אלכסונים, סימטריה ובניית מרובעים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו ראינו מרובע ואמרנו את שמו. עכשיו נעשה את הדרך ההפוכה: נקבל תנאי ונבנה מרובע שמקיים אותו. זו הדרך שבה באמת לומדים תכונות — מי שבנה מלבן בעצמו כבר לא שוכח מה מייחד אותו.

האלכסון — הקו שחוצה את המרובע

אלכסון הוא קטע שמחבר שני קדקודים שאינם שכנים. לכל מרובע יש בדיוק שניים, והם נפגשים בתוכו. מה שמעניין הוא לא הקיום שלהם אלא ההתנהגות: האם הם שווים באורכם? האם הם מאונכים? האם כל אחד חוצה את השני לשני חלקים שווים?

11

במלבן האלכסונים שווים באורכם

22

במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה

33

בריבוע — גם וגם, כי ריבוע הוא מלבן ומעוין בבת אחת

מרובע שאלכסוניו שווים וגם מאונכים — מה שמו?

להציג את התשובה והפתרון

ריבוע. התכונה של המלבן ועוד התכונה של המעוין, יחד — וזו בדיוק ההגדרה של הריבוע.

לבנות לפי תנאי

קחו דף משבצות ועיפרון — השאלות האלה נפתרות ביד, לא בראש. לכל אחת מהן יש הרבה תשובות נכונות, וזה מה שהופך אותן למעניינות.

11

בנו מרובע שיש לו שתי זוויות ישרות. האם הוא חייב להיות מלבן?

22

בנו מרובע שיש לו שלוש זוויות קהות. האם זה בכלל אפשרי?

33

נתון קטע. השלימו אותו למקבילית — בכמה דרכים שונות אפשר?

שלוש זוויות קהות — אפשרי או לא

לא מנסים לצייר באקראי. בודקים בחשבון, כי סכום הזוויות במרובע הוא תמיד 360 מעלות.

100+100+100=300100 + 100 + 100 = 300

שלוש זוויות קהות, נניח 100 מעלות כל אחת

360−300=60360 - 300 = 60

ולרביעית נשארות 60 מעלות

60<9060 < 90

זווית חדה — ולכן המרובע קיים. שלוש קהות אפשריות, וארבע כבר לא

ארבע זוויות קהות היו נותנות יותר מ-360 מעלות, וזה בלתי אפשרי במרובע. החשבון עונה על שאלת בנייה לפני שמרימים עיפרון.

סימטריה — מה קורה כשמקפלים

קו סימטריה הוא קו שאם מקפלים לאורכו, שני החצאים מתכסים בדיוק. זה אותו רעיון של חפיפה, רק בתוך צורה אחת.

44

ריבוע — שני קווים דרך אמצעי הצלעות ושני אלכסונים

22

מלבן — רק השניים שדרך אמצעי הצלעות

11

דלתון — האלכסון הראשי בלבד

00

מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין — אף אחד

האלכסון של המלבן — הטעות הכי יפה בפרק.

אלכסון מלבן=קו סימטריה\text{אלכסון מלבן} = \text{קו סימטריה}
מלבן→2 קווים בלבד\text{מלבן} \rightarrow 2 \ \text{קווים בלבד}

מקפלים מלבן לאורך אלכסונו והחצאים לא מתכסים — הם משולשים חופפים, אבל מסובבים זה ביחס לזה. במעוין ובריבוע הקיפול הזה כן מצליח, כי כל הצלעות שוות.

למקבילית שאינה מלבן אין אף קו סימטריה. איך זה מסתדר עם זה שהיא נראית «מסודרת»?

להציג את התשובה והפתרון

היא מסודרת בסיבוב, לא בקיפול: אם מסובבים אותה חצי סיבוב סביב נקודת המפגש של האלכסונים, היא מתלבשת על עצמה. סימטריה של קיפול וסימטריה של סיבוב הן שתי תכונות שונות.

תרגילים

להכיר

תרגיל 1

כמה אלכסונים יש למרובע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

22

כל קדקוד מחובר לקדקוד אחד שאינו שכנו

שניים בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כמה קווי סימטריה יש לריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2+2=42 + 2 = 4

שניים דרך אמצעי הצלעות ושני אלכסונים

ארבעה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כמה קווי סימטריה יש למלבן שאינו ריבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

22

רק דרך אמצעי הצלעות

שניים — האלכסונים אינם קווי סימטריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באיזה מרובע האלכסונים מאונכים זה לזה?

  1. מלבן
  2. טרפז
  3. מקבילית כלשהי
  4. מעוין
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מעוין

הפתרון:

מעוין→אלכסונים מאונכים\text{מעוין} \rightarrow \text{אלכסונים מאונכים}

וגם הריבוע, שהוא מעוין מיוחד

במעוין — וגם בריבוע, שהוא מעוין מיוחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

להתאמן

תרגיל 5

במרובע שלוש זוויות של 100 מעלות. מהי הרביעית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

100×3=300100 \times 3 = 300

שלוש הזוויות

360−300=60360 - 300 = 60

והשלמה ל-360

60 מעלות — זווית חדה, והמרובע קיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

אפשר לבנות מרובע שכל ארבע זוויותיו קהות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

4×91=364>3604 \times 91 = 364 > 360

כבר בקהות הקטנות ביותר עוברים את הסכום

סכום הזוויות במרובע הוא 360 בדיוק — ארבע קהות לא נכנסות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

למקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין אין אף קו סימטריה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

00

אין אף קו קיפול

180∘180^\circ

אבל יש סימטריה של חצי סיבוב

נכון. יש לה סימטריה של סיבוב בחצי סיבוב, אבל לא של קיפול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התאימו כל מרובע למספר קווי הסימטריה שלו

  • ריבוע
  • מלבן
  • דלתון
  • מקבילית
  • 2 קווים
  • 4 קווים
  • אף קו
  • קו אחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ריבוע — 4 קווים · מלבן — 2 קווים · דלתון — קו אחד · מקבילית — אף קו

הפתרון:

4, 2, 1, 04, \ 2, \ 1, \ 0

ריבוע, מלבן, דלתון, מקבילית

ככל שהצורה «מיוחדת» יותר, כך יש לה יותר קווי סימטריה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

לשחק ולבדוק

תרגיל 9

אלכסוני מרובע שווים באורכם, מאונכים, וחוצים זה את זה. איזה מרובע זה?

  1. מעוין
  2. דלתון
  3. מלבן
  4. ריבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ריבוע

הפתרון:

שווים→מלבן\text{שווים} \rightarrow \text{מלבן}

התכונה הראשונה

מאונכים→מעוין\text{מאונכים} \rightarrow \text{מעוין}

והשנייה

שתיהן יחד — ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מקפלים מלבן לאורך אלכסונו ושני החצאים מתכסים בדיוק

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

חופפים≠מתקפלים\text{חופפים} \ne \text{מתקפלים}

צריך גם סיבוב — ולכן אין סימטריה

שני המשולשים חופפים, אבל הקיפול לא מלביש אותם זה על זה — צריך גם לסובב. לכן האלכסון אינו קו סימטריה במלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מיינו לפי האלכסונים

  • האלכסונים שווים
  • האלכסונים אינם שווים
  • דלתון
  • מלבן
  • מעוין שאינו ריבוע
  • ריבוע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מלבן — האלכסונים שווים · ריבוע — האלכסונים שווים · מעוין שאינו ריבוע — האלכסונים אינם שווים · דלתון — האלכסונים אינם שווים

הפתרון:

מלבן, ריבוע\text{מלבן}, \ \text{ריבוע}

אלכסונים שווים

מעוין, דלתון\text{מעוין}, \ \text{דלתון}

ואלה שאינם

אלכסונים שווים הם סימן ההיכר של משפחת המלבן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במרובע שתי זוויות ישרות ואחת של 130 מעלות. מהי הרביעית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

90+90+130=31090 + 90 + 130 = 310

שלוש הזוויות הידועות

360−310=50360 - 310 = 50

והשלמה

50 מעלות — מרובע עם שתי זוויות ישרות שאינו מלבן בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת