התחלקות ב-9

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בכלל של 3 חיברנו את כל הספרות.

ל-9 יש כלל כמעט זהה: שוב מחברים את כל הספרות, ובודקים אם הסכום מתחלק ב-9.

הכלל של 9

מחברים את כל ספרות המספר. אם הסכום מתחלק ב-9 — גם המספר מתחלק ב-9. ואם לא — גם המספר לא.

7+2+9=18    ⟹    729:9=81\begin{aligned}7 + 2 + 9 &= 18 \;\;\Longrightarrow\;\; 729 : 9 \\ &= 81\end{aligned}

האם 4,518 מתחלק ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

כן. 4+5+1+8=184 + 5 + 1 + 8 = 18, ו-18 מתחלק ב-9. ואכן 4518:9=5024518 : 9 = 502.

למה זה עובד? 9, 99, 999

הסוד: 9, 99 ו-999 מתחלקים כולם ב-9.

לכן כל עשרת היא 9 ועוד 1, וכל מאה היא 99 ועוד 1. שברו את 423 וראו מה נשאר.

ומכיוון ש-9, 99 ו-999 מתחלקים גם ב-3, אותו הסבר בדיוק עובד גם בכלל של 3. זו הסיבה ששני הכללים נראים כמו אחים.

9 ו-3

9⇒39 \Rightarrow 3

מספר שמתחלק ב-9 מתחלק תמיד גם ב-3, כי 9=3×39 = 3 \times 3. למשל 45:3=1545 : 3 = 15.

3⇏93 \not\Rightarrow 9

ההפך לא נכון: 12 מתחלק ב-3 (סכום הספרות 3), אבל אינו מתחלק ב-9.

סכום הספרות של מספר הוא 21. האם הוא מתחלק ב-3? ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

ב-3 כן, ב-9 לא. 21 מתחלק ב-3 (21=3×721 = 3 \times 7), אבל 21 אינו מתחלק ב-9.

הטעויות של הכלל של 9.

19:919 : 9
1+9=101 + 9 = 10

19 מסתיים ב-9, ובכל זאת אינו מתחלק ב-9: סכום הספרות 10. בכלל של 9 הספרה האחרונה לא אומרת כלום.

3⇒93 \Rightarrow 9
9⇒39 \Rightarrow 3

33 מתחלק ב-3, אבל סכום ספרותיו 6 — ולכן הוא אינו מתחלק ב-9. הכיוון עובד רק מ-9 אל 3.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

האם 5,184 מתחלק ב-9?

  1. לא
  2. אי אפשר לדעת בלי לחלק
  3. כן
  4. רק ב-3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כן

הפתרון:

5+1+8+4=185 + 1 + 8 + 4 = 18

מחברים את כל הספרות

18:9=218 : 9 = 2

הסכום מתחלק ב-9

הספרה האחרונה (4) לא קובעת כאן — רק סכום כל הספרות. ואכן 5184:9=5765184 : 9 = 576.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מהו סכום הספרות של 6,354?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

6+3+5+4=186 + 3 + 5 + 4 = 18

18 מתחלק ב-9 — ולכן גם 6,354 מתחלק ב-9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

המספר 2,007 מתחלק ב-9.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

2+0+0+7=92 + 0 + 0 + 7 = 9

האפסים לא מוסיפים לסכום

הסכום 9 מתחלק ב-9: 2007:9=2232007 : 9 = 223. אפסים באמצע לא משנים את הסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איזה מהמספרים מתחלק ב-9?

  1. 447
  2. 441
  3. 442
  4. 444
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 441

הפתרון:

4+4+1=94 + 4 + 1 = 9

רק לו הסכום 9

441:9=49441 : 9 = 49

הסכומים של האחרים: 10, 12, 15 — אף אחד מהם לא מתחלק ב-9. שימו לב: 444 ו-447 מתחלקים ב-3, אבל לא ב-9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המספר 49 מסתיים ב-9, ולכן הוא מתחלק ב-9.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

4+9=134 + 9 = 13

הסכום אינו מתחלק ב-9

הספרה האחרונה לא אומרת כלום על 9 — 49=7×749 = 7 \times 7.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה מהמספרים 18, 27, 38, 45 מתחלקים ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

1+8=92+7=94+5=9\begin{aligned}1 + 8 &= 9 \quad 2 + 7 \\ &= 9 \quad 4 + 5 \\ &= 9\end{aligned}

שלושה סכומים של 9

3+8=113 + 8 = 11

38 לא

38 הוא המלכודת: הוא נראה קרוב ל-36, אבל סכום ספרותיו 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מיינו: מתחלק ב-9 או לא?

  • מתחלק ב-9
  • לא מתחלק ב-9
  • 1,000
  • 135
  • 333
  • 529
  • 81
  • 94
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81 — מתחלק ב-9 · 94 — לא מתחלק ב-9 · 135 — מתחלק ב-9 · 1,000 — לא מתחלק ב-9 · 333 — מתחלק ב-9 · 529 — לא מתחלק ב-9

הפתרון:

8+1=91+3+5=93+3+3=9\begin{aligned}8 + 1 &= 9 \quad 1 + 3 + 5 \\ &= 9 \quad 3 + 3 + 3 \\ &= 9\end{aligned}

מתחלקים

9+4=131+0+0+0=15+2+9=16\begin{aligned}9 + 4 &= 13 \quad 1 + 0 + 0 + 0 \\ &= 1 \quad 5 + 2 + 9 \\ &= 16\end{aligned}

לא מתחלקים

1,000 הוא מספר עגול, אבל סכום ספרותיו 1 — ולכן נשארת שארית 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התאימו לכל מספר את סכום הספרות שלו

  • 918
  • 405
  • 7,992
  • 86
  • 14
  • 18
  • 27
  • 9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 918 — 18 · 405 — 9 · 7,992 — 27 · 86 — 14

הפתרון:

9+1+8=189 + 1 + 8 = 18
7+9+9+2=277 + 9 + 9 + 2 = 27

שלושה מהם מתחלקים ב-9 (סכומים 18, 9, 27). רק 86 לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

השלימו

סכום הספרות של 2,736 הוא ____. הסכום חלקי 9 שווה ____, ולכן 2,736 מתחלק ב-9.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: סכום הספרות של 2,736 הוא 18. הסכום חלקי 9 שווה 2, ולכן 2,736 מתחלק ב-9.

הפתרון:

2+7+3+6=182 + 7 + 3 + 6 = 18
18:9=218 : 9 = 2

ואכן 2736:9=3042736 : 9 = 304.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

סכום הספרות של מספר הוא 27. במה הוא מתחלק בוודאות?

  1. ב-27
  2. ב-3 בלבד
  3. ב-9 בלבד
  4. ב-9 וגם ב-3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ב-9 וגם ב-3

הפתרון:

27=9×327 = 9 \times 3

הסכום מתחלק ב-9

9⇒39 \Rightarrow 3

ומה שמתחלק ב-9 מתחלק גם ב-3

«ב-27» היא המלכודת: הכלל אומר רק מה קורה עם 9 ו-3. למשל 1,899 — סכום ספרותיו 27, והוא אינו מתחלק ב-27.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מהו המספר הקטן ביותר בן שלוש ספרות שמתחלק ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

100 : 1+0+0=1100 \ : \ 1 + 0 + 0 = 1

לא

108 : 1+0+8=9108 \ : \ 1 + 0 + 8 = 9

הראשון שסכומו 9

מ-100 צריך להוסיף 8 כדי שהסכום יגיע ל-9. 108=9×12108 = 9 \times 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 12

איזו ספרה צריך לכתוב במקום □\square כדי ש-4□74\square7 יתחלק ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

4+7=114 + 7 = 11

הסכום בלי הספרה החסרה

11+7=1811 + 7 = 18

הסכום הבא שמתחלק ב-9

רק 7 מתאימה: 477:9=53477 : 9 = 53. הסכום 9 כבר מאחורינו, ו-27 רחוק מדי לספרה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

המספר 3,114 — במה הוא מתחלק, מבין 2, 3, 9?

  1. רק ב-2
  2. ב-2, ב-3 וב-9
  3. רק ב-3
  4. ב-3 וב-9 בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ב-2, ב-3 וב-9

הפתרון:

…4\ldots 4

זוגי — מתחלק ב-2

3+1+1+4=93 + 1 + 1 + 4 = 9

מתחלק ב-9, ולכן גם ב-3

שלושתם. מי שבחר «ב-3 וב-9 בלבד» שכח לבדוק את הספרה האחרונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

כל מספר שמתחלק ב-3 מתחלק גם ב-9.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

1+5=61 + 5 = 6

15 מתחלק ב-3

6≠9,18,…6 \ne 9, 18, \ldots

אבל לא ב-9

15 מתחלק ב-3 ואינו מתחלק ב-9. הכיוון הנכון הוא ההפך: מ-9 אל 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

כל מספר שמתחלק ב-9 מתחלק גם ב-3.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

9=3×39 = 3 \times 3

אם המספר הוא כמה פעמים 9, הוא גם כמה פעמים 3 — פי שלושה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

תמר בדקה אם 4,617 מתחלק ב-9. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

4+6+1+7=174 + 6 + 1 + 7 = 17
18:9=218 : 9 = 2
4617:9=5134617 : 9 = 513
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4+6+1+7=174 + 6 + 1 + 7 = 17 → 4+6+1+7=184 + 6 + 1 + 7 = 18

הפתרון:

4+6+1+7=184 + 6 + 1 + 7 = 18

החיבור הנכון

טעות חיבור קטנה הייתה משנה את כל התשובה: 17 אינו מתחלק ב-9, 18 כן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

בספריית בית הספר 1,233 ספרים. מסדרים אותם שווה בשווה על 9 מדפים. כמה ספרים יהיו על כל מדף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 137

הפתרון:

1+2+3+3=91 + 2 + 3 + 3 = 9

מתחלק ב-9 — לא יישאר ספר

1233:9=1371233 : 9 = 137

הכלל אומר רק שאפשר לחלק בלי שארית. את התוצאה עצמה עדיין מחשבים בחילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

סדרו את ההסבר: למה 612 מתחלק ב-9?

  • 6+1+2=96 + 1 + 2 = 9
  • 612:9=68612 : 9 = 68
  • 612=6×100+1×10+2612 = 6 \times 100 + 1 \times 10 + 2
  • 612=6×99+1×9+6+1+2612 = 6 \times 99 + 1 \times 9 + 6 + 1 + 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 612=6×100+1×10+2612 = 6 \times 100 + 1 \times 10 + 2 · 612=6×99+1×9+6+1+2612 = 6 \times 99 + 1 \times 9 + 6 + 1 + 2 · 6+1+2=96 + 1 + 2 = 9 · 612:9=68612 : 9 = 68

הפתרון:

6×99+1×96 \times 99 + 1 \times 9

החלק הזה מתחלק ב-9 בכל מקרה

6+1+2=96 + 1 + 2 = 9

ומה שנשאר הוא סכום הספרות

קודם מפרקים לפי המקומות, אחר כך מפרידים 99 ו-9, ורק בסוף בודקים את סכום הספרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

מה השארית כשמחלקים 100 ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

100=99+1100 = 99 + 1
99=9×1199 = 9 \times 11

כל מאה משאירה 1 — זה כל הסוד של הכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

מה השארית כשמחלקים 5,000 ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

5000=5×999+55000 = 5 \times 999 + 5

כל אלף משאיר 1

5+0+0+0=55 + 0 + 0 + 0 = 5

וזה גם סכום הספרות

חמישה אלפים — חמש שאריות של 1. השארית היא סכום הספרות, 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

כל המספרים מתחלקים ב-3. מיינו אותם:

  • מתחלק גם ב-9
  • מתחלק ב-3 אבל לא ב-9
  • 111
  • 126
  • 2,019
  • 42
  • 7,002
  • 72
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72 — מתחלק גם ב-9 · 42 — מתחלק ב-3 אבל לא ב-9 · 126 — מתחלק גם ב-9 · 111 — מתחלק ב-3 אבל לא ב-9 · 2,019 — מתחלק ב-3 אבל לא ב-9 · 7,002 — מתחלק גם ב-9

הפתרון:

7+2=91+2+6=97+0+0+2=9\begin{aligned}7 + 2 &= 9 \quad 1 + 2 + 6 \\ &= 9 \quad 7 + 0 + 0 + 2 \\ &= 9\end{aligned}

מתחלקים ב-9

4+2=61+1+1=32+0+1+9=12\begin{aligned}4 + 2 &= 6 \quad 1 + 1 + 1 \\ &= 3 \quad 2 + 0 + 1 + 9 \\ &= 12\end{aligned}

רק ב-3

סכום של 3, 6 או 12 מספיק ל-3 ולא ל-9. צריך 9, 18, 27...

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

איזה מספר מתחלק ב-3 אבל אינו מתחלק ב-9?

  1. 51
  2. 54
  3. 99
  4. 81
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 51

הפתרון:

5+1=65 + 1 = 6

מתחלק ב-3, לא ב-9

הסכומים של 54, 81 ו-99 הם 9, 9 ו-18 — שלושתם מתחלקים ב-9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 23

כמה ספרות שונות אפשר לכתוב במקום □\square כדי ש-5□45\square4 יתחלק ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

5+4=95 + 4 = 9

כבר עכשיו הסכום 9

9+0=99+9=18\begin{aligned}9 + 0 &= 9 \quad 9 + 9 \\ &= 18\end{aligned}

הספרה 0 או הספרה 9

שתי אפשרויות: 504 ו-594. מי שעצר אחרי הראשונה שכח שגם 18 מתחלק ב-9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

מהו המספר הגדול ביותר בן שלוש ספרות שמתחלק ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 999

הפתרון:

9+9+9=279 + 9 + 9 = 27

999 עצמו — 999=9×111999 = 9 \times 111.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

המספר 2□42\square4 מתחלק גם ב-2 וגם ב-9. איזו ספרה במקום □\square?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

…4\ldots 4

זוגי בכל מקרה

2+4=66+3=9\begin{aligned}2 + 4 &= 6 \quad 6 + 3 \\ &= 9\end{aligned}

חסר 3 כדי להגיע ל-9

234. הזוגיות כבר מובטחת בזכות ה-4 — כל העבודה היא בסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

מספר שמתחלק ב-2 וגם ב-9 מתחלק גם ב-18.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

18=2×918 = 2 \times 9
36:18=254:18=3\begin{aligned}36 : 18 &= 2 \quad 54 : 18 \\ &= 3\end{aligned}

דוגמאות

בדיוק כמו 6 = 2 × 3: ל-2 ול-9 אין גורם משותף, ולכן שני התנאים יחד נותנים 18.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

סכום הספרות של מספר הוא 36. מה נכון?

  1. הוא מתחלק ב-9
  2. אי אפשר לדעת בלי לחלק
  3. הוא אינו מתחלק ב-9
  4. הוא מתחלק ב-9 רק אם הוא זוגי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הוא מתחלק ב-9

הפתרון:

36=9×436 = 9 \times 4

הסכום מתחלק ב-9

הזוגיות לא משנה דבר לגבי 9. סכום שמתחלק ב-9 מספיק תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

בשקית יותר מ-100 ופחות מ-120 סוכריות. אפשר לחלק אותן שווה בשווה בין 9 ילדים, וגם בין 2 ילדים, בלי שארית. כמה סוכריות בשקית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

2 , 9⇒182 \ , \ 9 \Rightarrow 18

מתחלק ב-18

18×6=10818 \times 6 = 108

הכפולה היחידה של 18 בטווח

99 מתחלק ב-9 אבל אינו זוגי, ו-126 כבר מעל 120.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

יונתן בדק את 8,109. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

8+1+0+9=188 + 1 + 0 + 9 = 18
18:9=218 : 9 = 2
8109:9=918109 : 9 = 91
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8109:9=918109 : 9 = 91 → 8109:9=9018109 : 9 = 901

הפתרון:

9×901=81099 \times 901 = 8109

בדיקה בכפל

הבדיקה בכלל הייתה נכונה — הטעות בחילוק: שכח את ה-0 באמצע המנה. 9×91=8199 \times 91 = 819.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

השלימו

כשמחלקים 4,000 ב-9 השארית היא ____, וכשמחלקים 4,003 ב-9 השארית היא ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כשמחלקים 4,000 ב-9 השארית היא 4, וכשמחלקים 4,003 ב-9 השארית היא 7.

הפתרון:

4000=4×999+44000 = 4 \times 999 + 4

ארבעה אלפים — ארבע שאריות של 1

4+0+0+3=74 + 0 + 0 + 3 = 7

השארית בחילוק ב-9 שווה לשארית של סכום הספרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

איזו טענה נכונה?

  1. אם סכום הספרות מתחלק ב-3, המספר מתחלק ב-9
  2. אם המספר מסתיים ב-9, הוא מתחלק ב-9
  3. אם המספר מתחלק ב-9, סכום ספרותיו מתחלק ב-3
  4. אם המספר מתחלק ב-3, הוא מתחלק ב-9
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אם המספר מתחלק ב-9, סכום ספרותיו מתחלק ב-3

הפתרון:

9⇒39 \Rightarrow 3

הכיוון היחיד שתמיד עובד: מ-9 אל 3. דוגמאות נגד לאחרות: 12 (סכום 3), 19 (מסתיים ב-9), 15 (מתחלק ב-3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

כמה מספרים בין 1 ל-100 מתחלקים ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

9,18,27,…,999 , 18 , 27 , \ldots , 99
99:9=1199 : 9 = 11

מ-9 עד 99 — אחת עשרה כפולות. 100 כבר לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

רחל כותבת את הספרה 4 שוב ושוב: 4, 44, 444... כמה ספרות 4 צריך לכתוב לפחות כדי שהמספר יתחלק ב-9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

4+4+…+4=4×9=36\begin{aligned}4 + 4 + \ldots + 4 &= 4 \times 9 \\ &= 36\end{aligned}

תשע ארבעות

36:9=436 : 9 = 4

הסכום הוא 4, 8, 12... — הוא מתחלק ב-9 לראשונה כשיש תשע ספרות. 36 לבד, כמו 444,444,444.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 34

צבעו בלוח את כל המספרים שמתחלקים ב-9. איזה ציור יוצא?

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

9,18,27,…,909, 18, 27, \ldots, 90

קפיצות של 9

אלכסון אחד: 18, 27, 36… בכל אחד סכום הספרות 9. ספרת העשרות עולה ב-1 וספרת היחידות יורדת ב-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

השלימו את הטבלה

המספרמתחלק ב-3?מתחלק ב-9?
333________
4,005________
1,818________
77________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 333: כן, כן · 4,005: כן, כן · 1,818: כן, כן · 77: לא, לא

הפתרון:

333→3 ✓ 9 ✓333 \rightarrow 3\,\checkmark \ 9\,\checkmark
4005→3 ✓ 9 ✓4005 \rightarrow 3\,\checkmark \ 9\,\checkmark
1818→3 ✓ 9 ✓1818 \rightarrow 3\,\checkmark \ 9\,\checkmark
77→3 × 9 ×77 \rightarrow 3\,\times \ 9\,\times

סכומי הספרות: 9, 9, 18, 14. כל ✓ ב-9 מביא גם ✓ ב-3 — אבל לא להפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת