תרגול — אחים ואחיות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן, מהקלה לקשה. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון. בכל שאלה כתבו קודם מה רואה הילד שמדבר — ורק אחר כך את היחס.

תרגילים

תרגיל 1

דנה אומרת: ״יש לי 33 אחים ו-33 אחיות.״ יואב הוא אחיה של דנה. כמה אחים וכמה אחיות יש ליואב?

  1. 22 אחים ו-44 אחיות
  2. 33 אחים ו-33 אחיות
  3. 33 אחים ו-44 אחיות
  4. 22 אחים ו-33 אחיות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 22 אחים ו-44 אחיות

הפתרון:

b=3 g=3+1=4\begin{aligned}b &= 3 \\ \ g &= 3 + 1 \\ &= 4\end{aligned}

דנה רואה 33 בנות נוספות — יחד איתה 44 בנות

b−1=2 g=4\begin{aligned}b - 1 &= 2 \\ \ g &= 4\end{aligned}

יואב אינו סופר את עצמו

התשובה היא 22 אחים ו-44 אחיות. דנה אינה סופרת את עצמה, ויואב כן סופר אותה. ״33 ו-33״ מעתיק את מה שדנה רואה, כאילו יואב רואה אותו דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשפחה bb בנים ו-gg בנות. לכל בת יש פי 33 אחים מאחיות. איזו משוואה מתארת זאת?

  1. b=3(g−1)b = 3(g - 1)
  2. 3b=g−13b = g - 1
  3. b=3gb = 3g
  4. b−1=3gb - 1 = 3g
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א b=3(g−1)b = 3(g - 1)

הפתרון:

bb

הבת רואה את כל הבנים

g−1g - 1

ואת כל הבנות חוץ ממנה

b=3(g−1)b = 3(g - 1)

האחים הם פי 33 מהאחיות

התשובה היא b=3(g−1)b = 3(g - 1). b=3gb = 3g שוכח שהבת אינה סופרת את עצמה. b−1=3gb - 1 = 3g מוריד את ה-11 מהצד הלא נכון — כאילו מדבר בן. 3b=g−13b = g - 1 הופך את היחס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשפחה, לכל בן יש אח אחד יותר מאחיות, ולכל בת יש פי 22 אחים מאחיות. כמה ילדים במשפחה?

  1. 1111
  2. 33
  3. 99
  4. 1010
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 1010

הפתרון:

b−1=g+1⇒b=g+2\begin{aligned}b - 1 &= g + 1 \Rightarrow b \\ &= g + 2\end{aligned}

בן

b=2(g−1)b = 2(g - 1)

בת

g+2=2g−2⇒g=4\begin{aligned}g + 2 &= 2g - 2 \Rightarrow g \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

b=6 6+4=10\begin{aligned}b &= 6 \\ \ 6 + 4 &= 10\end{aligned}

בדיקה: בן רואה 55 אחים ו-44 אחיות; בת רואה 66 אחים ו-33 אחיות

התשובה היא 1010. מי ששוכח את ה-−1-1 בשתי המשוואות כותב b=g+1b = g + 1 ו-b=2gb = 2g, ומקבל 22 בנים ובת אחת — 33 ילדים. בדיקה קצרה מראה שבמשפחה כזו לכל בן יש אח אחד ואחות אחת — מספר שווה, ולא אח אחד יותר מאחיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בלהקת מחול, כל רקדן רואה (בלי עצמו) פי 22 רקדניות מרקדנים. כל רקדנית רואה (בלי עצמה) 22 רקדניות יותר מרקדנים. כמה רקדניות בלהקה?

  1. 1313
  2. 88
  3. 55
  4. 77
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 88

הפתרון:

g=2(b−1)g = 2(b - 1)

רקדן

g−1=b+2⇒g=b+3\begin{aligned}g - 1 &= b + 2 \Rightarrow g \\ &= b + 3\end{aligned}

רקדנית

b+3=2b−2⇒b=5\begin{aligned}b + 3 &= 2b - 2 \Rightarrow b \\ &= 5\end{aligned}

מציבים

g=8g = 8

בדיקה: רקדן רואה 44 רקדנים ו-88 רקדניות; רקדנית רואה 55 רקדנים ו-77 רקדניות

התשובה היא 88. 55 הוא מספר הרקדנים, 77 הוא מה שרקדנית אחת רואה, ו-1313 הוא כל הלהקה. השאלה ביקשה רקדניות בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשפחה, לכל בן יש פי 22 אחיות מאחים, ולכל בת יש פי 33 אחים מאחיות. מה נכון?

  1. במשפחה 33 בנים ו-44 בנות
  2. לא ניתן לדעת כמה ילדים במשפחה
  3. במשפחה 44 בנים ו-22 בנות
  4. אין משפחה כזו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אין משפחה כזו

הפתרון:

g=2(b−1)g = 2(b - 1)

בן

b=3(g−1)b = 3(g - 1)

בת

g=2(3g−4)⇒5g=8\begin{aligned}g &= 2(3g - 4) \Rightarrow 5g \\ &= 8\end{aligned}

מציבים

g=1.6g = 1.6

לא מספר שלם

התשובה היא אין משפחה כזו. המשוואות נותנות g=1.6g = 1.6. במשפחה של 33 בנים ו-44 בנות המשפט על הבנים נכון, אבל בת רואה 33 אחים ו-33 אחיות — לא פי 33. ״לא ניתן לדעת״ מתאים כשיש הרבה פתרונות, לא כשאין אף אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

רון אומר: ״יש לי מספר אחיות שווה למספר אחיי.״ אחותו נוי אומרת: ״יש לי 22 אחים יותר מאחיות.״ כמה ילדים במשפחה?

  1. 77
  2. לא ניתן לדעת
  3. אין משפחה כזו
  4. 55
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא ניתן לדעת

הפתרון:

g=b−1g = b - 1

רון

b=(g−1)+2=g+1\begin{aligned}b &= (g - 1) + 2 \\ &= g + 1\end{aligned}

נוי

g=b−1g = b - 1

אותה משוואה פעמיים

(3,2), (4,3), (5,4),…(3, 2), \ (4, 3), \ (5, 4), \ldots

כל משפחה עם בן אחד יותר מבנות

התשובה היא לא ניתן לדעת. שני המשפטים אומרים אותו דבר: יש בדיוק בן אחד יותר מבנות. משפחה של 55 ילדים (33 בנים, 22 בנות) מתאימה, וגם משפחה של 77 — ולכן אף אחת מהן אינה התשובה בוודאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשפחה, לכל בן מספר אחים שווה למספר אחיותיו. איזה מהמספרים הבאים יכול להיות מספר הילדים במשפחה?

  1. 1010
  2. 1212
  3. 99
  4. 88
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 99

הפתרון:

b−1=gb - 1 = g

בן

b+g=2b−1b + g = 2b - 1

מספר הילדים

2b−1=9⇒b=5 g=4\begin{aligned}2b - 1 &= 9 \Rightarrow b \\ &= 5 \\ \ g &= 4\end{aligned}

התשובה היא 99. מספר הילדים הוא 2b−12b - 1, כלומר תמיד אי-זוגי. 88, 1010 ו-1212 זוגיים, ולכן אף אחד מהם אינו אפשרי. אין צורך לנסות כל מספר — מספיק לראות את הזוגיות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בקבוצת כדורגל שכונתית, כל בן רואה (בלי עצמו) פי 22 בנים מבנות, וכל בת רואה (בלי עצמה) פי 33 בנים מבנות. כמה ילדים בקבוצה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13

הפתרון:

b−1=2gb - 1 = 2g

בן

b=3(g−1)b = 3(g - 1)

בת

2g+1=3g−3⇒g=4\begin{aligned}2g + 1 &= 3g - 3 \Rightarrow g \\ &= 4\end{aligned}

מציבים

b=9 9+4=13\begin{aligned}b &= 9 \\ \ 9 + 4 &= 13\end{aligned}

בדיקה: בן רואה 88 בנים ו-44 בנות; בת רואה 99 בנים ו-33 בנות

התשובה היא 1313. 99 בנים ו-44 בנות. מי שכותב b=2gb = 2g ו-b=3gb = 3g בלי ה-−1-1 מקבל g=0g = 0 — סימן שמשהו חסר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשפחה יש בנים וגם בנות. לכל ילד במשפחה, בן או בת, יש יותר אחים מאחיות. מהו המספר הקטן ביותר האפשרי של ילדים במשפחה?

  1. 66
  2. 44
  3. 33
  4. 55
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 44

הפתרון:

b−1>gb - 1 > g

בן

b>g−1b > g - 1

בת — נובע מהתנאי של הבן

g≥1⇒b≥3g \ge 1 \Rightarrow b \ge 3

לפחות בת אחת

b=3 g=1⇒4\begin{aligned}b &= 3 \\ \ g &= 1 \Rightarrow 4\end{aligned}

התשובה היא 44: שלושה בנים ובת אחת. בן רואה 22 אחים ואחות אחת. במשפחה של 33 ילדים (22 בנים ובת) בן רואה אח אחד ואחות אחת — לא ״יותר״. 55 אפשרי, אבל אינו הקטן ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשפחה, לכל בת מספר אחים שווה למספר אחיותיה, ולכל בן יש פי kk אחיות מאחים (kk מספר שלם גדול מ-11). איזה מהערכים הבאים של kk אפשרי?

  1. 44
  2. 66
  3. 55
  4. 33
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 33

הפתרון:

b=g−1b = g - 1

בת

g=k(b−1)=k(g−2)\begin{aligned}g &= k(b - 1) \\ &= k(g - 2)\end{aligned}

בן

g=2kk−1g = \frac{2k}{k - 1}

מבודדים את gg

k=3⇒g=3 b=2\begin{aligned}k &= 3 \Rightarrow g \\ &= 3 \\ \ b &= 2\end{aligned}

בדיקה: בן רואה אח אחד ו-33 אחיות

התשובה היא 33. g=2kk−1g = \frac{2k}{k-1} חייב להיות מספר שלם. עבור k=4,5,6k = 4, 5, 6 מקבלים 83\frac{8}{3}, 104\frac{10}{4} ו-125\frac{12}{5} — אין משפחה כזו. גם k=2k = 2 היה אפשרי (33 בנים ו-44 בנות), אבל הוא אינו בין התשובות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת