הסתברות ופרופורציה · הסתברות · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

בשאלות האלה ההסתברות נתונה, והנעלם הוא כמות: כמה בנים בכיתה, כמה כדורים להוסיף. הרעיון אחד: הסתברות היא חלק מהשלם, בדיוק כמו אחוז.

מההסתברות אל הכמות

פעילות אינטראקטיבית

כיתה של 30, והסתברות $\frac{2}{5}$ לבחור בת

בכיתה $30$ תלמידים, וההסתברות לבחור בת היא $\frac{2}{5}$ : בכל חמישייה — 2 בנות.

\frac{2}{5}

הבנות מודגשות

כמה חמישיות יש ב- $30$ ? שש. ובכל אחת $2$ בנות.

\begin{aligned}30 : 5 &= 6 \\ \quad 6 \times 2 &= 12\end{aligned}

הבנות מודגשות

הבנים: $3$ בכל חמישייה.

6 \times 3 = 18

הבנים מודגשים

בדיקה: $12$ בנות מתוך $30$ תלמידים.

\frac{12}{30} = \frac{2}{5} \ \checkmark

$\frac{2}{5}$ אינו אומר שיש $2$ בנות. הוא אומר $2$ מכל $5$ .

בחוג $24$ ילדים. ההסתברות לבחור ילד שמנגן בגיטרה היא $\frac{3}{8}$ . כמה ילדים בחוג אינם מנגנים בגיטרה?

להציג את התשובה והפתרון

$15$ . המשלים הוא $\frac{5}{8}$ , ו- $\frac{5}{8} \cdot 24 = 15$ . ( $9$ הם המנגנים — זה המסיח.)

אם היחס בין בנים לבנות הוא $3 : 2$ , אז מכל $5$ תלמידים $3$ בנים. ההסתברות לבחור בן היא $\frac{3}{5}$ — חלק חלקי סכום החלקים, ולא $\frac{3}{2}$ .

היחס בין כדורים כחולים לכדורים לבנים בקופסה הוא $4 : 5$ . מה ההסתברות להוציא כדור כחול?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{4}{9}$ . סכום החלקים $4 + 5 = 9$ . $\frac{4}{5}$ הוא היחס עצמו, לא ההסתברות.

פעילות אינטראקטיבית

בקופסה $4$ כדורים אדומים ו- $8$ כדורים כחולים. כמה כדורים אדומים צריך להוסיף כדי שההסתברות להוציא כדור אדום תהיה $\frac{3}{5}$ ?

\frac{4+x}{12+x} = \frac{3}{5}

לחצו «להתחיל». שימו לב מה קורה למכנה.

הנעלם

x

$x$ — מספר הכדורים האדומים שמוסיפים. הם נכנסים גם למונה וגם למכנה.

המשוואה

\frac{4+x}{12+x} = \frac{3}{5}

אדומים חלקי כל הכדורים, אחרי ההוספה.

כפל בהצלבה

5(4+x) = 3(12+x)

פתרון

\begin{aligned}20 + 5x &= 36 + 3x \ \Rightarrow \ x \\ &= 8\end{aligned}

בדיקה

\frac{12}{20} = \frac{3}{5} \ \checkmark

$12$ אדומים מתוך $20$ כדורים.

הטעות הנפוצה: להוסיף רק למונה — $\frac{4+x}{12} = \frac{3}{5}$ — ולקבל מספר שאינו שלם.

בקופסה $3$ כדורים לבנים ו- $9$ שחורים. כמה כדורים שחורים צריך להוציא כדי שההסתברות להוציא כדור לבן תהיה $\frac{1}{2}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$6$ . צריך מספר שווה של לבנים ושחורים: $3$ ו- $3$ . מוציאים $9 - 3 = 6$ . בדיקה: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

שתי טעויות שחוזרות בכל שאלה כזו.

\frac{4+x}{12} = \frac{3}{5}

\frac{4+x}{12+x} = \frac{3}{5}

כשמוסיפים כדורים, גם מספר הכדורים הכולל גדל.

\frac{3}{2}

\frac{3}{5}

יחס $3 : 2$ הופך להסתברות כשמחלקים בסכום החלקים. הסתברות לעולם אינה גדולה מ- $1$ .

בכל שאלה שבה ההסתברות משתנה, כתבו שבר אחד ״לפני״ ושבר אחד ״אחרי״, ובדקו מה זז בכל אחד: המונה, המכנה, או שניהם.