הכלל, האיבר הרחוק, והמספר האורח

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

על כל סדרה אפשר לשאול כמה שאלות, מהקלה לקשה:

11

מה האיבר הבא?

22

מה האיבר העשירי?

33

האם המספר 100 שייך לסדרה בכלל?

44

ואם כן — באיזה מקום הוא?

נלמד את כולן על אותה סדרה.

שאלה 1 — האיבר הבא

הקלה מכולן: מוצאים את הקפיצה בין שני שכנים, ובודקים אותה בזוג נוסף.

ואז מוסיפים אותה לאיבר האחרון: 64+8=7264 + 8 = 72 — זה האיבר התשיעי.

ואם רוצים את האיבר ה-12 בדרך הזו — כמה פעמים צריך להוסיף 8 אחרי 64?

להציג את התשובה והפתרון

ארבע פעמים (72, 80, 88, 9672,\ 80,\ 88,\ 96). זה עוד עובד — אבל לאיבר ה-100 זה כבר ייקח הרבה זמן. בשביל זה יש את שאלה 2.

שאלה 2 — האיבר הרחוק

מה האיבר ה-12? לא צריך לכתוב שנים-עשר מספרים.

עד האיבר ה-12 יש 11 קפיצות — הראשון ניתן בחינם. וכל קפיצה שווה 8.

האיבר = ההתחלה + (המקום פחות 1) × הקפיצה

ובסדרה שמתחילה בדיוק בגודל הקפיצה — כמו כאן, מתחילים ב-8 וקופצים 8 — יש קיצור נוסף: האיבר ה-12 הוא פשוט 12×812 \times 8. זה לוח הכפל!

הטעות של הגדר.

8+12×8=1048 + 12 \times 8 = 104
8+11×8=968 + 11 \times 8 = 96

גדר עם 12 עמודים יש בה רק 11 רווחים. גם בסדרה: 12 איברים, 11 קפיצות.

בסדרה 200, 190, 180, …200,\ 190,\ 180,\ \ldots — מהו האיבר העשירי?

להציג את התשובה והפתרון

תשע קפיצות של מינוס 10: 9×10=909 \times 10 = 90, ואז 200−90=110200 - 90 = 110. האיבר העשירי הוא 110.

שאלה 3 — המספר האורח

האם 100 שייך לסדרה 8, 16, 24, …8,\ 16,\ 24,\ \ldots? כל איברי הסדרה הם תוצאות בלוח הכפל של 8.

אז השאלה האמיתית היא: האם 100 מתחלק ב-8 בלי שארית?

והאם 104 שייך לסדרה?

להציג את התשובה והפתרון

כן! 104:8=13104 : 8 = 13 בדיוק, בלי שארית. הוא האיבר ה-13. הסדרה מדלגת מ-96 ישר ל-104 — ו-100 נשאר בחוץ.

הטעות של המספר האורח.

100∈8,16,24,…100 \in 8, 16, 24, \ldots
100:8=12 (4)100 : 8 = 12 \ (4)

מספר «עגול ויפה» עוד לא אומר שהוא בסדרה. רק החילוק מכריע — שארית אפס פירושה שייך, כל שארית אחרת פירושה בחוץ.

שאלה 4 — באיזה מקום?

עכשיו השאלה הפוכה: המספר 75 נמצא בסדרה 5, 12, 19, 26, …5,\ 12,\ 19,\ 26,\ \ldots — באיזה מקום?

כאן הסדרה לא מתחילה בגודל הקפיצה, אז לוח הכפל לבד לא עוזר. עושים את הדרך אחורה:

והאם 80 נמצא באותה סדרה, 5, 12, 19, …5,\ 12,\ 19,\ \ldots?

להציג את התשובה והפתרון

לא. 80−5=7580 - 5 = 75, ואז 75:7=1075 : 7 = 10 עם שארית 5. הסדרה קופצת מ-75 ל-82 — מעל 80.

ארבע השאלות, ואיך עונים על כל אחת:

11

הבא — מוסיפים קפיצה.

22

הרחוק — (מקום פחות 1) כפול קפיצה, ועוד ההתחלה.

33

שייך? — מחסרים את ההתחלה ובודקים אם מתחלק בקפיצה.

44

באיזה מקום? — אותו חילוק, ועוד 1.

תרגילים

תרגיל 1

בסדרה 6, 12, 18, ... — מהו האיבר העשירי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

10×6=6010 \times 6 = 60

הסדרה מתחילה בגודל הקפיצה — זה לוח הכפל של 6

האיבר העשירי בלוח הכפל הוא פשוט המספר כפול 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסדרה 5, 12, 19, 26, ... — מהו האיבר התשיעי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 61

הפתרון:

12−5=712 - 5 = 7

גודל הקפיצה

8×7=568 \times 7 = 56

שמונה קפיצות עד האיבר התשיעי

5+56=615 + 56 = 61

ועוד ההתחלה

כאן ההתחלה (5) שונה מהקפיצה (7) — אז אין קיצור, עובדים לפי הנוסחה המלאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

האם המספר 75 שייך לסדרה 9, 18, 27, ...?

  1. כן — הוא האיבר השמיני
  2. כן — כל מספר עגול שייך
  3. לא — 75 אינו מתחלק ב-9
  4. אי אפשר לדעת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא — 75 אינו מתחלק ב-9

הפתרון:

75:9=8 (3)75 : 9 = 8 \ (3)

שארית 3

72, 8172,\ 81

הסדרה קופצת מ-72 ל-81 — מעל 75

אפשר גם עם סימן ההתחלקות ב-9: 7+5=127+5=12, ו-12 אינו מתחלק ב-9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסדרה 200, 175, 150, ... — מהו האיבר השישי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75

הפתרון:

200−175=25200 - 175 = 25

קפיצה של 25 — כלפי מטה

5×25=1255 \times 25 = 125

חמש קפיצות

200−125=75200 - 125 = 75

סדרה יורדת — מחסרים

בדיקה: 200, 175, 150, 125, 100, 75.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

המספר 84 הוא איבר בסדרה 7, 14, 21, ... — באיזה מקום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

84:7=1284 : 7 = 12

מתחלק בדיוק

בסדרת לוח הכפל, החילוק נותן ישר את מספר המקום: 84 הוא האיבר ה-12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

סדרה: 4, 9, 14, 19, … מהו הכלל? כתבו את גודל הקפיצה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

9−4=59 - 4 = 5

ההפרש בין שכנים

ובודקים על עוד זוג: 14 - 9 = 5. קפיצה אחת לא מספיקה להוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

באותה סדרה — מהו האיבר השישי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29

הפתרון:

19+5=2419 + 5 = 24

החמישי

24+5=2924 + 5 = 29

השישי

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרה: 80, 73, 66, 59, … מהו האיבר הבא?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 52

הפתרון:

80−73=780 - 73 = 7

הקפיצה — למטה

59−7=5259 - 7 = 52

סדרה יכולה גם לרדת — הכלל הוא «פחות 7».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרה בקפיצות של 6 שמתחילה ב-3. מהו האיבר העשירי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 57

הפתרון:

10−1=910 - 1 = 9

תשע קפיצות מהאיבר הראשון

3+9×6=573 + 9 \times 6 = 57

לאיבר העשירי מגיעים אחרי תשע קפיצות, לא עשר — הראשון כבר עומד במקומו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בסדרה 2, 6, 10, 14, 17, 22 — מיהו המספר האורח?

  1. 14
  2. 17
  3. 6
  4. 22
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 17

הפתרון:

+4,+4,+4+4 , +4 , +4

הכלל

14+4=18≠1714 + 4 = 18 \neq 17

והוא שובר אותו

בודקים כל קפיצה — האורח הוא זה שאחריו הקפיצות מסתדרות שוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

3172113154+4+4+4…?20

בסדרה 3, 7, 11, 15, ... — מהו האיבר ה-20?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 79

הפתרון:

20−1=1920 - 1 = 19

מספר הקפיצות

19×4=7619 \times 4 = 76
3+76=793 + 76 = 79

לא כותבים עשרים מספרים — קפיצה אחת גדולה של 19×419 \times 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בסדרה 5, 12, 19, 26, ... — באיזה מקום נמצא המספר 75?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

75−5=7075 - 5 = 70

הדרך מהאיבר הראשון

70:7=1070 : 7 = 10

עשר קפיצות

10+1=1110 + 1 = 11

ועוד האיבר הראשון

מי שעונה 10 שכח את האיבר הראשון — עשר קפיצות מביאות למקום ה-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

המספר 200 שייך לסדרה 6, 12, 18, …6,\ 12,\ 18,\ \ldots

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

200:6=33 (2)200 : 6 = 33 \ (2)

שארית 2

33×6=198  34×6=204\begin{aligned}33 \times 6 &= 198 \ \\ \ 34 \times 6 &= 204\end{aligned}

הסדרה מדלגת מעליו

200 זוגי ועגול — אבל זה לא מספיק. רק חילוק בלי שארית אומר «שייך».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

איזה מספר שייך לסדרה 4, 9, 14, 19, …4,\ 9,\ 14,\ 19,\ \ldots?

  1. 64
  2. 86
  3. 52
  4. 71
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 64

הפתרון:

64−4=6064 - 4 = 60

מחסרים את ההתחלה

60:5=1260 : 5 = 12

מתחלק בדיוק — שייך

קיצור: כל האיברים מסתיימים ב-4 או ב-9, כי הקפיצה היא 5. רק 64 מתאים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בסדרה 500, 488, 476, ... — מהו האיבר ה-15?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 332

הפתרון:

500−488=12500 - 488 = 12

הסדרה יורדת ב-12

15−1=1415 - 1 = 14

ארבע-עשרה קפיצות

14×12=16814 \times 12 = 168
500−168=332500 - 168 = 332

בסדרה יורדת — מחסרים

אותה דרך כמו בסדרה עולה, רק שבסוף מחסרים מההתחלה במקום להוסיף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

כמה איברים יש בסדרה 10, 15, 20, …, 10010,\ 15,\ 20,\ \ldots,\ 100?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

100−10=90100 - 10 = 90

כל הדרך

90:5=1890 : 5 = 18

שמונה-עשרה קפיצות

18+1=1918 + 1 = 19

ועוד האיבר הראשון

זו שוב הגדר: 18 רווחים — 19 עמודים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

בסדרה 7, 14, 21, ... — מהו האיבר הראשון שגדול מ-200?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 203

הפתרון:

200:7=28 (4)200 : 7 = 28 \ (4)

28 קפיצות לא מספיקות

28×7=19628 \times 7 = 196

עדיין קטן מ-200

29×7=20329 \times 7 = 203

הראשון מעל 200

לא עוצרים ב-196 — צריך איבר גדול מ-200.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

בסדרה עם קפיצה קבועה, האיבר הראשון הוא 6 והאיבר החמישי הוא 30. מהי הקפיצה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

5−1=45 - 1 = 4

ארבע קפיצות

30−6=2430 - 6 = 24

כל הדרך

24:4=624 : 4 = 6

בדיקה: 6, 12, 18, 24, 30.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

דנה חישבה את האיבר העשירי בסדרה 5, 9, 13, ... — שורה אחת שגויה

9−5=49 - 5 = 4
10×4=4010 \times 4 = 40
5+40=455 + 40 = 45
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10×4=4010 \times 4 = 40 → 9×4=369 \times 4 = 36

הפתרון:

5+36=415 + 36 = 41

האיבר העשירי הנכון

לאיבר העשירי יש תשע קפיצות. הטעות של הגדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

חוג הציור נפגש פעם בשבוע. המפגש הראשון היה ב-3 בחודש. באיזה תאריך יהיה המפגש החמישי (באותו חודש)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31

הפתרון:

5−1=45 - 1 = 4

ארבעה שבועות אחרי הראשון

4×7=284 \times 7 = 28
3+28=313 + 28 = 31

פעם בשבוע היא קפיצה של 7 ימים: 3, 10, 17, 24, 31.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

התאימו כל שאלה לדרך שעונה עליה (הסדרה: 6, 11, 16, ...)

  • מהו האיבר הבא?
  • מהו האיבר העשירי?
  • האם 60 שייך?
  • באיזה מקום 56?
  • 50:550 : 5, ועוד 1
  • בודקים אם 54 מתחלק ב-5
  • מוסיפים 5 ל-16
  • מוסיפים ל-6 תשע קפיצות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מהו האיבר הבא? — מוסיפים 5 ל-16 · מהו האיבר העשירי? — מוסיפים ל-6 תשע קפיצות · האם 60 שייך? — בודקים אם 54 מתחלק ב-5 · באיזה מקום 56? — 50:550 : 5, ועוד 1

הפתרון:

56−6=5056 - 6 = 50

מורידים את ההתחלה

50:5=10  10+1=11\begin{aligned}50 : 5 &= 10 \ \\ \ 10 + 1 &= 11\end{aligned}

56 הוא האיבר ה-11

שלוש השאלות האחרונות מתחילות באותו צעד: מורידים את ההתחלה (6), ורק אז עובדים עם הקפיצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

השלימו את הטבלה של הסדרה 8, 16, 24, …8,\ 16,\ 24,\ \ldots

מקוםאיבר
188
21616
32424
10____
12____
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10: 80 · 12: 96

הפתרון:

8+9×8=808 + 9 \times 8 = 80

לאיבר ה-10: תשע קפיצות

8+11×8=968 + 11 \times 8 = 96

לאיבר ה-12: אחת-עשרה קפיצות

הסדרה מתחילה בגודל הקפיצה, אז זה גם לוח הכפל: 10×8=8010 \times 8 = 80, 12×8=9612 \times 8 = 96.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

סמנו על הישר את האיבר ה-10 של הסדרה 5, 12, 19, …5,\ 12,\ 19,\ \ldots

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

10−1=910 - 1 = 9

מספר הקפיצות

9×7=639 \times 7 = 63

כל הקפיצות ביחד

5+63=685 + 63 = 68

האיבר העשירי

תשע קפיצות, לא עשר: 5+10×7=755 + 10 \times 7 = 75 הוא האיבר ה-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

צבעו בלוח את כל איברי הסדרה 8, 16, 24, …8,\ 16,\ 24,\ \ldots עד 100.

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

96+8=10496 + 8 = 104

אחרי 96 הסדרה קופצת מעל 100

הצבועים הם לוח הכפל של 8. המספר 100 לא נצבע: 100:8=12100 : 8 = 12 ושארית 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

הצפרדע 🐸 קופצת בסדרה 0, 7, 14, …0,\ 7,\ 14,\ \ldots עזרו לה להגיע בדיוק ל-84.

להציג את התשובה והפתרון

הפתרון:

84:7=1284 : 7 = 12

שתים-עשרה קפיצות

ולכן 84 הוא האיבר ה-12 של הסדרה 7, 14, 21, …7,\ 14,\ 21,\ \ldots

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

אילו מספרים שייכים לסדרה 5, 12, 19, …5,\ 12,\ 19,\ \ldots?

  • שייך
  • לא שייך
  • 3333
  • 4040
  • 5050
  • 6161
  • 7070
  • 8282
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3333 — שייך · 4040 — שייך · 5050 — לא שייך · 6161 — שייך · 7070 — לא שייך · 8282 — שייך

הפתרון:

33−5=28 28:7=4\begin{aligned}33 - 5 &= 28 \\ \ 28 : 7 &= 4\end{aligned}

שייך

50−5=45 45=6×7+3\begin{aligned}50 - 5 &= 45 \\ \ 45 &= 6 \times 7 + 3\end{aligned}

שארית 3 — לא שייך

82−5=77 77:7=11\begin{aligned}82 - 5 &= 77 \\ \ 77 : 7 &= 11\end{aligned}

שייך

מחסרים קודם את ההתחלה, 5, ורק אז מחלקים ב-7. 70 מתחלק ב-7 — אבל 65 לא, ולכן 70 בחוץ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

השלימו

המספר 5656 נמצא בסדרה 6, 11, 16, …6,\ 11,\ 16,\ \ldots במקום ה-____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המספר 5656 נמצא בסדרה 6, 11, 16, …6,\ 11,\ 16,\ \ldots במקום ה-11

הפתרון:

56−6=5056 - 6 = 50

מורידים את ההתחלה

50:5=1050 : 5 = 10

עשר קפיצות

10+1=1110 + 1 = 11

ועוד האיבר הראשון

עשר קפיצות הן האיבר ה-11, לא העשירי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת