העתקות סימטריות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

למדנו שקו סימטריה נבדק בקיפול.

עכשיו נספור כמה קווים יש לכל צורה — ונגלה סימטריה מסוג אחר לגמרי.

כמה קווים לכל צורה

שימו לב לדפוס: ככל שיש יותר צלעות שוות, יש יותר קווי סימטריה.

למשולש שווה שוקיים שתי צלעות שוות וקו אחד. לשווה צלעות שלוש — וקו לכל אחת. ולמעגל «אינסוף צלעות» ואינסוף קווים.

סימטריה סיבובית

זו סימטריה מסוג אחר: מסובבים את הצורה פחות מסיבוב שלם, והיא נראית בדיוק כמו קודם.

אין כאן שום קיפול — רק סיבוב.

ואלה שתי תכונות נפרדות.

ללב יש קו סימטריה, אבל אין סימטריה סיבובית — סובבו אותו ותקבלו לב הפוך. ולשבשבת יש סיבובית, בלי אף קו.

לפרפר יש קו סימטריה אחד. יש לו סימטריה סיבובית?

להציג את התשובה והפתרון

לא. סובבו פרפר בחצי סיבוב והכנפיים יהיו למטה. קיפול — כן; סיבוב — לא.

דרגת הסימטרייה הסיבובית

כמה פעמים הצורה מתלכדת עם עצמה בסיבוב שלם אחד? המספר הזה נקרא דרגת הסימטרייה הסיבובית.

ריבוע מתלכד 4 פעמים — דרגה 4. פרח עם שלושה עלים זהים — דרגה 3. ועיגול? מתלכד בכל זווית — אינסוף.

מהי דרגת הסימטרייה הסיבובית של מלבן?

להציג את התשובה והפתרון

2. חצי סיבוב מחזיר אותו, ועוד חצי — שתי התלכדויות בסיבוב שלם.

טבלת המשולשים והמרובעים — לדעת בעל פה

שתי הפתעות לזכור: במלבן האלכסונים אינם קווי סימטרייה.

ולמקבילית אין אף קו — אבל דרגה 2: חצי סיבוב סביב מפגש האלכסונים מחזיר אותה לעצמה.

איך בודקים סימטרייה סיבובית בלי להסתובב בעצמכם? מניחים דף שקוף על הצורה, מעתיקים, ומסובבים את השקף. בכל פעם שהציור שעל השקף מתלכד עם הצורה — עוד נקודה לדרגה.

הבלבול בין שני הסוגים.

למלבן 4 קווי סימטריה\text{למלבן 4 קווי סימטריה}
למלבן 2\text{למלבן 2}

האלכסון אינו קו סימטריה במלבן — הקיפול לא מתכסה.

יש קו סימטריה⇒יש סימטריה סיבובית\text{יש קו סימטריה} \Rightarrow \text{יש סימטריה סיבובית}
שתי תכונות נפרדות\text{שתי תכונות נפרדות}

ללב יש קו ואין סיבוב. אין קשר הכרחי בין השתיים.

תרגילים

תרגיל 1

כמה קווי סימטריה יש למלבן שאינו ריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

1+11 + 1

האנכי והאופקי

האלכסון לא מקפל נכון — הצלע הארוכה לא נופלת על הקצרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה קווי סימטריה יש לריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2+22 + 2

שני ישרים ושני אלכסונים

בריבוע כל הצלעות שוות — ולכן גם האלכסון עובד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה קווי סימטריה יש למשולש שווה שוקיים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

11

הגובה לבסיס

ובמשולש שווה צלעות — שלושה, אחד מכל קודקוד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בכמה מעלות צריך לסובב ריבוע כדי שייראה אותו דבר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

90°90°

רבע סיבוב

זו סימטריה סיבובית — שונה מקו סימטריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ללב יש קו סימטריה. יש לו גם סימטריה סיבובית?

  1. תלוי בגודל
  2. כן, 180 מעלות
  3. כן, 90 מעלות
  4. לא
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא

הפתרון:

180°→לב הפוך180° \rightarrow \text{לב הפוך}

לא חוזר לעצמו

שתי תכונות נפרדות — קיפול כן, סיבוב לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מה הקשר בין מספר הצלעות השוות למספר קווי הסימטריה?

  1. יותר צלעות שוות — יותר קווים
  2. יותר צלעות שוות — פחות קווים
  3. תמיד מספר זהה
  4. אין קשר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א יותר צלעות שוות — יותר קווים

הפתרון:

2→12 \rightarrow 1

שווה שוקיים

3→33 \rightarrow 3

שווה צלעות

∞→∞\infty \rightarrow \infty

מעגל

הסימטריה נובעת מהשוויון בין החלקים — זה אותו רעיון, נספר אחרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לאילו מסוגי המשולשים יש סימטרייה שיקופית?

  1. שווה־צלעות וגם שווה־שוקיים
  2. כל המשולשים
  3. רק שווה־צלעות
  4. אף משולש
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שווה־צלעות וגם שווה־שוקיים

הפתרון:

3,  1,  03,\; 1,\; 0

שווה־צלעות: 3 קווים · שווה־שוקיים: קו אחד · שונה־צלעות: כלום

קו הסימטרייה של שווה־השוקיים יורד מהקודקוד אל אמצע הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

לאיזה סוג משולש יש סימטרייה סיבובית?

  1. אף משולש
  2. שווה־צלעות ושווה־שוקיים
  3. כל המשולשים
  4. רק שווה־צלעות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד רק שווה־צלעות

הפתרון:

120∘120^\circ

שליש סיבוב מחזיר את שווה־הצלעות לעצמו — דרגה 3

שווה־שוקיים רגיל מתלכד רק אחרי סיבוב שלם — וזה לא נחשב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

איזו סימטרייה יש למקבילית?

  1. גם שיקופית וגם סיבובית
  2. סיבובית בלבד — דרגה 2
  3. שיקופית בלבד
  4. שום סימטרייה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב סיבובית בלבד — דרגה 2

הפתרון:

180∘180^\circ

חצי סיבוב סביב מפגש האלכסונים — והיא שוב היא

זו השאלה שכולם נופלים בה: נדמה שהאלכסון הוא קו קיפול, אבל קיפול לאורכו לא מכסה חצי על חצי. נסו עם דף!

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

כמה קווי סימטרייה יש לריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2+2=42 + 2 = 4

שני האלכסונים ושני קווי האמצע

ודרגת הסיבוב שלו גם היא 4 — רבע סיבוב מחזיר אותו לעצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מלבן

כמה קווי סימטרייה יש למלבן (שאינו ריבוע)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

22

רק שני קווי האמצע

האלכסונים אינם קווי סימטרייה של מלבן — קיפול לאורך אלכסון לא מכסה חצי על חצי. זו הטעות הנפוצה בפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מהי דרגת הסימטרייה הסיבובית של מגן דוד?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

360:6=60360 : 6 = 60

כל שישית סיבוב — התלכדות

שישה חודים זהים — שש התלכדויות בסיבוב שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מהי דרגת הסימטרייה הסיבובית של עיגול?

  1. 1
  2. 4
  3. אינסוף
  4. 360
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אינסוף

הפתרון:

∞\infty

אין זווית «מיוחדת» — כולן עובדות

העיגול הוא אלוף הסימטרייה: אינסוף קווי סימטרייה ואינסוף דרגות סיבוב. כל סיבוב מחזיר אותו לעצמו

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

לאיזו צורה יש סימטרייה סיבובית אך לא שיקופית?

  1. שבשבת (טחנת רוח) שכל כנפיה פונות לאותו כיוון
  2. ריבוע
  3. טרפז שווה־שוקיים
  4. משולש שווה־צלעות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א שבשבת (טחנת רוח) שכל כנפיה פונות לאותו כיוון

הפתרון:

90∘90^\circ

רבע סיבוב מתלכד — אבל בבואת מראה נראית הפוכה

הכנפיים «מסתובבות» כולן לאותו כיוון, ולכן במראה הצורה מתהפכת. סיבובית — כן, שיקופית — לא. גם המקבילית שייכת למשפחה הזאת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

לאילו מהמרובעים יש גם סימטרייה שיקופית וגם סיבובית?

  1. ריבוע ומלבן
  2. רק ריבוע
  3. כל המרובעים
  4. מקבילית וטרפז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ריבוע ומלבן

הפתרון:

4+4,    2+24+4,\;\; 2+2

ריבוע: 4 קווים ודרגה 4 · מלבן: 2 קווים ודרגה 2

המקבילית — סיבובית בלבד; הטרפז הרגיל — כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • 11
  • 22
  • 33
  • 44
  • לב, פרפר, משולש שווה שוקיים — קו אחד בלבד.
  • מלבן — האנכי והאופקי. לא האלכסונים.
  • משולש שווה צלעות — אחד מכל קודקוד.
  • ריבוע — שניים ישרים ושניים אלכסוניים.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11 — לב, פרפר, משולש שווה שוקיים — קו אחד בלבד. · 22 — מלבן — האנכי והאופקי. לא האלכסונים. · 33 — משולש שווה צלעות — אחד מכל קודקוד. · 44 — ריבוע — שניים ישרים ושניים אלכסוניים.

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

השלימו את הטבלה: כמה קווי סימטריה, ומהי דרגת הסימטריה הסיבובית?

הצורהקווי סימטריהדרגה
לב________
מלבן________
ריבוע________
עיגול________
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לב: 1, 1 · מלבן: 2, 2 · ריבוע: 4, 4 · עיגול: אינסוף, אינסוף

הפתרון:

1∣1, 2∣2, 4∣41 | 1 ,\ 2 | 2 ,\ 4 | 4

לב, מלבן, ריבוע

∞∣∞\infty | \infty

כל קוטר הוא קו, וכל סיבוב מתלכד

ללב דרגה 1: רק הסיבוב השלם מחזיר אותו — כלומר אין לו סימטריה סיבובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

יש לצורה קו סימטריה, או אין?

  • יש קו
  • אין אף קו
  • לב
  • מגן דוד
  • מקבילית
  • משולש שונה צלעות
  • ריבוע
  • שבשבת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לב — יש קו · מקבילית — אין אף קו · ריבוע — יש קו · שבשבת — אין אף קו · משולש שונה צלעות — אין אף קו · מגן דוד — יש קו

הפתרון:

שבשבת, מקבילית\text{שבשבת, מקבילית}

סיבוביות — בלי אף קו

אל תתבלבלו: למקבילית ולשבשבת יש סימטריה סיבובית, אבל אף קיפול לא מכסה אותן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

מלבן

מסובבים מלבן (שאינו ריבוע) רבע סיבוב, 90∘90^\circ. הוא מתלכד עם עצמו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

90∘→המלבן «נשכב»90^\circ \rightarrow \text{המלבן «נשכב»}

הצלע הארוכה עומדת במקום הקצרה

למלבן צריך חצי סיבוב, 180∘180^\circ. רבע סיבוב מספיק רק לריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

סדרו מהדרגה הקטנה אל הגדולה

  • לב
  • מגן דוד
  • מלבן
  • משולש שווה צלעות
  • ריבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לב · מלבן · משולש שווה צלעות · ריבוע · מגן דוד

הפתרון:

1<2<3<4<61 < 2 < 3 < 4 < 6

ללב דרגה 1 בלבד — רק הסיבוב השלם מחזיר אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

השלימו

לשבשבת עם ארבע כנפיים זהות, שכולן פונות לאותו כיוון, יש ____ קווי סימטריה, ודרגת הסימטריה הסיבובית שלה היא ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לשבשבת עם ארבע כנפיים זהות, שכולן פונות לאותו כיוון, יש 0 קווי סימטריה, ודרגת הסימטריה הסיבובית שלה היא 4

הפתרון:

0 ∣ 40 \ | \ 4

כל רבע סיבוב מתלכד — אבל במראה הכנפיים פונות לצד השני, ולכן אין קו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

בכמה מעלות, לכל הפחות, צריך לסובב מגן דוד כדי שיתלכד עם עצמו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

360:6=60360 : 6 = 60

דרגה 6

מחלקים את הסיבוב השלם בדרגה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת