סדרה 3 — תבניות חוזרות · סדרות ותבניות · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

עשר שאלות בפורמט המבחן. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו את מה שנראה לכם הגיוני והמשיכו.

תרגילים

תרגיל 1

מהי ספרת האחדות של $2^{2026}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $4$

הפתרון:

2, 4, 8, 6

המחזור

2026 = 4 \times 506 + 2

שארית $2$

התשובה היא $4$ . מספיקות שתי הספרות האחרונות של המעריך כדי לחלק ב- $4$ : $26 = 4 \times 6 + 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהי ספרת האחדות של $3^{25} \times 7^{25}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $1$

הפתרון:

3^{25} \times 7^{25} = 21^{25}

1 \times 1 \times \cdots = 1

כל חזקה של מספר שמסתיים ב- $1$ מסתיימת ב- $1$

התשובה היא $1$ . אפשר גם לחוד: $3^{25}$ מסתיים ב- $3$ , $7^{25}$ ב- $7$ , ו- $3 \times 7 = 21$ . $7$ ו- $3$ הן ספרות האחדות של כל גורם לחוד — צריך עוד לכפול ביניהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

יום ההולדת של נועה השנה יחול ביום שלישי. עד יום ההולדת הבא עוברים בדיוק $365$ ימים. באיזה יום יחול יום ההולדת הבא?

רביעי
לא ניתן לדעת בוודאות
שלישי
חמישי

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א רביעי

הפתרון:

365 = 7 \times 52 + 1

$52$ שבועות ועוד יום

3 + 1 = 4

התשובה היא רביעי. ״לא ניתן לדעת״ היה נכון אילו לא נאמר כמה ימים עוברים — בשנה מעוברת יש $366$ . כאן המספר נתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסדרה $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, \ldots$ כל מספר $k$ מופיע $k$ פעמים ברצף. מהו האיבר ה- $50$ ?

$11$
$9$
$10$
$7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $10$

הפתרון:

1 + 2 + \cdots + 9 = 45

המספרים עד $9$ תופסים $45$ מקומות

46, \ldots, 55

המקומות של $10$

התשובה היא $10$ . $9$ מתקבל כשעוצרים בסכום $45$ ושוכחים שהמקום ה- $50$ כבר אחריו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נורה אדומה מהבהבת כל $3$ שניות, ונורה כחולה כל $4$ שניות. ברגע $0$ הן הבהבו יחד — זו הפעם הראשונה. אחרי כמה שניות מרגע $0$ יהבהבו יחד בפעם החמישית?

$48$
$35$
$36$
$60$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $48$

הפתרון:

3 \times 4 = 12

הן נפגשות כל $12$ שניות

0, 12, 24, 36, 48

הפעמים הראשונה עד החמישית

התשובה היא $48$ . $60 = 5 \times 12$ שוכח שהפעם הראשונה הייתה ברגע $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהי ספרת האחדות של $7^{1} + 7^{2} + \cdots + 7^{2026}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $6$

הפתרון:

7 + 9 + 3 + 1 = 20

כל מחזור תורם $0$ לספרת האחדות

2026 = 4 \times 506 + 2

נשארים שני מחוברים: $7^{2025}$ ו- $7^{2026}$

7 + 9 = 16

ספרת האחדות $6$

התשובה היא $6$ . $0$ מתעלם משני המחוברים שנשארים אחרי המחזורים השלמים, ו- $9$ היא ספרת האחדות של המחובר האחרון בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

הסדרה $1, -2, 3, 1, -2, 3, \ldots$ — מהו סכום $100$ האיברים הראשונים?

$69$
$66$
$64$
$67$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $67$

הפתרון:

1 - 2 + 3 = 2

סכום מחזור

100 = 3 \times 33 + 1

$33$ מחזורים ועוד איבר

33 \times 2 + 1 = 67

התשובה היא $67$ . $66$ שוכח את האיבר ה- $100$ , שפותח מחזור חדש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בכמה מהמספרים $3^{1}, 3^{2}, \ldots, 3^{100}$ ספרת האחדות היא $7$ ?

$24$
$10$
$33$
$25$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $25$

הפתרון:

3, 9, 7, 1

$7$ במקום השלישי של כל מחזור

100 = 4 \times 25

$25$ מחזורים שלמים, ובכל אחד $7$ פעם אחת

התשובה היא $25$ . $33$ מחלק ב- $3$ , כאילו המחזור באורך $3$ — אבל ספרות האחדות של $3^{n}$ חוזרות כל $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חוג נפגש כל $10$ ימים. המפגש הראשון היה ביום שני. באיזה יום יתקיים המפגש ה- $20$ ?

שני
רביעי
שלישי
שישי

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שלישי

הפתרון:

19 \times 10 = 190

בין המפגש הראשון לעשרים יש $19$ הפסקות

190 = 7 \times 27 + 1

שארית $1$

2 + 1 = 3

יום אחד אחרי שני

התשובה היא שלישי. ״שישי״ מתקבל מ- $20 \times 10 = 200$ ימים — הפסקה אחת יותר מדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$n$ הוא מספר שלם חיובי. מה נכון לגבי ספרת האחדות של $2^{n} + 3^{n}$ ?

היא לעולם אינה $5$
היא $5$ רק כש- $n$ מתחלק ב- $4$
היא $5$ לכל $n$
היא $5$ לכל $n$ אי-זוגי

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד היא $5$ לכל $n$ אי-זוגי

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 1: \ 2 + 3 \\ &= 5\end{aligned}

\begin{aligned}n &= 2: \ 4 + 9 \\ &= 13\end{aligned}

ספרה $3$

\begin{aligned}n &= 3: \ 8 + 7 \\ &= 15\end{aligned}

ספרה $5$

\begin{aligned}n &= 4: \ 6 + 1 \\ &= 7\end{aligned}

ספרה $7$ , ומשם המחזור חוזר

התשובה היא היא $5$ לכל $n$ אי-זוגי. המחזור של הסכום הוא $5, 3, 5, 7$ . מי שבודק רק $n = 1$ בוחר ״לכל $n$ ״ — ו- $n = 2$ מפיל את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev