אחים ואחיות · חידות היגיון · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

שאלת ״אחים ואחיות״ נראית כמו שיחה בין ילדים, אבל היא מערכת של שתי משוואות. כל משפט במבחן מספר מה ילד אחד רואה — ומי שרואה אינו רואה את עצמו. ברגע שכותבים נכון מה כל ילד רואה, נשאר תרגיל אלגברה קצר.

מה רואה כל ילד

נסמן: $b$ — מספר הבנים במשפחה, $g$ — מספר הבנות. בן סופר את כל הבנות, אבל מבין הבנים הוא מדלג על עצמו. בת סופרת את כל הבנים, ומבין הבנות מדלגת על עצמה.

פעילות אינטראקטיבית

$3$ בנים ו- $4$ בנות: מה כל ילד רואה?

כל המשפחה: $3$ בנים ו- $4$ בנות.

בנים

בנות

בן סופר את כל הבנות, אבל מבין הבנים הוא מדלג על עצמו: $2$ אחים ו- $4$ אחיות.

\begin{aligned}b - 1 &= 2 \\ \quad g &= 4\end{aligned}

אחים של הבן

אחיות של הבן

בת סופרת את כל הבנים, ומבין הבנות מדלגת על עצמה: $3$ אחים ו- $3$ אחיות.

\begin{aligned}b &= 3 \\ \quad g - 1 &= 3\end{aligned}

אחים של הבת

אחיות של הבת

אותה משפחה, ושתי תמונות שונות. ה- $-1$ נכנס תמיד בקבוצה של הילד שמסתכל.

בכל שורה מסומנים רק הילדים שהסופר רואה. מי שנשאר לא מסומן בקבוצה שלו — זה הסופר עצמו.

לעשות את הפעילות ב-elev

b - 1 \ , \ g

בן רואה: $b - 1$ אחים ו- $g$ אחיות

b \ , \ g - 1

בת רואה: $b$ אחים ו- $g - 1$ אחיות

במשפחה $5$ בנים ו- $2$ בנות. כמה אחים וכמה אחיות יש לכל בת? ולכל בן?

להציג את התשובה והפתרון

לכל בת $5$ אחים ו-אחות אחת ( $2 - 1$ ). לכל בן $4$ אחים ( $5 - 1$ ) ו- $2$ אחיות. אותה משפחה — ושני ילדים שרואים אותה אחרת.

שני משפטים, שתי משוואות

כל משפט הופך למשוואה אחת. כותבים קודם מה הילד רואה (עם ה- $-1$ במקום הנכון), ורק אחר כך את היחס שבמשפט: ״פי $2$ ״, ״אחד יותר״, ״שווה״.

פעילות אינטראקטיבית

מתרגמים משפט למשוואה

במשפחה, לכל בן יש אחות אחת יותר מאחים, ולכל בת יש פי $2$ אחים מאחיות. כמה ילדים במשפחה?

$4$

$5$

$6$

אין משפחה כזו

מה אומר המשפט על הבן?

$g = (b - 1) + 1$

להציג את התשובה והפתרון

הבן רואה $b - 1$ אחים ו- $g$ אחיות, ויש לו אחות אחת יותר.

$g = b + 1$

להציג את התשובה והפתרון

הבן לא סופר את עצמו: יש לו $b - 1$ אחים, לא $b$ .

\begin{aligned}g &= (b - 1) + 1 \\ &= b\end{aligned}

בנים ובנות — אותו מספר.

מה אומר המשפט על הבת?

$b = 2(g - 1)$

להציג את התשובה והפתרון

הבת רואה $b$ אחים ו- $g - 1$ אחיות, ו״פי $2$ ״ חל על כל מספר האחיות.

$b = 2g - 1$

להציג את התשובה והפתרון

כאן רק $g$ הוכפל. הבת רואה $g - 1$ אחיות, והכפל חל על כל הביטוי — סוגריים.

$b - 1 = 2(g - 1)$

להציג את התשובה והפתרון

הבת סופרת את כל הבנים. היא מדלגת על עצמה רק בין הבנות.

b = 2(g - 1)

המשוואה השנייה.

איך פותרים?

מציבים $g = b$ במשוואה השנייה

להציג את התשובה והפתרון

משתנה אחד, משוואה אחת.

מחברים את שתי המשוואות

להציג את התשובה והפתרון

החיבור לא מעלים אף משתנה. הצבה מעלימה.

\begin{aligned}b &= 2(b - 1) \Rightarrow b \\ &= 2 \\ \ g &= 2\end{aligned}

שני בנים ושתי בנות.

איך בודקים?

״היו״ בן, ואחר כך ״היו״ בת, וסופרים

להציג את התשובה והפתרון

בן רואה אח אחד ו- $2$ אחיות. בת רואה $2$ אחים ואחות אחת.

מציבים $b = 2$ רק במשוואה הראשונה

להציג את התשובה והפתרון

בדיקה במשוואה אחת לא תופסת טעות בשנייה. בודקים את שני המשפטים.

\begin{aligned}1 + 1 &= 2 \\ \quad 2 &= 2 \times 1\end{aligned}

שני המשפטים מתקיימים.

להציג את התשובה והפתרון

$4$ ילדים: $2$ בנים ו- $2$ בנות. התשובה $5$ באה ממי ששכח את ה- $-1$ של הבן, ו״אין משפחה כזו״ — ממי שכתב $b = 2g - 1$ וקיבל שבר.

לעשות את הפעילות ב-elev

אותו רעיון עובד בכל קבוצה: כיתה, חוג, נבחרת. ״כל תלמיד בחוג רואה, בלי עצמו...״ — זו בדיוק שאלת אחים ואחיות בתחפושת.

בחוג תיאטרון, כל בן רואה (בלי עצמו) פי $3$ בנות מבנים, וכל בת רואה (בלי עצמה) מספר שווה של בנים ובנות. כמה בנות בחוג?

מתרגמים כל משפט לפי מה שהילד רואה.

g = 3(b - 1)

בן

b = g - 1

בת

\begin{aligned}g &= 3(g - 2) \Rightarrow 2g \\ &= 6 \Rightarrow g \\ &= 3\end{aligned}

מציבים

b = 2

בדיקה: בן רואה בן אחד ו- $3$ בנות; בת רואה $2$ בנים ו- $2$ בנות

במשפחה, לכל בן מספר אחים שווה למספר אחיותיו, וגם לכל בת מספר אחים שווה למספר אחיותיה. כמה ילדים במשפחה?

להציג את התשובה והפתרון

אין משפחה כזו. מהבן: $b - 1 = g$ . מהבת: $b = g - 1$ . הראשונה אומרת שיש יותר בנים, השנייה שיש יותר בנות — סתירה.

כשאין פתרון, וכשיש יותר מאחד

שלוש תוצאות אפשריות, ולכל אחת תשובה משלה במבחן: פתרון אחד במספרים שלמים וחיוביים — זו התשובה. אין פתרון כזה (סתירה, או שבר) — ״אין משפחה כזו״. הרבה פתרונות, כי שני המשפטים אומרים בעצם אותו דבר — ״לא ניתן לדעת״.

לכל בן יש פי $2$ אחיות מאחים, ולכל בת יש פי $3$ אחים מאחיות. כמה ילדים?

הפתרון אינו מספר שלם.

g = 2(b - 1)

בן

b = 3(g - 1)

בת

\begin{aligned}g &= 2(3g - 4) \\ &= 6g - 8\end{aligned}

מציבים

\begin{aligned}5g &= 8 \Rightarrow g \\ &= 1.6\end{aligned}

אין חצי ילדה — אין משפחה כזו

שתי הטעויות שמייצרות תשובה שגויה שנראית הגיונית.

b = g

b - 1 = g

״לכל בן מספר אחים שווה למספר אחיותיו״: הבן אינו סופר את עצמו, ולכן יש לו $b - 1$ אחים.

b = 2g - 1

b = 2(g - 1)

הבת רואה $g - 1$ אחיות, והמילים ״פי $2$ ״ חלות על כל המספר הזה — סוגריים.

בדקו את התשובה משני הצדדים. ״היו״ בן אחד מהמשפחה וספרו מה אתם רואים, ואחר כך ״היו״ בת אחת. שתי הבדיקות לוקחות חצי דקה ותופסות כמעט כל טעות של $-1$ .

מה רואה כל ילד

שני משפטים, שתי משוואות

כשאין פתרון, וכשיש יותר מאחד

השיעור הבא מחכה ב-elev