חזקות · כפל וחילוק במאונך · כיתה ד׳

נזכר: כפל הוא חיבור חוזר. במקום $4 + 4 + 4$ כותבים $3 \times 4$ .

גם לכפל חוזר יש כתיב מקוצר — חזקה.

בסיס ומעריך

\begin{aligned}5^3 &= 5 \times 5 \times 5 \\ &= 125\end{aligned}

5

הבסיס — המספר שכופלים בעצמו.

3

המעריך — המספר הקטן למעלה: כמה פעמים כופלים.

ב- $7^2$ — מהו הבסיס, מהו המעריך, וכמה זה?

להציג את התשובה והפתרון

הבסיס 7, המעריך 2: $7 \times 7 = 49$ .

כשהמעריך הוא 1, וכשהבסיס הוא 1

כמה זה $45^1$ ? וכמה זה $1^{45}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$45^1 = 45$ (פעם אחת בלבד) ו- $1^{45} = 1$ (אחד כפול עצמו נשאר אחד).

שתי הטעויות של ה-1.

1^5 = 5

1^5 = 1

הבסיס הוא 1: $1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1$ .

8^1 = 1

8^1 = 8

המעריך 1 אומר «פעם אחת» — המספר עצמו.

מותר להחליף בין הבסיס למעריך?

בחיבור ובכפל מותר להחליף סדר: $4 + 3 = 3 + 4$ ו- $4 \times 3 = 3 \times 4$ . ובחזקה?

מה גדול יותר: $3^2$ או $2^3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$3^2$ . $3^2 = 9$ ו- $2^3 = 8$ . כדי להשוות חזקות — מחשבים כל אחת.

חזקה 2: שטח של ריבוע

מהו השטח של ריבוע שצלעו 7 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

49 סמ״ר. $7^2 = 7 \times 7 = 49$ .

חזקה 3: נפח של קובייה

מהו הנפח של קובייה שכל מקצוע שלה 2 ס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

8 סמ״ק. $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ .

חזקות של 10

כמה זה $10^5$ ?

להציג את התשובה והפתרון

100,000 — 1 ואחריו חמישה אפסים.

הטעות של העשר.

10^3 = 30

10^3 = 1{,}000

זה לא $10 \times 3$ . שלוש פעמים 10, כלומר שלושה אפסים.

תרגילים

סדרה א — קל

תרגיל 1

כמה זה $4^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16

הפתרון:

4 \times 4 = 16

פעמיים 4 בכפל — לא $4 \times 2 = 8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה זה $2^3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

2 \times 2 \times 2 = 8

שלוש פעמים 2 — לא $2 \times 3 = 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ב- $5^3$ , מהו המעריך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 3

הפתרון:

5^3 = 5 \times 5 \times 5

המעריך הוא המספר הקטן למעלה — הוא סופר כמה פעמים כופלים את הבסיס 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ב- $7^4$ , מהו הבסיס?

4
2,401
7
28

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 7

הפתרון:

7^4 = 7 \times 7 \times 7 \times 7

הבסיס הוא המספר שכופלים — 7. ו-2,401 הוא הערך של החזקה כולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה זה $1^6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 \times 1 = 1

הבסיס 1 — התוצאה תמיד 1. לא 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כמה זה $9^1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

9^1 = 9

מעריך 1: פעם אחת בלבד — המספר עצמו. לא 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התאימו כל תרגיל לכתיב המקוצר שלו

$3 \times 3 \times 3 \times 3$
$4 \times 4 \times 4$
$3 + 3 + 3 + 3$
$4 + 4 + 4$

$3 \times 4$
$3^4$
$4 \times 3$
$4^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3 \times 3 \times 3 \times 3$ — $3^4$ · $4 \times 4 \times 4$ — $4^3$ · $3 + 3 + 3 + 3$ — $4 \times 3$ · $4 + 4 + 4$ — $3 \times 4$

הפתרון:

3 + 3 + 3 + 3 = 4 \times 3

חיבור חוזר נכתב ככפל; כפל חוזר נכתב כחזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$5^2 = 5 \times 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}5^2 &= 5 \times 5 \\ &= 25\end{aligned}

5 \times 2 = 10

המעריך סופר כמה פעמים כופלים — הוא לא מספר שכופלים בו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

כתבו כחזקה

$6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6$ בחזקת ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6$ בחזקת 5

הפתרון:

6^5

סופרים את הגורמים: חמש פעמים 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה זה $10^2$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

10 \times 10 = 100

המעריך 2 — שני אפסים. לא 20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

כמה זה $3^3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

3 \times 3 = 9

9 \times 3 = 27

כופלים צעד אחרי צעד: 3, 9, 27.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

אפשר לכתוב ככפל, או כחזקה?

ככפל (חיבור חוזר)
כחזקה (כפל חוזר)

$2 \times 2 \times 2 \times 2$
$2 + 2 + 2 + 2$
$5 \times 5$
$5 + 5$
$7 \times 7 \times 7$
$7 + 7 + 7$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $7 + 7 + 7$ — ככפל (חיבור חוזר) · $7 \times 7 \times 7$ — כחזקה (כפל חוזר) · $2 \times 2 \times 2 \times 2$ — כחזקה (כפל חוזר) · $2 + 2 + 2 + 2$ — ככפל (חיבור חוזר) · $5 \times 5$ — כחזקה (כפל חוזר) · $5 + 5$ — ככפל (חיבור חוזר)

הפתרון:

7 + 7 + 7 = 3 \times 7

7 \times 7 \times 7 = 7^3

מסתכלים על הפעולה שחוזרת: חיבור חוזר — כפל; כפל חוזר — חזקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ב — בינוני

תרגיל 13

כמה זה $2^6$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

2, 4, 8, 16, 32, 64

מכפילים ב-2 שש פעמים. לא 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

כמה זה $6^3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 216

הפתרון:

6 \times 6 = 36

36 \times 6 = 216

שלוש פעמים 6, לא $6 \times 3 = 18$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מה גדול יותר: $2^5$ או $5^2$ ?

אי אפשר לדעת בלי לחשב
$2^5$
$5^2$
הם שווים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $2^5$

הפתרון:

2^5 = 32

5^2 = 25

מחשבים את שתיהן: $32 > 25$ . ומכאן גם ש- $2^5 \neq 5^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

$3^4 = 4^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

3^4 = 81

4^3 = 64

בחזקה אסור להחליף בין הבסיס למעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

כמה זה $1^{100}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

1 \times 1 \times \cdots \times 1 = 1

גם מאה פעמים אחד — נשאר אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

כמה זה $100^1$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 100

הפתרון:

100^1 = 100

מעריך 1 — המספר עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

סדרו מהקטן לגדול

$2^3$
$2^4$
$3^2$
$3^3$
$5^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2^3$ · $3^2$ · $2^4$ · $5^2$ · $3^3$

הפתרון:

8 < 9 < 16 < 25 < 27

מחשבים כל חזקה, ורק אז משווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

כמה אפסים יש ב- $10^6$ כשכותבים אותו כמספר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

10^6 = 1{,}000{,}000

המעריך אומר כמה אפסים יש אחרי ה-1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

כמה זה $10^4$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10000

הפתרון:

10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10{,}000

ארבעה אפסים — עשרת אלפים. לא 40.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

3^1 = 3

3^2 = 9

3^3 = 9

3^4 = 81

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3^3 = 9$ → $3^3 = 27$

הפתרון:

\begin{aligned}3^3 &= 3 \times 3 \times 3 \\ &= 27\end{aligned}

כל שורה היא הקודמת כפול 3: 3, 9, 27, 81.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

ריבוע שצלעו 6 ס״מ. מהו שטחו בסמ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}6^2 &= 6 \times 6 \\ &= 36\end{aligned}

שטח ריבוע הוא הצלע בחזקת 2. לא $6 \times 2 = 12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

קובייה שאורך כל מקצוע שלה 4 ס״מ. מהו הנפח שלה בסמ״ק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

\begin{aligned}4^3 &= 4 \times 4 \times 4 \\ &= 64\end{aligned}

נפח קובייה הוא המקצוע בחזקת 3. לא $4 \times 3 = 12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה ג — מאתגר

תרגיל 25

כמה זה $2^{10}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1024

הפתרון:

2^5 = 32

32 \times 32 = 1{,}024

אפשר לחשב $2^5$ ואז לכפול בעצמו: עשר פעמים 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

איזו חזקה שווה ל-64?

$8^2$
$2^6$
כל שלוש החזקות
$4^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כל שלוש החזקות

הפתרון:

2^6 = 64

4^3 = 64

8^2 = 64

אותו מספר יכול להיכתב כחזקה בכמה דרכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

$10^3 > 3^{10}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

10^3 = 1{,}000

3^{10} = 59{,}049

מעריך גדול מגדיל מהר מאוד — אסור להחליף בסיס ומעריך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

איזה מספר חסר? $\square^3 = 125$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

5 \times 5 \times 5 = 125

מחפשים מספר שכפול עצמו שלוש פעמים נותן 125.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

איזה מעריך חסר? $2^{\square} = 32$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2, 4, 8, 16, 32

סופרים כמה פעמים הכפלנו ב-2 עד 32 — חמש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

כמה אפסים יש בתוצאה של $10^2 \times 10^3$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

100 \times 1{,}000 = 100{,}000

שני אפסים ועוד שלושה אפסים — חמישה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

חשבו: $2^5 - 5^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

32 - 25 = 7

קודם מחשבים כל חזקה, ורק אז מחסרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

חשבו: $3^2 + 4^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

9 + 16 = 25

לא $(3 + 4) \times 2$ : כל חזקה לחוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

קטן מ-100 או גדול מ-100?

קטן מ-100
גדול מ-100

$2^6$
$2^7$
$3^4$
$3^5$
$4^3$
$5^3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2^6$ — קטן מ-100 · $2^7$ — גדול מ-100 · $5^3$ — גדול מ-100 · $4^3$ — קטן מ-100 · $3^4$ — קטן מ-100 · $3^5$ — גדול מ-100

הפתרון:

2^7 = 128

3^4 = 81

מחשבים ומשווים: 64, 128, 125, 64, 81, 243.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

בבניין 5 קומות. בכל קומה 5 דירות, ובכל דירה 5 חלונות. כמה חלונות בבניין?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 125

הפתרון:

\begin{aligned}5 \times 5 \times 5 &= 5^3 \\ &= 125\end{aligned}

אותו מספר חוזר בכל שלב — זו חזקה. לא $5 \times 3 = 15$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

גינה בצורת ריבוע שצלעו 9 מטרים. מהו שטחה במ״ר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81

הפתרון:

\begin{aligned}9^2 &= 9 \times 9 \\ &= 81\end{aligned}

שטח ריבוע — הצלע בחזקת 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 36

סדרו מהקטן לגדול

$1^9$
$10^2$
$2^4$
$3^3$
$9^1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $1^9$ · $9^1$ · $2^4$ · $3^3$ · $10^2$

הפתרון:

1 < 9 < 16 < 27 < 100

$1^9$ הוא 1 בלבד — למרות ה-9. ו- $9^1$ הוא 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

סדרה א — קל

תרגיל 37

השלימו: מהו הבסיס, מהו המעריך, וכמה זה?

החזקה	הבסיס	המעריך	הערך
$2^5$	____	____	____
$5^2$	____	____	____
$10^4$	____	____	____
$1^6$	____	____	____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2^5$ : 2, 5, 32 · $5^2$ : 5, 2, 25 · $10^4$ : 10, 4, 10000 · $1^6$ : 1, 6, 1

הפתרון:

\begin{aligned}2^5 &= 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \\ &= 32\end{aligned}

\begin{aligned}5^2 &= 5 \times 5 \\ &= 25\end{aligned}

10^4 = 10{,}000

ארבעה אפסים

1^6 = 1

אחד כפול עצמו נשאר אחד

הבסיס הוא המספר הגדול, המעריך הקטן למעלה. $2^5$ ו- $5^2$ — אותם מספרים, ערכים שונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 38

חשבו $2^5$ וסמנו את התוצאה על הישר.

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2

חמש פעמים 2

= 32

מי שכופל $2 \times 5$ מסמן 10 — רחוק מ-32.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 39

בנו בנקודות את $3^2$ : ריבוע של 3 שורות, ובכל שורה 3.

3 \times 3

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

\begin{aligned}3^2 &= 3 \times 3 \\ &= 9\end{aligned}

3 שורות של 3

החזקה 2 בונה ריבוע — ולכן קוראים ל- $3^2$ «3 בריבוע». לא $3 \times 2 = 6$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

בסיס ומעריך

כשהמעריך הוא 1, וכשהבסיס הוא 1

מותר להחליף בין הבסיס למעריך?

חזקה 2: שטח של ריבוע

חזקה 3: נפח של קובייה

חזקות של 10

תרגילים

סדרה א — קל

סדרה ב — בינוני

סדרה ג — מאתגר

סדרה א — קל

השיעור הבא מחכה ב-elev