עד עכשיו כל דיאגרמה תיארה קבוצה אחת. אבל כמעט כל שאלה מעניינת היא שאלת השוואה: כיתה ה1 מול כיתה ה2, בנים מול בנות, השנה מול שנה שעברה.
אפשר היה לצייר שתי דיאגרמות נפרדות — וזה בדיוק מה שלא עושים. העין לא יודעת להשוות בין שני ציורים שנמצאים במקומות שונים, ובטח לא כשהצירים שלהם אינם זהים. לכן שמים את שתי הקבוצות באותו ציור, על אותו ציר.
המקרא הוא חצי מהדיאגרמה
בדיאגרמה כפולה כל קטגוריה מקבלת שתי עמודות צמודות, בשני צבעים. המקרא — הריבוע הקטן שכתוב לידו מה כל צבע מייצג — הוא מה שהופך את הציור לקריא. דיאגרמה כפולה בלי מקרא אינה אומרת כלום.
שתי השוואות שונות, ואסור לערבב
בתוך קטגוריה — שתי העמודות הצמודות: מי בחר יותר כדורגל, בנים או בנות?
בין קטגוריות — אותו צבע בשני מקומות: איזה ענף הבנות בחרו הכי הרבה?
מי סך הכול גדול יותר?
כדי להשוות את הקבוצות ולא קטגוריה בודדת, מחברים כל צבע בנפרד.
סך כל הבנים
סך כל הבנות
בקבוצת הבנות יש יותר ילדים, למרות שהעמודה הגבוהה ביותר בדיאגרמה היא של הבנים
העמודה הגבוהה ביותר אינה מעידה מי הקבוצה הגדולה. קבוצה אחת יכולה לנצח בקטגוריה אחת בענק ולהפסיד בסכום — בדיוק כמו כאן.
באיזה ענף אין הפרש בין בנים לבנות?
להציג את התשובה והפתרון
שחייה — 5 ו-5. בדיאגרמה זה נראה מיד: שתי עמודות צמודות באותו גובה בדיוק.
איזה ענף בחרו הבנות הכי הרבה?
להציג את התשובה והפתרון
התעמלות, 9. שימו לב שזו שאלה על צבע אחד בלבד — משווים את ארבע העמודות הכחולות זו לזו, ומתעלמים לגמרי מהעמודות השנייה שבכל זוג.
הטעות שהמקרא נועד למנוע.
הכיוון תלוי בציור; הצבע לא. לפני כל תשובה — מסתכלים במקרא, לא במיקום.
לחבר את שתי העמודות זו תשובה נכונה לשאלה אחרת. « מי יותר » מחסר, « כמה בסך הכול » מחבר.
מתי הדיאגרמה הכפולה באמת עוזרת
כששתי הקבוצות נמדדו באותן קטגוריות ובאותה יחידה. שתי קבוצות בגדלים שונים — למשל כיתה של 20 מול כיתה של 30 — אי אפשר להשוות ישירות בגבהים, וצריך כלי אחר: השכיחות היחסית, והיא הנושא הבא.
תרגילים
להכיר
תרגיל 1
בכדורגל: 10 בנים ו-4 בנות. מה ההפרש?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 6
הפתרון:
«מי יותר ובכמה» הוא חיסור
שישה בנים יותר.
תרגיל 2
בכדורגל 10 בנים ו-4 בנות. כמה ילדים בסך הכול בחרו כדורגל?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 14
הפתרון:
«בסך הכול» הוא חיבור
אותם שני מספרים, פעולה אחרת — כי השאלה אחרת.
תרגיל 3
מה אומר המקרא בדיאגרמה כפולה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ג איזו קבוצה מיוצגת בכל צבע
הפתרון:
המקרא קושר כל צבע לקבוצה שלו
בלי המקרא אי אפשר לדעת איזו עמודה שייכת לאיזו קבוצה.
תרגיל 4
עמודות הבנות: 4, 8, 5 ו-9. כמה בנות בסך הכול?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 26
הפתרון:
מחברים את כל העמודות של אותו צבע
השוואה בין קבוצות דורשת סכום לכל קבוצה בנפרד.
להתאמן
תרגיל 5
הקבוצה שיש לה העמודה הגבוהה ביותר היא הקבוצה הגדולה בסך הכול
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: לא נכון
הפתרון:
לבנים העמודה הגבוהה (10), ובכל זאת הסכום שלהם קטן
שיא בקטגוריה אחת אינו סכום. צריך לחבר.
תרגיל 6
לאיזו פעולה מובילה כל שאלה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: מי בחר יותר, ובכמה? — חיסור · כמה ילדים בחרו בענף הזה? — חיבור · מה ההפרש בין הקבוצות? — חיסור · כמה ילדים בכיתה כולה? — חיבור
הפתרון:
«בכמה יותר» מחסר
«בסך הכול» מחבר
«ההפרש» ו«בכמה יותר» מחסרים. «בסך הכול» ו«כמה יחד» מחברים.
תרגיל 7
טיולים: כיתה ה1 — 18 משתתפים, כיתה ה2 — 24 משתתפים
ההפרש הוא ____ , ויחד יצאו לטיול ____ תלמידים
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: ההפרש הוא 6 , ויחד יצאו לטיול 42 תלמידים
הפתרון:
ההפרש
והסכום
שתי שאלות שונות על אותו זוג עמודות.
תרגיל 8
בקטגוריה אחת שתי העמודות שוות והסכום שלהן 10. מה גובה כל עמודה?
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: 5
הפתרון:
שתי עמודות שוות מחלקות את הסכום לשניים
כל עמודה 5.
לשחק ולבדוק
תרגיל 9
אפשר להשוות ישירות גבהים של שתי כיתות שגודלן שונה
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: לא נכון
הפתרון:
כיתה של עשרים
כיתה של שלושים — מספר גדול, חלק קטן
בכיתה גדולה יותר כל עמודה גבוהה יותר מעצם גודלה. להשוואה הוגנת צריך שכיחות יחסית.
תרגיל 10
שורה אחת שגויה — מצאו אותה
להציג את התשובה והפתרון
התשובה: →
הפתרון:
הסכום, ולא 6
החיסור נשאר נכון; הסכום הוא 14. שתי השאלות, שתי הפעולות.