אחוזים ויחסים — הצטברות ותערובות · אחוזים ויחסים · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

בכיתה ח׳ האחוזים מפסיקים להיות שאלה של פעולה אחת. הם נערמים לאורך שנים, הם מתערבבים בין שני מיכלים, והם מופיעים ביחס של שלושה. הכלי היחיד שנשאר קבוע הוא זה שהכרתם: אחוז הוא כפל, ולכן שינויים ברצף מוכפלים ולא מתחברים.

שינוי שחוזר על עצמו

כשגודל משתנה באותו אחוז בכל שנה, המקדם חוזר על עצמו כמספר השנים. שלוש שנים של עלייה ב- $10\%$ אינן $30\%$ אלא $1.1^{3}$ , כלומר $33.1\%$ . ההפרש נראה קטן, והוא בדיוק מה שמפריד בין שתי אפשרויות במבחן.

פעילות אינטראקטיבית

מחיר הדירה, שנה אחרי שנה (באלפי ש״ח)

שנה

אלפי ש״ח

הדירה עולה $10\%$ בכל שנה. לחצו — כל לחיצה מוסיפה שנה.

2017: $1{,}000$ אלף ש״ח — נקודת ההתחלה.

2018: $1000 \times 1.1 = 1100$ . העלייה: $100$ .

2019: $1100 \times 1.1 = 1210$ . העלייה: $110$ — יותר מ- $100$ , כי $10\%$ נלקחים מסכום גדול יותר.

2020: $1210 \times 1.1 = 1331$ . העלייה: $121$ . שלוש עליות, לא ארבע — ובסך הכול $33.1\%$ , לא $30\%$ .

כל עמודה היא הקודמת כפול $1.1$ . לכן העליות גדלות משנה לשנה, והאחוזים לא מתחברים.

לעשות את הפעילות ב-elev

V_n = V_0 \times \left(1 \pm \frac{p}{100}\right)^{n}

אחרי n שנים

פעילות אינטראקטיבית

דירה עלתה $1{,}000{,}000$ ש״ח ב-2017, ומחירה עולה $10\%$ בכל שנה. כמה היא שווה ב-2020?

V = 1000000 \times 1.1^{n}

לחצו «להתחיל». קודם סופרים שנים.

שנים

\begin{aligned}n &= 2020 - 2017 \\ &= 3\end{aligned}

מ-2017 ל-2020 יש שלושה מעברים, לא ארבעה.

מכפיל

\begin{aligned}q &= 1 + \frac{10}{100} \\ &= 1.1\end{aligned}

עלייה של $10\%$ היא כפל ב- $1.1$ .

חזקה

\begin{aligned}1.1^{3} &= 1.1 \times 1.1 \times 1.1 \\ &= 1.331\end{aligned}

המכפיל חוזר שלוש פעמים — פעם לכל שנה.

תוצאה

1000000 \times 1.331 = 1331000

הדירה שווה $1{,}331{,}000$ ש״ח.

מי שחיבר $10\% + 10\% + 10\% = 30\%$ קיבל $1{,}300{,}000$ — מסיח קבוע.

לעשות את הפעילות ב-elev

ספרו את השנים, לא את התאריכים. מ- $2017$ ל- $2020$ יש שלושה מעברים ולא ארבעה. זו הטעות הכי נפוצה בשאלות מהסוג הזה, והמסיח שמתאים לה תמיד נמצא ברשימה.

תערובות

כששני נוזלים מתערבבים, כמות החומר הפעיל מתחברת — לא האחוזים. סוכמים כמה גרם או כמה ליטר של החומר יש בכל מיכל, מחלקים בכמות הכוללת, ומקבלים את האחוז החדש.

פעילות אינטראקטיבית

$2$ ליטר ב- $5\%$ ועוד $3$ ליטר ב- $25\%$

מערבבים 2 ליטר של תמיסה עם $5\%$ חומר, ו-3 ליטר של תמיסה עם $25\%$ חומר. מהו אחוז החומר בתערובת?

מיכל א׳

2 ליטר, $5\%$

מיכל ב׳

3 ליטר, $25\%$

שני מיכלים. הבר הוא כל הנוזל שבמיכל.

מיכל א׳

2 ליטר, $5\%$

1.9 מים

מיכל ב׳

3 ליטר, $25\%$

2 \times 0.05 = 0.1

במיכל א׳ רק 0.1 ליטר חומר — פס דק מאוד.

מיכל א׳

2 ליטר, $5\%$

1.9 מים

מיכל ב׳

3 ליטר, $25\%$

2.25 מים

3 \times 0.25 = 0.75

במיכל ב׳ 0.75 ליטר חומר.

מיכל א׳

2 ליטר, $5\%$

1.9 מים

מיכל ב׳

3 ליטר, $25\%$

2.25 מים

תערובת

5 ליטר

0.1 + 0.75 = 0.85

שופכים הכול לכלי אחד: $5$ ליטר, ובהם $0.85$ ליטר חומר. הכמויות מתחברות.

מיכל א׳

2 ליטר, $5\%$

1.9 מים

מיכל ב׳

3 ליטר, $25\%$

2.25 מים

תערובת

5 ליטר

\begin{aligned}\frac{0.85}{5} &= 0.17 \\ &= 17\%\end{aligned}

מחלקים את החומר בכל הנוזל: $17\%$ , ולא $15\%$ . המיכל הגדול מושך את האחוז אליו.

אחוזים לא מחברים ולא ממצעים. מחברים כמויות, ורק בסוף מחלקים.

לעשות את הפעילות ב-elev

המלכודת: לחשב ממוצע של אחוזים בתערובת.

\frac{5 + 25}{2} = 15\%

\frac{0.85}{5} = 17\%

המיכל הגדול מושך אליו, בדיוק כמו בממוצע משוקלל

יחס בין שלושה

פעילות אינטראקטיבית

יחס $2 : 3 : 4$

שלושה אחים מתחלקים ב-180 ש״ח ביחס $2 : 3 : 4$ . כמה מקבל כל אחד?

דן

רון

גל

כל אח מקבל מספר חלקים שווים: $2$ , $3$ ו- $4$ .

דן

רון

גל

180 ש״ח ביחד

2 + 3 + 4 = 9

יחד יש 9 חלקים, והם כל הכסף.

דן

רון

גל

180 ש״ח ביחד

180 : 9 = 20

חלק אחד שווה 20 ש״ח.

דן

רון

גל

\begin{aligned}2 \times 20 &= 40 \\ \quad 3 \times 20 &= 60 \\ \quad 4 \times 20 &= 80\end{aligned}

כופלים את מספר החלקים של כל אח. בדיקה: $40 + 60 + 80 = 180$ .

קודם מספר החלקים, אחר כך גודל של חלק אחד — בדיוק כמו ביחס בין שניים.

לעשות את הפעילות ב-elev

יחס $a : b : c$ מחלק את השלם ל- $a + b + c$ חלקים — בדיוק כמו בין שניים. הקושי היחיד מגיע כששני יחסים נפרדים צריכים להתחבר דרך האיבר המשותף להם, ואז מרחיבים את שניהם כך שהאיבר הזה יופיע באותו מספר.

פעילות אינטראקטיבית

שני יחסים שנפגשים באיבר משותף

\begin{aligned}a : b &= 3 : 4 \\ \quad b : c &= 2 : 5 \\ \quad a : b : c &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». האיבר המשותף הוא $b$ .

הבעיה

b \to 4 \quad \text{וגם} \quad b \to 2

$b$ מקבל מספר שונה בכל יחס. אי אפשר לחבר אותם כך.

מרחיבים

\begin{aligned}b : c &= 2 : 5 \\ &= 4 : 10\end{aligned}

כופלים את היחס השני ב- $2$ , כדי ש- $b$ יהיה $4$ גם כאן.

מחברים

a : b : c = 3 : 4 : 10

עכשיו $b = 4$ בשני היחסים, ואפשר לכתוב יחס אחד לשלושה.

מרחיבים יחס כמו שבר: כופלים את שני האיברים באותו מספר.

לעשות את הפעילות ב-elev

$a : b = 1 : 2$ ו- $b : c = 3 : 4$ . מהו $a : b : c$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$3 : 6 : 8$ . האיבר המשותף הוא $b$ : פעם $2$ ופעם $3$ . מרחיבים את שניהם ל- $6$ — את הראשון פי $3$ ( $3 : 6$ ) ואת השני פי $2$ ( $6 : 8$ ).

1.1^{3}

שלוש שנות עלייה

0.8^{2}

שנתיים של ירידה

\frac{\Sigma \text{חומר}}{\Sigma \text{נפח}}

תערובת

a + b + c

חלקי יחס משולש

ערכו של רכב יורד ב- $20\%$ בשנה. אם ב- $2018$ הוא היה שווה $100{,}000$ ש״ח, כמה הוא שווה ב- $2020$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$64{,}000$ ש״ח. שנתיים עברו, ולכן $0.8^{2} = 0.64$ , ו- $100000 \times 0.64 = 64000$ . מי שספר שלוש שנים קיבל $51{,}200$ , ומי שחיסר $40\%$ קיבל $60{,}000$ — שני מסיחים שמופיעים כמעט תמיד.

שינוי שחוזר על עצמו

תערובות

יחס בין שלושה

השיעור הבא מחכה ב-elev