מלבן וריבוע בביטויים · הנדסת המישור · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

במבחן, צלע של מלבן או של ריבוע היא הרבה פעמים ביטוי: $x$ , $x - 2$ , $2x + 1$ . הנוסחאות לא משתנות — רק מציבים בהן ביטויים במקום מספרים, ואחר כך מכנסים.

היקף ושטח באות

P = 2(a + b)

היקף מלבן

S = a \times b

שטח מלבן

P = 4a

היקף ריבוע

S = a^{2}

שטח ריבוע

מלבן

x

על

x - 2

ריבוע שצלעו

x

מלבן שאורכו $x$ ורוחבו $x - 2$

שני ביטויים שונים לגמרי לאותה צורה.

\begin{aligned}P &= 2(x + x - 2) \\ &= 2(2x - 2) \\ &= 4x - 4\end{aligned}

ההיקף — ליניארי

\begin{aligned}S &= x(x - 2) \\ &= x^{2} - 2x\end{aligned}

השטח — ריבועי

באותו מלבן, $x = 7$ . מהם ההיקף והשטח?

להציג את התשובה והפתרון

היקף 24, שטח 35. $4 \times 7 - 4 = 24$ ו- $7 \times 5 = 35$ . בדיקה במלבן עצמו: $7 + 5 + 7 + 5 = 24$ .

משוואה מההיקף

אורך

x + 3

, רוחב

x

, היקף

26

ס״מ

פעילות אינטראקטיבית

אורך מלבן $x + 3$ , רוחבו $x$ , והיקפו $26$ ס״מ. מהו שטחו?

\begin{aligned}P &= 2\big((x + 3) + x\big) \\ &= 26\end{aligned}

לחצו «להתחיל». ההיקף נותן את $x$ , ו- $x$ נותן את השטח.

חצי היקף

(x + 3) + x = 13

מחלקים את שני האגפים ב- $2$ : אורך ועוד רוחב הם חצי מההיקף.

פותרים

\begin{aligned}2x + 3 &= 13 \ \Rightarrow \ x \\ &= 5\end{aligned}

מחסרים $3$ ומחלקים ב- $2$ .

צלעות

\begin{aligned}x &= 5 \\ \quad x + 3 &= 8\end{aligned}

הרוחב $5$ , האורך $8$ . בדיקה: $2(8 + 5) = 26$ ✓.

שטח

\begin{aligned}S &= 8 \times 5 \\ &= 40\end{aligned}

השטח $40$ סמ״ר — וזו התשובה, לא $x$ .

שאלה בשני שלבים: קודם $x$ מההיקף, אחר כך השטח.

לעשות את הפעילות ב-elev

צלע ריבוע היא $2x + 1$ ס״מ, והיקפו $36$ ס״מ. מהו $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$x = 4$ . $4(2x + 1) = 36$ , ולכן $2x + 1 = 9$ . הצלע $9$ ס״מ.

גזירה: השטח קטן, ההיקף — תלוי

גזירה מפינה: שני קטעים יצאו מהמסגרת (המקווקו), ושני קטעים באותו אורך נכנסו במקומם. ההיקף לא השתנה:

4x

גזירה מאמצע צלע: קטע של

3

יצא (המקווקו), אבל שלוש דפנות של

3

נכנסו. ההיקף גדל.

כשגוזרים חלק מצורה, השטח תמיד קטן: מחסרים את שטח החלק שנגזר. ההיקף תלוי במקום הגזירה. גזירה מפינה לא משנה את ההיקף. גזירה מאמצע צלע מוסיפה להיקף פעמיים את עומק החריץ.

פעילות אינטראקטיבית

מריבוע שצלעו $x$ גוזרים ריבוע $3 \times 3$ מאמצע צלע אחת

\begin{aligned}S &= \ ? \\ \qquad P &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». מסתכלים על השרטוט: נוצר חריץ בצלע.

שטח

S = x^{2} - 9

השטח קטן בדיוק בשטח הריבוע הקטן, $3 \times 3 = 9$ .

יצא

-3

מהצלע התחתונה יצא קטע של $3$ — הקו המקווקו.

נכנס

+3 + 3 + 3 = +9

נכנסו שלוש דפנות של החריץ: שתיים בצדדים ואחת בתחתית.

היקף

\begin{aligned}P &= 4x - 3 + 9 \\ &= 4x + 6\end{aligned}

ההיקף גדל ב- $6$ — פעמיים עומק החריץ.

השטח קטן, וההיקף גדל. שני הגדלים לא זזים באותו כיוון.

לעשות את הפעילות ב-elev

פתיחת סוגריים וכינוס

ביטוי של היקף נכתב לפעמים כסכום ארוך. פותחים סוגריים — כל איבר בסוגריים מוכפל — ואז מכנסים איברים דומים. לדוגמה: $2(x + 3) + 2x = 2x + 6 + 2x = 4x + 6$ .

a(b + c) = ab + ac

המספר שבחוץ כופל כל איבר שבפנים

שתי טעויות בפתיחת סוגריים.

2(x + 3) = 2x + 3

2(x + 3) = 2x + 6

המספר שלפני הסוגריים כופל את שני האיברים.

x(x - 2) = x^{2} - 2

x(x - 2) = x^{2} - 2x

גם $2$ מוכפל ב- $x$ .

במבחן אפשר לבדוק כל תשובת ביטוי בלי אלגברה: בחרו מספר, למשל $x = 10$ . חשבו את ההיקף או השטח בשרטוט עצמו, ואז הציבו $10$ בכל אחת מהאפשרויות. רק אחת תיתן את אותו מספר.

תרגילים

תרגיל 1

איזה ביטוי מתאר את היקף מלבן שאורכו $x + 5$ ורוחבו $x$ ?

$4x + 5$
$4x + 10$
$x^{2} + 5x$
$2x + 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $4x + 10$

הפתרון:

\begin{aligned}2(x + 5 + x) &= 2(2x + 5) \\ &= 4x + 10\end{aligned}

התשובה היא $4x + 10$ . $x^{2} + 5x$ הוא השטח, ו- $4x + 5$ שוכח להכפיל את $5$ ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

צלע ריבוע היא $x + 2$ ס״מ, והיקפו $32$ ס״מ. מהו $x$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

4(x + 2) = 32

\begin{aligned}x + 2 &= 8 \Rightarrow x \\ &= 6\end{aligned}

התשובה היא 6. הצלע היא $8$ ס״מ, ו- $x$ קטן ממנה ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$x(x + 4) = x^{2} + 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x(x + 4) = x^{2} + 4x

$x$ כופל גם את $4$

הטענה שגויה. בדיקה עם $x = 2$ : $2 \times 6 = 12$ , אבל $2^{2} + 4 = 8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איזה ביטוי מתאר את שטח מלבן שמידותיו $3$ ו- $x + 4$ ?

$2x + 14$
$3x + 4$
$3x + 12$
$x + 7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $3x + 12$

הפתרון:

3(x + 4) = 3x + 12

התשובה היא $3x + 12$ . $2x + 14$ הוא ההיקף, ו- $3x + 4$ שוכח להכפיל את $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

היקף ושטח באות

משוואה מההיקף

גזירה: השטח קטן, ההיקף — תלוי

פתיחת סוגריים וכינוס

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev