סכומי סדרות והכפלה חוזרת

כמה זה $1 + 2 + 3 + \ldots + 10$? אפשר לחבר אחד-אחד, וזה עובד. ואפשר להסתכל על הסדרה כמו על סדרה — ואז זה לוקח שלוש שניות.

למה כל הזוגות שווים? כי בכל צעד אחד המספר גדל באחד והשני קטן באחד — והסכום לא זז. זה לא טריק של מזל; זה מבנה של הסדרה.

עכשיו נחבר רק מספרים אי-זוגיים, החל מ-1. התוצאות נראות מוכרות בצורה חשודה.

כל סכום כזה הוא מספר ריבועי — ובדיוק הריבוע של מספר האיברים שחיברנו. ארבעה אי-זוגיים נותנים 16, וחמישה יתנו 25.

מספרים את הסיפור על ממציא השחמט, שביקש מהמלך גרגר חיטה אחד על המשבצת הראשונה, שניים על השנייה, ארבעה על השלישית — וכל פעם כפול מהקודמת. המלך חשב שזו בקשה צנועה.

הכפלה חוזרת נקראת חזקה. שתיים בחזקת עשר, כלומר עשר הכפלות, הן 1024 — קצת יותר מאלף. ולכן שתיים בחזקת שישים ושלוש הן מספר שאין בעולם מספיק חיטה בשבילו.