ספרות נעלמות · חידות היגיון · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

בשאלת ספרות נעלמות כל אות מסתירה ספרה. שלושה כללים חלים תמיד: אות מופיעה פעמיים — אותה ספרה בשני המקומות. ספרה ראשונה של מספר אינה $0$ . ואם כתוב ״אותיות שונות — ספרות שונות״, זה תנאי נוסף שמצמצם אפשרויות, ולפעמים הוא בדיוק מה שהופך שני פתרונות לפתרון אחד.

מה מייצג מספר שכתוב באותיות

הקו שמעל האותיות אומר ״ספרות זו אחר זו״, לא ״כפל״. כל ספרה שווה לפי המקום שלה: אחדות, עשרות, מאות.

\overline{AB} = 10A + B

מספר דו-ספרתי

\overline{ABC} = 100A + 10B + C

מספר תלת-ספרתי

\overline{AB} - \overline{BA} = 9(A - B)

מספר פחות מספר הראי שלו

$\overline{AB} - \overline{BA} = 36$ , ושתי הספרות אינן $0$ . כמה מספרים $\overline{AB}$ כאלה יש?

להציג את התשובה והפתרון

חמישה. $9(A - B) = 36$ , ולכן $A - B = 4$ . $B$ יכול להיות $1$ עד $5$ : $51, 62, 73, 84, 95$ . ההפרש קובע את $A - B$ , אבל לא את $A$ עצמו.

חיבור: מתחילים מהאחדות

בתרגיל חיבור בעמודות מתחילים מעמודת האחדות, כי רק שם אין העברה שמגיעה מימין. שתי עובדות חוסכות הרבה ניסיונות: סכום שתי ספרות הוא לכל היותר $18$ , ולכן ההעברה לעמודה הבאה היא $0$ או $1$ בלבד. וסכום של שני מספרים דו-ספרתיים קטן מ- $200$ — אם הוא תלת-ספרתי, ספרת המאות שלו היא $1$ .

פעילות אינטראקטיבית

$\overline{AB} + \overline{BA} = \overline{CDC}$ , ואותיות שונות הן ספרות שונות. מה ידוע בוודאות?

\begin{array}{r} A\,B \\ +\;B\,A \\ \hline C\,D\,C \end{array}

לחצו «להתחיל». עמודה אחרי עמודה, ובכל שלב שואלים: מה נקבע עכשיו?

המאות

C = 1

שני מספרים דו-ספרתיים נותנים פחות מ- $200$ . ספרת המאות יכולה להיות רק $1$ — וזו ההעברה מעמודת העשרות.

האחדות

B + A = 11

באחדות כתוב $C = 1$ . סכום שתי ספרות שונות שנגמר ב- $1$ הוא $11$ — כותבים $1$ ומעבירים $1$ .

העשרות

\begin{aligned}A + B + 1 &= 12 \Rightarrow D \\ &= 2\end{aligned}

בעשרות מחברים שוב $A + B$ , ועוד ההעברה: $12$ . כותבים $2$ ומעבירים $1$ למאות — וזה ה- $C = 1$ .

בדיקה

\begin{array}{r} 38 \\ +\;83 \\ \hline 121 \end{array}

דוגמה אחת: $A = 3$ , $B = 8$ .

מה לא נקבע

(A, B) \in \{(3,8), (4,7), (5,6), (6,5), (7,4), (8,3)\}

$A + B = 11$ , ו- $A$ , $B$ אינם $1$ או $2$ . שש אפשרויות: את $A$ לא ניתן לדעת.

$C$ ו- $D$ נקבעו, $A + B$ נקבע, ו- $A$ עצמו לא. זה בדיוק מה ששאלה במבחן בודקת.

לעשות את הפעילות ב-elev

המסקנה: $C$ ו- $D$ ידועים בוודאות, $A + B$ ידוע, ו- $A$ עצמו — לא ניתן לדעת. שאלה במבחן יכולה לשאול על כל אחד מהם, והתשובה משתנה.

כפל: ספרת האחדות, ואחר כך הגודל

בתרגיל כפל שני כלים עובדים יחד. ספרת האחדות של המכפלה תלויה רק בספרות האחדות של הגורמים. הגודל — כמה ספרות יש למכפלה — מגביל את הספרה הראשונה.

$\overline{ABC} \times 3 = \overline{CCC}$ . מהו $\overline{ABC}$ ?

מספר שכל ספרותיו שוות הוא כפולה של $111$ .

\begin{aligned}\overline{CCC} &= 111C \\ &= 3 \times 37 \times C\end{aligned}

\overline{ABC} = 37C

מחלקים ב- $3$

7 \times 5 = 35

ספרת האחדות של $37C$ היא ספרת האחדות של $7C$ , והיא צריכה להיות $C$ . בודקים $C = 1$ עד $9$ : רק $C = 5$ מתאים

37 \times 5 = 185

$A = 1$ , $B = 8$ , $C = 5$

185 \times 3 = 555

בדיקה

ספרת האחדות של

37 \cdot C

$C$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$7 \cdot C$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
ספרת האחדות	7	4	1	8	5	2	9	6	3

ספרת האחדות של

37C

היא ספרת האחדות של

7C

. רק בעמודה

C = 5

היא שווה ל-

C

עצמו.

בוודאות, או ״לא ניתן לדעת״

מצאתם פתרון אחד? עוד לא סיימתם. מחפשים פתרון שני: אולי ההעברה יכולה להיות גם $0$ וגם $1$ , אולי ספרה יכולה להיות $0$ . אם יש שני פתרונות, התשובה היא מה שמשותף לשניהם — או ״לא ניתן לדעת״.

$\overline{AB} + \overline{BA} = 99$ , ושתי הספרות אינן $0$ . מה ידוע בוודאות על $A + B$ ? ומה על $A$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$A + B = 9$ בוודאות, כי $11(A + B) = 99$ . את $A$ לא ניתן לדעת: $18 + 81$ , $27 + 72$ ועוד — שמונה אפשרויות.

שלוש טעויות שחוזרות בכל מבחן.

\overline{AB} = A \times B

\overline{AB} = 10A + B

הקו מעל האותיות אומר ״ספרות זו אחר זו״. $\overline{37}$ הוא $37$ , לא $21$ .

7 + 8 = 5

7 + 8 = 15

בעמודה כותבים $5$ — ומעבירים $1$ לעמודה הבאה. מי ששוכח את ההעברה מקבל סתירה שאינה קיימת.

\overline{BA} = \overline{05}

B \neq 0

ספרה ראשונה של מספר אינה $0$ . אם גם $\overline{BA}$ מספר דו-ספרתי, גם $B$ אינו $0$ .

שאלו על כל אות: האם היא נקבעה? אחרי שפתרתם, עברו אות אחר אות. אות שיכולה לקבל שני ערכים היא סימן ש״לא ניתן לדעת״ נמצא בין התשובות — ושהשאלה אולי שואלת עליה.

מה מייצג מספר שכתוב באותיות

חיבור: מתחילים מהאחדות

כפל: ספרת האחדות, ואחר כך הגודל

בוודאות, או ״לא ניתן לדעת״

השיעור הבא מחכה ב-elev