ריצוף במצולעים משוכללים חופפים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

הסתכלו על רצפה של מרפסת, על מדרכה, או על קיר של אמבטיה. הן מכוסות בלי חורים ובלי חפיפות — זה נקרא ריצוף. השאלה של השיעור פשוטה: איזו צורה מתאימה לזה, ואיזו לא?

שתי מילים שצריך להכיר קודם

11

צורות חופפות — אפשר להניח אחת על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק. לא דומה, לא מעט יותר גדולה: בדיוק.

22

מצולע משוכלל — כל הצלעות שלו שוות זו לזו, וגם כל הזוויות שוות זו לזו.

שני התנאים של «משוכלל» נחוצים יחד. למעוין יש ארבע צלעות שוות והוא אינו משוכלל, כי הזוויות שלו אינן שוות. הריבוע הוא המרובע המשוכלל היחיד.

האם כל שני ריבועים הם חופפים?

להציג את התשובה והפתרון

לא. ריבוע שצלעו 2 ס״מ וריבוע שצלעו 5 ס״מ הם שניהם ריבועים, אבל אחד לא יכסה את השני. חפיפה דורשת גם אותה צורה וגם אותו גודל.

הסוד נמצא סביב נקודה אחת

כשמרצפים, נפגשות כמה אריחים סביב אותה נקודה. אם הזוויות שלהם משאירות חור — הרצפה לא שלמה. אם הן עוברות את הסיבוב — האריחים עולים זה על זה. לכן צריך בדיוק סיבוב שלם:

סכום הזוויות סביב הנקודה = 360 מעלות, לא פחות ולא יותר

עכשיו אפשר לנסח את הכלל בלי לנסות בכלל: צורה מרצפת אם 360 מתחלק בזווית שלה בלי שארית.

למה המחומש לא מרצף

הזווית של מחומש משוכלל היא 108 מעלות. נבדוק כמה מהן נכנסות בסיבוב.

108×3=324108 \times 3 = 324

שלושה מחומשים — ועדיין לא הגענו

360−324=36360 - 324 = 36

נשאר חור של 36 מעלות

108>36108 > 36

ומחומש רביעי גדול מדי בשביל החור. אין דרך לסגור — המחומש אינו מרצף

60×6=36060 \times 6 = 360

משולש שווה צלעות — שישה סביב נקודה

90×4=36090 \times 4 = 360

ריבוע — ארבעה, כמו רצפה של בית

120×3=360120 \times 3 = 360

משושה משוכלל — שלושה, כמו חלת דבש

אלה השלושה היחידים. אין מצולע משוכלל רביעי שמרצף לבדו — לא מחומש, לא משובע, ולא מתומן. ככל שהמצולע גדול יותר, הזווית שלו גדולה יותר, ו-360 מפסיק להתחלק בה.

שתי הטעויות של הפרק.

מצולע משוכלל→מרצף\text{מצולע משוכלל} \rightarrow \text{מרצף}
רק אם 360:זווית שלם\text{רק אם } 360 : \text{זווית} \ \text{שלם}

«משוכלל» לא מבטיח כלום. המחומש משוכלל לגמרי, ובכל זאת נשאר לו חור.

חופפות=דומות\text{חופפות} = \text{דומות}
חופפות=אותה צורה ואותו גודל\text{חופפות} = \text{אותה צורה ואותו גודל}

שתי צורות דומות הן אותה צורה בגודל אחר. חופפות הן אותה צורה ואותו גודל — ורק הן מכסות זו את זו.

ומה שכן אפשר בכל זאת

הכלל הקפדני הזה חל על צורה אחת בלבד, משוכללת. ברגע שמרשים יותר, נפתחות אפשרויות: אפשר לרצף בשתי צורות יחד — ריבועים ומשולשים שווי צלעות, למשל, כי 90+90+60+60+60=36090 + 90 + 60 + 60 + 60 = 360.

ועוד דבר מפתיע: כל משולש מרצף, וגם כל מרובע — גם העקומים ביותר, שאינם משוכללים בכלל. מסובבים עותק חופף חצי סיבוב, מצמידים, וממשיכים.

כמה משושים משוכללים נפגשים סביב נקודה בחלת דבש?

להציג את התשובה והפתרון

שלושה. 120×3=360120 \times 3 = 360. זו הסיבה שחלת דבש נראית כמו שהיא נראית — ולא מקרה.

תרגילים

להכיר

תרגיל 1

כמה ריבועים נפגשים סביב נקודה בריצוף?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

360:90=4360 : 90 = 4

הסיבוב חלקי הזווית

ארבעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה משולשים שווי צלעות נפגשים סביב נקודה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

360:60=6360 : 60 = 6

זווית של 60 מעלות

שישה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מה הפירוש של «שתי צורות חופפות»?

  1. יש להן אותו שטח
  2. אפשר להניח אחת על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק
  3. יש להן אותה צורה בגודל אחר
  4. יש להן אותו מספר צלעות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אפשר להניח אחת על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק

הפתרון:

חופפות=אותה צורה+אותו גודל\text{חופפות} = \text{אותה צורה} + \text{אותו גודל}

שני תנאים יחד

אותה צורה ואותו גודל. שטח שווה לבדו אינו מספיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הזווית של משושה משוכלל היא 120 מעלות. כמה משושים נכנסים בסיבוב שלם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

360:120=3360 : 120 = 3

שלוש פעמים בדיוק

שלושה — חלת דבש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

להתאמן

תרגיל 5

שלושה מחומשים משוכללים סביב נקודה. כמה מעלות נשארות עד סיבוב שלם?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

108×3=324108 \times 3 = 324

שלוש זוויות של מחומש

360−324=36360 - 324 = 36

והחור שנשאר

36 מעלות — ואין מחומש שמתאים להן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

כל מצולע משוכלל מרצף את המישור

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

360:108=3 שארית 36360 : 108 = 3 \ \text{שארית} \ 36

המחומש משוכלל — ואינו מרצף

המחומש המשוכלל הוא הנגד-דוגמה: 360 אינו מתחלק ב-108.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כל משולש — גם שאינו שווה צלעות — מרצף את המישור

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

180∘180^\circ

מסובבים עותק חופף חצי סיבוב

מקבילית\text{מקבילית}

שני המשולשים יוצרים מקבילית, והיא מרצפת תמיד

מסובבים עותק חופף חצי סיבוב ומצמידים: שני המשולשים יוצרים מקבילית, ובמקביליות אפשר לרצף תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מיינו: מי מרצף לבדו ומי לא?

  • מרצף
  • אינו מרצף
  • מחומש משוכלל
  • משולש שווה צלעות
  • משושה משוכלל
  • מתומן משוכלל
  • ריבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ריבוע — מרצף · מחומש משוכלל — אינו מרצף · משושה משוכלל — מרצף · מתומן משוכלל — אינו מרצף · משולש שווה צלעות — מרצף

הפתרון:

60×6=90×4=120×3=360\begin{aligned}60 \times 6 &= 90 \times 4 \\ &= 120 \times 3 \\ &= 360\end{aligned}

שלושת המרצפים

108, 135108, \ 135

ואלה שאינם מחלקים את 360

שלושה בדיוק מרצפים לבדם: משולש שווה צלעות, ריבוע ומשושה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הזווית של מתומן משוכלל היא 135 מעלות. כמה מעלות נשארות אחרי שני מתומנים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

135×2=270135 \times 2 = 270

שתי זוויות

360−270=90360 - 270 = 90

והחור

חור בגודל זווית ישרה שלמה — ובדיוק לשם מכניסים ריבוע, וכך נראה ריצוף מפורסם של מדרכות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לשחק ולבדוק

תרגיל 10

ריצוף מעורב של ריבועים ומשולשים שווי צלעות סביב נקודה

שני ריבועים נותנים ____ מעלות, ונשארות ____ מעלות — בדיוק שלושה משולשים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שני ריבועים נותנים 180 מעלות, ונשארות 180 מעלות — בדיוק שלושה משולשים

הפתרון:

90×2=18090 \times 2 = 180

שני ריבועים

360−180=180360 - 180 = 180

והשאר

60×3=18060 \times 3 = 180

שלושה משולשים ממלאים אותו בדיוק

ריצוף בשתי צורות — מותר, ויפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שורה אחת שגויה — מצאו אותה

360:120=3360 : 120 = 3
360:108=3360 : 108 = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 360:108=3360 : 108 = 3 → 360:108=3 שארית 36360 : 108 = 3 \ \text{שארית} \ 36

הפתרון:

360:108=3 שארית 36360 : 108 = 3 \ \text{שארית} \ 36

והשארית היא החור

108 אינו מחלק את 360. השארית היא בדיוק החור שרואים בציור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מצולע משוכלל שזוויתו 150 מעלות — האם הוא מרצף?

  1. לא, כי 360 אינו מתחלק ב-150
  2. אי אפשר לדעת בלי לדעת כמה צלעות יש לו
  3. כן, ארבעה סביב נקודה
  4. כן, שלושה סביב נקודה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא, כי 360 אינו מתחלק ב-150

הפתרון:

150×2=300150 \times 2 = 300

שניים משאירים 60

150>60150 > 60

והשלישי גדול מדי

לא מרצף. הכלל עונה בלי לספור צלעות ובלי לצייר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת