תבניות חוזרות · סדרות ותבניות · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

יש סדרות שחוזרות על עצמן: אותה קבוצת איברים שוב ושוב. בסדרה כזו לא צריך לכתוב מאה איברים כדי לדעת מה במקום ה- $100$ — מספיק לדעת את אורך המחזור ואת השארית.

אורך המחזור והשארית

כדורים בשורה בצבעים אדום, כחול, ירוק, צהוב, ושוב אדום, כחול… מה צבע הכדור ה- $50$ ?

המחזור באורך $4$ . מחזורים שלמים אינם משנים דבר.

50 = 4 \times 12 + 2

$12$ מחזורים שלמים, ושארית $2$

r = 2

המקום השני במחזור: כחול

פעילות אינטראקטיבית

$50$ כדורים, במחזורים של $4$

$50$ כדורים בשורה: אדום, כחול, ירוק, צהוב — ושוב מההתחלה. מקבצים אותם במחזורים של $4$ .

50 כדורים

$12$ מחזורים שלמים, ובסוף נשארים רק $2$ כדורים — מחזור שלא נגמר.

50 = 4 \times 12 + 2

50 כדורים

בכל מחזור, שני הכדורים הראשונים הם אדום וכחול. במחזור האחרון יש רק שניים — והכדור ה- $50$ הוא השני: כחול.

r = 2

שני הראשונים בכל מחזור

ואילו היו $48$ כדורים? שארית $0$ : המחזור האחרון מלא, והכדור ה- $48$ הוא האחרון בו — צהוב, לא אדום.

48 = 4 \times 12 + 0

48 כדורים

מחזורים שלמים אינם משנים דבר. רק השארית אומרת איפה נעצרים.

לעשות את הפעילות ב-elev

המחזור בשורה, והמקומות מתחתיו

מקום במחזור	$1$	$2$	$3$	$4$
צבע	אדום	כחול	ירוק	צהוב
מקומות בשורה	$1, 5, 9, \ldots$	$2, 6, \ldots, 50$	$3, 7, 11, \ldots$	$4, 8, \ldots, 48$
שארית בחלוקה ב- $4$	$1$	$2$	$3$	$0$

שארית

0

נופלת בעמודה האחרונה של המחזור.

שארית $0$ היא המקרה שבו טועים הכי הרבה. היא אומרת שהאיבר סוגר מחזור שלם — כלומר הוא האחרון במחזור, לא הראשון.

האותיות א, ב, ג, ד, ה נכתבות שוב ושוב. איזו אות במקום ה- $100$ ?

להציג את התשובה והפתרון

ה. $100 = 5 \times 20$ והשארית $0$ : המקום ה- $100$ סוגר את המחזור ה- $20$ , ולכן זו האות האחרונה.

ימי השבוע

היום יום שלישי. איזה יום יהיה בעוד $30$ ימים?

מחזור של $7$ ימים.

30 = 7 \times 4 + 2

$4$ שבועות, ועוד יומיים

3 + 2 = 5

שלישי הוא היום השלישי — מגיעים לחמישי

ה- $1$ בחודש יחול ביום ראשון. איזה יום יהיה ה- $29$ בחודש?

להציג את התשובה והפתרון

יום ראשון. מה- $1$ ל- $29$ עוברים $28$ ימים — ארבעה שבועות בדיוק. הטעות הנפוצה היא לחשב עם $29$ ימים ולא עם ההפרש.

ספרת האחדות של חזקות

ספרת האחדות של מכפלה תלויה רק בספרות האחדות של הגורמים. לכן ספרות האחדות של $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, \ldots$ חוזרות במחזור — ומחזור של $4$ מספיק לכל הספרות שחשובות במבחן.

2 \to 4 \to 8 \to 6

ספרת האחדות של $2^{n}$

3 \to 9 \to 7 \to 1

של $3^{n}$

7 \to 9 \to 3 \to 1

של $7^{n}$

4 \to 6

של $4^{n}$ — מחזור של $2$

פעילות אינטראקטיבית

מהי ספרת האחדות של $3^{50}$ ?

3^{50} = \ ?

לחצו «להתחיל». לא מחשבים את $3^{50}$ — עוקבים רק אחרי הספרה האחרונה.

\begin{aligned}3^{1} &= 3 \\ \quad 3^{2} &= 9\end{aligned}

שתי החזקות הראשונות.

\begin{aligned}3^{3} &= 27 \to 7 \\ \quad 3^{4} &= 81 \to 1\end{aligned}

כופלים רק את ספרת האחדות: $9 \times 3 = 27$ , ו- $7 \times 3 = 21$ .

1 \times 3 = 3

חזרנו ל- $3$ : המחזור $3, 9, 7, 1$ , באורך $4$ .

שארית

50 = 4 \times 12 + 2

$12$ מחזורים שלמים, ושארית $2$ .

תשובה

3, \ \mathbf{9}, \ 7, \ 1 \ \Rightarrow \ 9

המקום השני במחזור: ספרת האחדות היא $9$ .

ספרת האחדות של מכפלה תלויה רק בספרות האחדות — ולכן היא חוזרת במחזור.

לעשות את הפעילות ב-elev

אותו מחזור משמש לכל מספר שמסתיים באותה ספרה: $13^{n}$ ו- $23^{n}$ מתנהגים כמו $3^{n}$ .

סכום של מחזורים

הסדרה $2, 5, 1, 2, 5, 1, \ldots$ — מהו סכום $20$ האיברים הראשונים?

סוכמים מחזור אחד, ואז מוסיפים את מה שנשאר.

2 + 5 + 1 = 8

סכום מחזור

20 = 3 \times 6 + 2

$6$ מחזורים שלמים ושני איברים

6 \times 8 + 2 + 5 = 55

שתי טעויות שמסיחים בנויים עליהן.

r = 0 \Rightarrow 1

r = 0 \Rightarrow 4

במחזור באורך $4$ , שארית $0$ היא המקום הרביעי.

7^{2}: \ 7 \times 2 = 14 \Rightarrow 4

7^{2} = 49 \Rightarrow 9

חזקה היא כפל חוזר של המספר בעצמו, לא כפל במעריך.

כתבו את המחזור בשורה ומתחתיו את המקומות $1, 2, \ldots, k$ . כך השארית מצביעה ישר על האיבר, ושארית $0$ נופלת על $k$ בלי לחשוב.

מהי ספרת האחדות של $7^{2026}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$9$ . $2026 = 4 \times 506 + 2$ , והמקום השני במחזור $7, 9, 3, 1$ הוא $9$ .

תרגילים

תרגיל 1

כדורים בשורה: אדום, אדום, כחול, אדום, אדום, כחול, … כמה כדורים כחולים יש בין $40$ הכדורים הראשונים?

$27$
$13$
$12$
$14$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $13$

הפתרון:

40 = 3 \times 13 + 1

$13$ מחזורים שלמים ועוד כדור

r = 1

הכדור הנוסף הוא אדום

התשובה היא $13$ . בכל מחזור כחול אחד, והכדור ה- $40$ פותח מחזור חדש — אדום. $27$ הוא מספר האדומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

היום יום רביעי. איזה יום יהיה בעוד $100$ ימים?

שבת
רביעי
חמישי
שישי

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שישי

הפתרון:

100 = 7 \times 14 + 2

שארית $2$

4 + 2 = 6

יומיים אחרי רביעי

התשובה היא שישי. אחרי $14$ שבועות שוב רביעי, ועוד יומיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהי ספרת האחדות של $2^{30}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $4$

הפתרון:

2, 4, 8, 6

המחזור

30 = 4 \times 7 + 2

שארית $2$

התשובה היא $4$ . המקום השני במחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הסדרה $1, 3, 5, 1, 3, 5, \ldots$ — מהו סכום $25$ האיברים הראשונים?

$73$
$81$
$72$
$75$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $73$

הפתרון:

1 + 3 + 5 = 9

סכום מחזור

25 = 3 \times 8 + 1

8 \times 9 + 1 = 73

התשובה היא $73$ . $72$ שוכח את האיבר הבודד שנשאר אחרי שמונת המחזורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

אורך המחזור והשארית

ימי השבוע

ספרת האחדות של חזקות

סכום של מחזורים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev