמרכז. המרחק הזה הוא הרדיוס $r$ . הקוטר $d$ עובר דרך המרכז ממקצה למקצה, ולכן הוא פעמיים הרדיוס. במבחן $\pi = 3.14$ — והמבחן מזכיר את הנוסחה בסוגריים.

רדיוס

5

אותו מעגל: קוטר

10

d = 2r

ולכן $r = d : 2$

היקף ושטח

\begin{aligned}P &= 2\pi r \\ &= \pi d\end{aligned}

היקף המעגל — אורך הקו

\begin{aligned}S &= \pi r^{2} \\ &= \pi \times r \times r\end{aligned}

שטח העיגול — מה שבפנים

מעגל שרדיוסו $5$ ס״מ

אותו רדיוס, שני חישובים.

\begin{aligned}P &= 2 \times 3.14 \times 5 \\ &= 31.4\end{aligned}

ההיקף בס״מ

\begin{aligned}S &= 3.14 \times 25 \\ &= 78.5\end{aligned}

השטח בסמ״ר

מהו שטח עיגול שקוטרו $10$ ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

$78.5$ סמ״ר. הקוטר $10$ , ולכן הרדיוס $5$ . מי שהציב $10$ בנוסחה קיבל $314$ — פי ארבעה.

שטח כביטוי של הקוטר

כשהקוטר נתון באות $d$ , הרדיוס הוא $\frac{d}{2}$ . מציבים אותו בנוסחת השטח, ומעלים בריבוע גם את ה- $2$ .

\begin{aligned}S &= \pi \left(\frac{d}{2}\right)^{2} \\ &= \frac{\pi d^{2}}{4}\end{aligned}

שטח העיגול לפי הקוטר

מעגל חסום בריבוע, וחצי עיגול על צלע

המעגל נוגע בכל ארבע הצלעות, ולכן הקוטר (המקווקו) שווה לצלע. ארבע הפינות האפורות הן ריבוע פחות עיגול.

מעגל חסום בריבוע נוגע בכל ארבע הצלעות, ולכן הקוטר שווה לצלע. השטח בארבע הפינות הוא הפרש: שטח הריבוע פחות שטח העיגול.

פעילות אינטראקטיבית

מעגל חסום בריבוע שצלעו $8$ ס״מ. מהו שטח הפינות?

\text{פינות} = \text{ריבוע} - \text{עיגול}

לחצו «להתחיל». גדול פחות קטן.

רדיוס

\begin{aligned}d &= 8 \ \Rightarrow \ r \\ &= 8 : 2 \\ &= 4\end{aligned}

הקוטר הוא הצלע, והרדיוס חצי ממנו.

ריבוע

8^{2} = 64

שטח הריבוע.

עיגול

\begin{aligned}3.14 \times 4^{2} &= 3.14 \times 16 \\ &= 50.24\end{aligned}

שטח העיגול — עם הרדיוס, לא עם הקוטר.

פינות

64 - 50.24 = 13.76

ארבע הפינות: $13.76$ סמ״ר.

$50.24$ — שטח העיגול — הוא מסיח קבוע בשאלה על שטח הפינות.

לעשות את הפעילות ב-elev

הקו העבה הוא ההיקף: שלוש צלעות וחצי מעגל. הצלע המקווקוות נמצאת בתוך הצורה.

פעילות אינטראקטיבית

היקף של ריבוע עם חצי עיגול

ריבוע שצלעו $6$ ס״מ, ועל אחת מצלעותיו בנוי חצי עיגול כלפי חוץ. מהו היקף הצורה כולה? ( $\pi = 3.14$ )

$27.42$ ס״מ

$33.42$ ס״מ

$36.84$ ס״מ

$42.84$ ס״מ

אילו צלעות של הריבוע שייכות להיקף?

שלוש צלעות — בלי זו שמתחת לחצי העיגול

להציג את התשובה והפתרון

הצלע הזו נמצאת בתוך הצורה. מי שמסתובב סביב הצורה לא עובר עליה.

כל ארבע הצלעות

להציג את התשובה והפתרון

הצלע שמתחת לחצי העיגול היא בפנים. זה המסיח $33.42$ .

3 \times 6 = 18

שלוש הצלעות שבחוץ.

כמה אורכה הקשת?

חצי מהיקף מעגל שרדיוסו $3$

להציג את התשובה והפתרון

הקוטר הוא הצלע, $6$ , ולכן הרדיוס $3$ .

היקף שלם של מעגל שרדיוסו $3$

להציג את התשובה והפתרון

יש רק חצי עיגול.

חצי מהיקף מעגל שרדיוסו $6$

להציג את התשובה והפתרון

$6$ הוא הקוטר, לא הרדיוס.

\frac{2 \times 3.14 \times 3}{2} = 9.42

הקשת: $9.42$ ס״מ.

מה ההיקף?

$18 + 9.42$

להציג את התשובה והפתרון

הצלעות שבחוץ ועוד הקשת.

$18 + 9.42 + 6$

להציג את התשובה והפתרון

את הצלע הפנימית כבר הוצאנו. לא מוסיפים אותה שוב.

18 + 9.42 = 27.42

ההיקף: $27.42$ ס״מ.

להציג את התשובה והפתרון

$27.42$ ס״מ. $33.42$ סופר גם את הצלע הפנימית, ו- $36.84$ לוקח מעגל שלם במקום חצי.

לעשות את הפעילות ב-elev

מה קורה כשמגדילים את הרדיוס

אם מכפילים את הרדיוס פי $k$ , גם ההיקף גדל פי $k$ — אבל השטח גדל פי $k^{2}$ , כי הרדיוס מופיע בו פעמיים.

מכפילים את רדיוס המעגל פי $3$ . פי כמה גדל השטח?

להציג את התשובה והפתרון

פי 9. $3^{2} = 9$ . ההיקף, לעומת זאת, גדל רק פי $3$ .

שלוש מלכודות קבועות של המבחן.

S = \pi d^{2}

\begin{aligned}S &= \pi r^{2} \\ &= \frac{\pi d^{2}}{4}\end{aligned}

הציבו את הקוטר במקום את הרדיוס — התשובה גדולה פי $4$ .

P = 3 \times 6 + 9.42 + 6

P = 3 \times 6 + 9.42

הצלע שמתחת לחצי העיגול היא בתוך הצורה. היא לא חלק מההיקף.

r \times 2 \Rightarrow S \times 2

r \times 2 \Rightarrow S \times 4

השטח גדל בריבוע של פי כמה.

בלי מחשבון, כדאי לזכור כמה מכפלות: $3.14 \times 4 = 12.56$ , $3.14 \times 9 = 28.26$ , $3.14 \times 16 = 50.24$ , $3.14 \times 25 = 78.5$ , $3.14 \times 36 = 113.04$ , $3.14 \times 100 = 314$ . ובמבחן, תשובה של שטח המעגל מופיעה כמעט תמיד כמסיח בשאלה על שטח הפינות.

תרגילים

תרגיל 1

מהו היקף מעגל שרדיוסו $10$ ס״מ (בס״מ)? הניחו $\pi = 3.14$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62.8

הפתרון:

2 \times 3.14 \times 10 = 62.8

התשובה היא 62.8. היקף הוא $2\pi r$ — פעמיים הרדיוס, כלומר הקוטר, כפול $\pi$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו שטח עיגול שרדיוסו $3$ ס״מ, בסמ״ר? הניחו $\pi = 3.14$ .

$18.84$
$9.42$
$28.26$
$113.04$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $28.26$

הפתרון:

3.14 \times 3 \times 3 = 28.26

התשובה היא 28.26. $18.84$ הוא ההיקף, ו- $113.04$ מתקבל כשמציבים את הקוטר $6$ במקום הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

אם מכפילים את קוטר המעגל פי $2$ , גם שטחו גדל פי $2$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

d \times 2 \Rightarrow r \times 2

גם הרדיוס מוכפל

2^{2} = 4

השטח גדל פי $4$

הטענה שגויה. השטח גדל פי $4$ . רק ההיקף גדל פי $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איזה ביטוי מתאר את היקף מעגל שקוטרו $d$ ?

$\pi d$
$2\pi d$
$\frac{\pi d}{2}$
$\pi d^{2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\pi d$

הפתרון:

\begin{aligned}2\pi r &= \pi \times 2r \\ &= \pi d\end{aligned}

$2r$ הוא הקוטר

התשובה היא $\pi d$ . $2\pi d$ מכפיל פעמיים — הקוטר כבר כולל את ה- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

היקף ושטח

שטח כביטוי של הקוטר

מעגל חסום בריבוע, וחצי עיגול על צלע

מה קורה כשמגדילים את הרדיוס

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev