סדרה 3 — אם… אז

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עשר שאלות בפורמט המבחן. הפעילו שעון: שתים עשרה דקות, בלי מחשבון. תשובה שגויה אינה מורידה ניקוד — אם אינכם בטוחים, סמנו את מה שנראה לכם הגיוני והמשיכו.

תרגילים

תרגיל 1

המשפט ״אם מספר שלם מסתיים בספרה 55, הוא מתחלק ב-55״ נכון. איזה מהמשפטים הבאים אינו נכון?

  1. אם מספר שלם אינו מתחלק ב-55, הוא אינו מסתיים בספרה 55
  2. אם מספר שלם מתחלק ב-55, הוא מסתיים בספרה 55
  3. אם מספר שלם מסתיים בספרה 55, הוא אי-זוגי
  4. אם מספר שלם מסתיים בספרה 00, הוא מתחלק ב-55
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אם מספר שלם מתחלק ב-55, הוא מסתיים בספרה 55

הפתרון:

1010

דוגמה נגדית להפוך: מתחלק ב-55, ומסתיים ב-00

Q‾⇒P‾\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}

המשפט השני הוא ההפוך-שלילי — נכון

התשובה היא אם מספר שלם מתחלק ב-55, הוא מסתיים בספרה 55 — זה ההפוך, ו-1010 מפיל אותו. המשפט השני הוא ההפוך-שלילי של הנתון, ולכן נכון כמוהו. שני האחרונים נכונים מסיבות אחרות, ואין להם קשר לכיוון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזה מהמספרים הבאים הוא דוגמה נגדית למשפט ״אם nn אי-זוגי, אז n2−1n^{2} - 1 מתחלק ב-1616״?

  1. 77
  2. 33
  3. 44
  4. 99
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 33

הפתרון:

32−1=83^{2} - 1 = 8

אי-זוגי, ו-88 אינו מתחלק ב-1616 — דוגמה נגדית

72−1=48=3×16\begin{aligned}7^{2} - 1 &= 48 \\ &= 3 \times 16\end{aligned}

מקיים את המשפט

92−1=80=5×16\begin{aligned}9^{2} - 1 &= 80 \\ &= 5 \times 16\end{aligned}

מקיים את המשפט

44

זוגי — התנאי לא קרה, ולכן אינו יכול להפיל את המשפט

התשובה היא 33. דוגמה נגדית חייבת לקיים את התנאי (אי-זוגי) ולהפר את המסקנה: 32−1=83^{2} - 1 = 8. 44 מפתה, כי 42−1=154^{2} - 1 = 15 באמת אינו מתחלק ב-1616 — אבל 44 זוגי, והמשפט לא הבטיח עליו דבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

על כל כרטיס יש מספר בצד אחד וצורה בצד השני. הכלל: ״אם בצד אחד אין עיגול, בצד השני מספר אי-זוגי.״ על השולחן: 66, 99, עיגול, משולש. אילו כרטיסים חייבים להפוך כדי לבדוק את הכלל?

  1. 99 והמשולש
  2. 66 והמשולש
  3. 66 והעיגול
  4. המשולש בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 66 והמשולש

הפתרון:

P=◯‾P = \overline{\bigcirc}

התנאי: אין עיגול. המסקנה: מספר אי-זוגי

△\triangle

מראה PP (אין עיגול) — אם מאחוריו מספר זוגי, הכלל מופר

66

מראה ״לא QQ״ (זוגי) — אם מאחוריו אין עיגול, הכלל מופר

התשובה היא 66 והמשולש. התנאי כאן הוא ״אין עיגול״, והמסקנה ״אי-זוגי״. בודקים את מה שמראה את התנאי — המשולש — ואת מה שמראה את שלילת המסקנה — 66. 99 מקיים את המסקנה ולכן אינו יכול להפר את הכלל, גם אם מאחוריו משולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ביער המכושף כל חיה שמזמרת — מעופפת. אף חיה מעופפת אינה ישנה ביום. הגומגום ישן ביום. מה נכון בוודאות?

  1. הגומגום מעופף, אבל אינו מזמר
  2. הגומגום אינו מזמר
  3. לא ניתן לדעת אם הגומגום מזמר
  4. הגומגום מזמר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הגומגום אינו מזמר

הפתרון:

D⇒F‾D \Rightarrow \overline{F}

ישן ביום — ולכן אינו מעופף

F‾⇒S‾\overline{F} \Rightarrow \overline{S}

אינו מעופף — ולכן אינו מזמר

התשובה היא הגומגום אינו מזמר. הולכים אחורה: הוא ישן ביום, ולכן אינו מעופף; הוא אינו מעופף, ולכן אינו מזמר. ״מעופף, אבל אינו מזמר״ שוכחת את החוליה הראשונה: חיה שישנה ביום אינה מעופפת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

איזה משפט שקול ל״אם האוטובוס לא יאחר, נגיע בזמן״?

  1. נגיע בזמן רק אם האוטובוס לא יאחר
  2. אם האוטובוס יאחר, לא נגיע בזמן
  3. אם נגיע בזמן, סימן שהאוטובוס לא איחר
  4. אם לא נגיע בזמן, סימן שהאוטובוס איחר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד אם לא נגיע בזמן, סימן שהאוטובוס איחר

הפתרון:

L‾⇒T\overline{L} \Rightarrow T

המשפט

T‾⇒L\overline{T} \Rightarrow L

ההפוך-שלילי: שוללים ומחליפים — והשלילה של ״לא יאחר״ היא ״יאחר״

התשובה היא אם לא נגיע בזמן, סימן שהאוטובוס איחר. זה ההפוך-שלילי: שוללים את שני החלקים ומחליפים את הסדר. כשהתנאי עצמו כבר שלילי, שלילתו מבטלת את ה״לא״. ״נגיע בזמן רק אם האוטובוס לא יאחר״ נשמעת קרובה, אבל היא ״אם נגיע בזמן — לא איחר״: ההפוך, שאינו שקול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המשפט ״אם x>3x > 3, אז x2>9x^{2} > 9״ נכון. יונתן טוען: ״ולכן גם: אם x2>9x^{2} > 9, אז x>3x > 3.״ מה נכון?

  1. יונתן טועה: x=4x = 4 היא דוגמה נגדית לטענה שלו
  2. יונתן טועה: x=−4x = -4 היא דוגמה נגדית לטענה שלו
  3. יונתן טועה: x=2x = 2 היא דוגמה נגדית לטענה שלו
  4. יונתן צודק: זה ההפוך-שלילי של המשפט הנתון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יונתן טועה: x=−4x = -4 היא דוגמה נגדית לטענה שלו

הפתרון:

(−4)2=16>9(-4)^{2} = 16 > 9

התנאי של יונתן קרה

−4<3-4 < 3

והמסקנה שלו לא — דוגמה נגדית

22=42^{2} = 4

ב-x=2x = 2 התנאי של יונתן לא קרה, ולכן אין כאן הפרה

התשובה היא יונתן טועה: x=−4x = -4 היא דוגמה נגדית לטענה שלו. יונתן כתב את ההפוך, לא את ההפוך-שלילי. x=4x = 4 מקיים את טענתו, ו-x=2x = 2 אינו מקיים את התנאי שלה — ולכן אף אחד מהם אינו דוגמה נגדית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ידוע: אם דנה במועדון, גם עדי שם. אם עדי במועדון, יובל אינו שם. אם יובל אינו במועדון, מאיה שם. מאיה אינה במועדון. מי מהארבעה נמצא במועדון?

  1. לא ניתן לדעת על אף אחד מהם
  2. יובל בלבד
  3. יובל ומאיה
  4. עדי ויובל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב יובל בלבד

הפתרון:

M‾⇒Y\overline{M} \Rightarrow Y

מאיה אינה שם — ולכן יובל שם

Y⇒A‾Y \Rightarrow \overline{A}

יובל שם — ולכן עדי אינה שם

A‾⇒D‾\overline{A} \Rightarrow \overline{D}

עדי אינה שם — ולכן דנה אינה שם

התשובה היא יובל בלבד. השרשרת נקראת אחורה מסופה: מאיה אינה שם, ולכן יובל שם, ולכן עדי אינה שם, ולכן דנה אינה שם. ״לא ניתן לדעת״ היא הטעות של מי שמנסה ללכת קדימה מדנה — עליה לא נתון דבר ישירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מהי השלילה של המשפט ״אם מספר הוא ראשוני, הוא אי-זוגי״?

  1. יש מספר ראשוני שהוא זוגי
  2. יש מספר אי-זוגי שאינו ראשוני
  3. אם מספר הוא זוגי, הוא ראשוני
  4. כל מספר ראשוני הוא זוגי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א יש מספר ראשוני שהוא זוגי

הפתרון:

P⇒QP \Rightarrow Q

המשפט מדבר על כל מספר ראשוני

P✓, Q×P \checkmark, \ Q \times

השלילה: יש מספר אחד שהוא ראשוני ואינו אי-זוגי

22

ואכן, המשפט שקרי: 22 ראשוני וזוגי

התשובה היא יש מספר ראשוני שהוא זוגי. ״אם מספר ראשוני…״ הוא משפט על כל הראשוניים, ושלילתו היא דוגמה נגדית אחת. ״כל מספר ראשוני הוא זוגי״ חזקה מדי — והיא שקרית, בעוד שהשלילה האמיתית נכונה: 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בתחרות קיבלו ארבעה משתתפים ציונים: רון 9595 וקיבל פרס; טל 8585 וקיבלה פרס; גיל 9292 וקיבל פרס; נוי 7070 ולא קיבלה פרס. איזה מהכללים הבאים מופר?

  1. מקבלים פרס רק אם הציון מעל 9090
  2. אם לא קיבלת פרס, הציון שלך מתחת ל-8080
  3. אם הציון מתחת ל-8080, לא מקבלים פרס
  4. אם הציון מעל 9090, מקבלים פרס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקבלים פרס רק אם הציון מעל 9090

הפתרון:

P⇒G90P \Rightarrow G_{90}

״פרס רק אם מעל 9090״ — אם קיבל פרס, הציון מעל 9090

8585

טל קיבלה פרס עם 8585 — הפרה

7070

נוי: ציון מתחת ל-8080 ובלי פרס — מתאים לשני הכללים האחרונים

התשובה היא מקבלים פרס רק אם הציון מעל 9090. ״רק אם״ שם את הציון בתפקיד המסקנה, וטל — עם פרס וציון 8585 — מפרה אותו. הכלל ״אם הציון מעל 9090, מקבלים פרס״ נשמע כמו אותו כלל, אבל כל מי שקיבל מעל 9090 אכן קיבל פרס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המורה אמרה לשלושה תלמידים: ״אם כולכם תגישו את העבודה, אף אחד מכם לא ייענש.״ המורה עמדה בדבריה, ודני — אחד השלושה — נענש. מה נובע בהכרח?

  1. אף אחד מהשלושה לא הגיש את העבודה
  2. דני לא הגיש את העבודה
  3. לא כל השלושה הגישו את העבודה
  4. שני התלמידים האחרים הגישו, ורק דני לא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא כל השלושה הגישו את העבודה

הפתרון:

Q‾\overline{Q}

מישהו נענש — ״אף אחד לא ייענש״ שקרי

Q‾⇒P‾\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}

ולכן ״כולם הגישו״ שקרי: לא כולם הגישו

התשובה היא לא כל השלושה הגישו את העבודה. ההפוך-שלילי אומר רק שהתנאי ״כולם הגישו״ לא קרה — כלומר לפחות אחד לא הגיש. ״דני לא הגיש״ מפתה, אבל ייתכן שדני הגיש וחבר אחר לא; המורה לא הבטיחה שמי שהגיש לא ייענש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת