תרגול — ספרות נעלמות · חידות היגיון · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

עשר שאלות בפורמט המבחן, מהקלה לקשה. הפעילו שעון: חמש עשרה דקות, בלי מחשבון. אות שמופיעה פעמיים היא אותה ספרה, וספרה ראשונה של מספר אינה $0$ . אחרי כל פתרון — חפשו פתרון שני.

תרגילים

תרגיל 1

$A$ ו- $B$ ספרות, ו- $\overline{A6} + \overline{4A} = \overline{7B}$ . מהו $B$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

46 + 11A = \overline{7B}

$10A + 6 + 40 + A$

70 \le 46 + 11A \le 79 \Rightarrow A = 3

$A = 2$ נותן $68$ , ו- $A = 4$ נותן $90$

36 + 43 = 79

בדיקה

התשובה היא $9$ . $A = 3$ והסכום $79$ . מי שבודק רק את עמודת העשרות ( $A + 4 = 7$ ) מגיע לאותו $A$ , אבל חייב לוודא שאין העברה מעמודת האחדות: $6 + 3 = 9$ , אין.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

$A$ ו- $B$ ספרות שונות מ- $0$ . $\overline{AB} - \overline{BA} = 45$ ו- $A + B = 11$ . מהו $\overline{AB}$ ?

$38$
$65$
$74$
$83$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $83$

הפתרון:

\begin{aligned}9(A - B) &= 45 \Rightarrow A - B \\ &= 5\end{aligned}

מספר פחות מספר הראי שלו

A + B = 11

נתון

\begin{aligned}2A &= 16 \Rightarrow A \\ &= 8 \\ \ B &= 3\end{aligned}

מחברים את שתי המשוואות

83 - 38 = 45

בדיקה

התשובה היא $83$ . $38$ הוא מספר הראי — ההפרש שלו שלילי. $74$ ו- $65$ מקיימים $A + B = 11$ , אבל ההפרשים שלהם הם $27$ ו- $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

$A$ , $B$ ו- $C$ ספרות, $A$ ו- $B$ שונות מ- $0$ . $\overline{AB} + \overline{BA} = \overline{1C0}$ . מהו $C$ ?

$9$
$0$
לא ניתן לדעת
$1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $1$

הפתרון:

11(A + B) = \overline{1C0}

הסכום מתחלק ב- $11$

100 \le 11(A + B) \le 190

מספר שמתחיל ב- $1$ ומסתיים ב- $0$

11 \times 10 = 110

הכפולה היחידה של $11$ שמסתיימת ב- $0$ בתחום הזה

C = 1

התשובה היא $1$ . את $A$ ו- $B$ לא ניתן לדעת ( $19 + 91$ , $28 + 82$ ועוד), אבל הסכום תמיד $110$ . ״לא ניתן לדעת״ נכון לגבי $A$ — השאלה שאלה על $C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

$A$ , $B$ ו- $C$ ספרות, ו- $\overline{AB} \times 7 = \overline{3C1}$ . מה ידוע בוודאות?

$C = 0$
$B = 3$
$A = 4$
$A = 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $B = 3$

הפתרון:

7 \times 3 = 21

רק $B = 3$ נותן ספרת אחדות $1$

300 \le 7 \times \overline{A3} \le 399

המכפלה תלת-ספרתית שמתחילה ב- $3$

\begin{aligned}43 \times 7 &= 301 \\ \quad 53 \times 7 &= 371\end{aligned}

שני פתרונות

התשובה היא $B = 3$ . יש שני פתרונות: $43 \times 7 = 301$ ו- $53 \times 7 = 371$ . ב- $B$ שניהם מסכימים; ב- $A$ וב- $C$ לא. כל אחת משלוש התשובות האחרות נכונה בפתרון אחד בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

$A$ , $B$ ו- $C$ ספרות, ו- $\overline{AB} \times 9 = \overline{1CB}$ . מהו $\overline{AB}$ ?

$15$
$20$
לא ניתן לדעת
$25$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא ניתן לדעת

הפתרון:

\begin{aligned}9 \times 5 &= 45 \\ \quad 9 \times 0 &= 0\end{aligned}

ספרת האחדות של $9B$ צריכה להיות $B$ . זה קורה רק ל- $B = 5$ ול- $B = 0$

15 \times 9 = 135

$B = 5$ : $A = 1$ , $C = 3$

20 \times 9 = 180

$B = 0$ : $A = 2$ , $C = 8$

התשובה היא לא ניתן לדעת. יש שני פתרונות, $15$ ו- $20$ . מי שבודק את ספרת האחדות מוצא $B = 5$ ושוכח ש- $B = 0$ מקיים גם הוא את התנאי: $9 \times 0 = 0$ . ו- $25 \times 9 = 225$ — ספרת המאות $2$ , לא $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

$A$ , $B$ ו- $C$ ספרות שונות זו מזו, ו- $\overline{AB}$ ו- $\overline{BA}$ שניהם מספרים דו-ספרתיים. $\overline{AB} + \overline{BA} = \overline{CC}$ . מהו הערך הגדול ביותר האפשרי של $\overline{AB}$ ?

$99$
$72$
$81$
$90$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $81$

הפתרון:

\begin{aligned}11(A + B) &= 11C \Rightarrow A + B \\ &= C\end{aligned}

הסכום מתחלק ב- $11$

C \le 9 \Rightarrow A + B \le 9

$C$ ספרה

B \ge 1 \Rightarrow A \le 8

$\overline{BA}$ דו-ספרתי

\begin{aligned}A &= 8 \\ \ B &= 1 \\ \ C &= 9\end{aligned}

כל הספרות שונות

81 + 18 = 99

בדיקה

התשובה היא $81$ . $90$ דורש $B = 0$ , אבל אז $\overline{BA} = \overline{09}$ אינו דו-ספרתי. $99$ דורש $A = B$ , והאותיות שונות. $72$ אפשרי ( $72 + 27 = 99$ ), אבל אינו הגדול ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$\overline{ABCABC}$ הוא מספר בן שש ספרות שבו שלוש הספרות הראשונות חוזרות. באיזה מהמספרים הבאים הוא מתחלק בוודאות?

$17$
$9$
$13$
$3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $13$

הפתרון:

\overline{ABCABC} = 1000 \times \overline{ABC} + \overline{ABC}

המספר כתוב פעמיים

= 1001 \times \overline{ABC}

1001 = 7 \times 11 \times 13

התשובה היא $13$ , כי $1001 = 7 \times 11 \times 13$ . הוא מתחלק ב- $3$ או ב- $9$ רק כש- $\overline{ABC}$ מתחלק בהם: $100100$ אינו מתחלק ב- $3$ . וב- $17$ — גם כן לא תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

אותיות שונות הן ספרות שונות, ו- $\overline{ABC} \times 6 = \overline{CCC}$ . מהו $\overline{ABC}$ ?

$185$
אין פתרון
$148$
$124$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $148$

הפתרון:

6 \times \overline{ABC} = 111C

$\overline{CCC} = 111C$

\overline{ABC} = \frac{37C}{2}

מחלקים ב- $6$ , כי $111 = 3 \times 37$ . לכן $C$ זוגי

\begin{aligned}C &= 2 \\ 4 \\ 6 \Rightarrow 37 \\ \ 74 \\ \ 111\end{aligned}

שני הראשונים אינם תלת-ספרתיים, ו- $111$ אינו מסתיים ב- $6$

C = 8 \Rightarrow 148

מסתיים ב- $8$ — מתאים

148 \times 6 = 888

בדיקה

התשובה היא $148$ . $185$ הוא הפתרון של אותה שאלה עם $\times 3$ ; כאן $185 \times 6 = 1110$ . ו- $124 \times 6 = 744$ — הספרות אינן שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$A$ , $B$ ו- $C$ ספרות שונות זו מזו, שונות מ- $0$ . $\overline{AB} + \overline{BA} = \overline{CBC}$ . מהו $A$ ?

$9$
לא ניתן לדעת
$8$
$2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $9$

הפתרון:

C = 1

סכום של שני מספרים דו-ספרתיים קטן מ- $200$

11(A + B) = \overline{1B1}

מתחלק ב- $11$

121 \Rightarrow B = 2

המספר היחיד מהצורה הזו שמתחלק ב- $11$

\begin{aligned}A + B &= 11 \Rightarrow A \\ &= 9\end{aligned}

$121 : 11 = 11$

92 + 29 = 121

בדיקה

התשובה היא $9$ . כאן $B$ מופיע גם בסכום — ולכן הוא נקבע ( $B = 2$ ), ואיתו $A$ . ב- $\overline{AB} + \overline{BA} = \overline{CDC}$ , עם אות חדשה $D$ , $A$ היה נשאר לא ידוע. $2$ הוא $B$ , לא $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$A$ , $B$ ו- $C$ ספרות שונות זו מזו, שונות מ- $0$ . $\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = \overline{ABC}$ . מהו $\overline{ABC}$ ?

$297$
אין פתרון
$189$
$198$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $198$

הפתרון:

\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CA} = 11(A + B + C)

כל ספרה מופיעה פעם בעשרות ופעם באחדות

11(A + B + C) \le 11 \times 24 = 264

לכל היותר $9 + 8 + 7$

A \in \{1, 2\}

$\overline{ABC}$ קטן מ- $265$

\begin{aligned}198 &= 11 \times 18 \\ \quad 1 + 9 + 8 &= 18\end{aligned}

מתאים

19 + 98 + 81 = 198

בדיקה

התשובה היא $198$ . הסכום הוא $11(A + B + C)$ , ולכן $\overline{ABC}$ הוא כפולה של $11$ שסכום ספרותיה הוא בדיוק המנה. $198 = 11 \times 18$ ו- $1 + 9 + 8 = 18$ . ב- $189$ הסכום הוא $18 + 89 + 91 = 198$ , לא $189$ — סידור אחר של אותן ספרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev