פרק לימוד משתנה — התפלגות נורמלית (2026) · פרק לימוד משתנה — התפלגות נורמלית · מבחן כניסה לכיתה ח׳ (לתלמידי ז׳)

החלק השלישי של מבחן כיתה ח׳ בודק דבר שאף מבחן אחר לא בודק: אם אתם מסוגלים ללמוד לבד. האוניברסיטה מפרסמת חוברת קצרה על נושא שלא למדתם, ושואלת עליו. הנושא מתחלף כל שנה — השנה זו ההתפלגות הנורמלית, ובשנה שעברה היו אלה מטריצות. מה שנשאר קבוע הוא הצורה: הגדרה, דוגמה פתורה, ואז שאלות שמיישמות אותה בדיוק.

הממוצע אינו מספר שקיים

אם אורך המלפפונים הממוצע בקופסה הוא $5.5$ ס״מ, ייתכן שאף מלפפון אינו באורך הזה. הממוצע הוא נקודת אמצע מתמטית, ולא נציג. כדי לדעת איך המלפפונים באמת נראים צריך לדעת כמה הם מתפזרים סביבו — וזה בדיוק מה שהפרק הזה מוסיף.

הפעמון, ושני המספרים שבונים אותו

נתונים רבים בטבע מתפלגים בצורת פעמון: רוב הפרטים קרובים לאמצע, ומעטים בקצוות. שני מספרים מתארים את הפעמון במלואו — הממוצע $\mu$ , שהוא מרכזו, וסטיית התקן $\sigma$ , שאומרת כמה הוא רחב. סטיית תקן קטנה: פעמון צר וגבוה, רוב הפרטים צמודים לממוצע. גדולה: פעמון רחב ונמוך.

שתי כיתות, אותו ממוצע

70

$\sigma = 5$ — פעמון צר וגבוה
$\sigma = 10$ — פעמון רחב ונמוך

שני הפעמונים מתרכזים סביב

70

. בכיתה שבה

\sigma = 5

כמעט כולם בין

60

ל-

80

. בכיתה שבה

\sigma = 10

הציונים מתפזרים מ-

50

עד

90

\mu

הממוצע, מרכז הפעמון

\sigma

סטיית התקן, רוחבו

\mu \pm \sigma

כ-68 אחוז מהפרטים

\mu \pm 2\sigma

כ-95 אחוז

מפת האחוזים

החוברת נותנת גרף שמחלק את הפעמון לרצועות של חצי סטיית תקן, ובכל רצועה כתוב איזה אחוז מהאוכלוסייה נמצא בה. מהממוצע החוצה: $19\%$ , $15\%$ , $9\%$ , $5\%$ , $1.5\%$ , $0.5\%$ — בכל צד, בסימטריה. הסכום מהממוצע ימינה הוא $50\%$ , ומכאן שמעל $\mu + \sigma$ נמצאים $9 + 5 + 1.5 + 0.5 = 16\%$ .

מפת האחוזים: ממוצע

70

, סטיית תקן

10

כל עמודה היא רצועה של חצי סטיית תקן —

5

נקודות. מעל כל עמודה: איזה אחוז מהתלמידים קיבל ציון ברצועה. מימין לקו

\mu + \sigma = 80

9 + 5 + 1.5 + 0.5 = 16\%

ציוני מבחן: ממוצע $70$ , סטיית תקן $10$

איזה אחוז קיבלו יותר מ- $80$ ?

\begin{aligned}\sigma &= 10 \\ \ \frac{\sigma}{2} &= 5\end{aligned}

כל קו בגרף הוא 5 נקודות

80 = \mu + \sigma

80 נמצא סטיית תקן אחת מעל

9 + 5 + 1.5 + 0.5 = 16\%

כל מה שמימין לקו הזה, לפי החוברת

לפני שמחשבים אחוזים, כתבו את הציונים האמיתיים מתחת לקווי הגרף — $70$ , $75$ , $80$ , $85$ ... — ורק אז ספרו. רוב הטעויות בפרק הזה הן טעויות של קו אחד, לא של חשבון.

ציון תקן $Z$ — כמה סטיות תקן מהממוצע

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

המרחק מהממוצע, ביחידות של סטיית תקן

$Z$ עונה על השאלה ״איפה אני על הפעמון״. $Z = 0$ הוא הממוצע בדיוק; $Z$ חיובי מעל הממוצע, שלילי מתחתיו; וככל ש- $|Z|$ גדול יותר, הנתון חריג יותר. אותה נוסחה עובדת בשלושה כיוונים — מוצאים $Z$ מ- $X$ , או $X$ מ- $Z$ , או אפילו $\mu$ או $\sigma$ כשהם הנעלמים.

פעילות אינטראקטיבית

יונתן קיבל $64$ . הממוצע $70$ , וסטיית התקן $10$ . מהו ציון התקן שלו?

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

לחצו «להתחיל». שתי שאלות: כמה רחוק מהממוצע, ובאיזה כיוון — ואז מתרגמים לסטיות תקן.

הנתונים

\begin{aligned}X &= 64 \\ \quad \mu &= 70 \\ \quad \sigma &= 10\end{aligned}

$X$ הוא הציון של יונתן.

המרחק

\begin{aligned}X - \mu &= 64 - 70 \\ &= -6\end{aligned}

$6$ נקודות מתחת לממוצע. המינוס שומר את הכיוון.

ביחידות σ

\begin{aligned}Z &= \frac{-6}{10} \\ &= -0.6\end{aligned}

כל סטיית תקן היא $10$ נקודות. $6$ נקודות הן $0.6$ ממנה.

בדיקת היגיון

70 - 0.6 \cdot 10 = 64 \ \checkmark

$Z$ שלילי, והציון קטן מהממוצע — מתאים. ובחזרה מ- $Z$ לציון מקבלים שוב $64$ .

$Z = -0.6$ : יונתן בין הממוצע לקו $\mu - \sigma$ — ברצועה של $15\%$ , קרוב לממוצע.

לעשות את הפעילות ב-elev

המלכודת: להפוך את הסדר בחיסור.

Z = \frac{\mu - X}{\sigma}

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

ערך קטן מהממוצע חייב לתת Z שלילי — אם יצא פלוס, הפכתם

Z = X - \mu

\div \sigma

בלי החלוקה, Z אינו ביחידות של סטיית תקן

השאלה ההפוכה

״ $16\%$ מהמשפחות צורכות פחות מ- $7$ חפיסות בחודש, וסטיית התקן היא $2.4$ . מהו הממוצע?״ כאן נתון האחוז, ומחפשים את המקום. סופרים מהקצה השמאלי עד $16\%$ ומגיעים לקו $\mu - \sigma$ ; לכן $7 = \mu - 2.4$ , ו- $\mu = 9.4$ . אותה נוסחה, נעלם אחר.

פעילות אינטראקטיבית

$16\%$ מהמשפחות צורכות פחות מ- $7$ חפיסות בחודש. סטיית התקן $2.4$ . מהו הממוצע?

\begin{aligned}16\% \ \to \ X &= 7 \ \to \ \mu \\ &= \ ?\end{aligned}

לחצו «להתחיל». הפעם נתון האחוז: קודם מוצאים על המפה את הקו, ורק אחר כך את המספר.

מהקצה השמאלי

0.5 + 1.5 + 5 + 9 = 16

סופרים רצועות מהקצה השמאלי של הפעמון עד שמגיעים ל- $16\%$ .

הקו

7 = \mu - \sigma

ארבע רצועות של חצי סטיית תקן מהקצה — זה הקו $\mu - \sigma$ . שם עומד $7$ .

הצבה

7 = \mu - 2.4

מציבים את סטיית התקן.

הממוצע

\begin{aligned}\mu &= 7 + 2.4 \\ &= 9.4\end{aligned}

הממוצע $9.4$ חפיסות.

בדיקת היגיון

\begin{aligned}Z &= \frac{7 - 9.4}{2.4} \\ &= -1 \ \checkmark\end{aligned}

מיעוט ( $16\%$ ) נמצא מתחת ל- $7$ , ולכן הממוצע חייב להיות מעל $7$ . ואכן.

אותה נוסחה, נעלם אחר: מהאחוז לקו, מהקו ל- $Z = -1$ , ומ- $Z$ לממוצע.

לעשות את הפעילות ב-elev

ממוצע $90$ , ו- $7\%$ מהערכים גדולים מ- $108$ . מהי סטיית התקן?

להציג את התשובה והפתרון

$12$ . $7\%$ מימין הוא הקו $\mu + 1.5\sigma$ , ולכן $108 - 90 = 1.5\sigma$ , כלומר $\sigma = 12$ . בדיקה: צעד וחצי של $12$ מ- $90$ מגיע ל- $108$ .

בדיקת היגיון בסוף כל סעיף. אם רק מיעוט נמצא מתחת לערך מסוים, הממוצע חייב להיות מעליו. אם $Z$ יצא שלילי, הערך חייב להיות קטן מהממוצע. שתי בדיקות של שנייה שתופסות כמעט כל היפוך.

הערה על הפרק הזה. הוא נכתב על פי חוברת ההכנה של שנת $2026$ . הנושא מתחלף כל שנה — בשנה שהמבחן לדוגמה נכתב היו אלה פעולות על מטריצות — ולכן יש לבדוק באתר התוכנית מהו הנושא של השנה שבה נבחנים, ולהוריד את החוברת העדכנית. מה שהפרק הזה מלמד באמת הוא איך ללמוד פרק כזה: הגדרה, דוגמה, שאלה, ובדיקת היגיון.