ישרים מקבילים וישר חותך

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

עכשיו שני ישרים מקבילים, וישר שלישי שחותך את שניהם. נוצרות שמונה זוויות, ושני הכללים הבאים מקשרים בין הזוויות שליד הצומת העליון לאלה שליד התחתון.

כלל 2 — זוויות מתחלפות שוות

זוויות מתחלפות נמצאות משני צדי הישר החותך, ובין שני המקבילים. הן שוות.

כלל 3 — זוויות מתאימות שוות

זוויות מתאימות נמצאות באותו צד של הישר החותך, אחת בכל צומת — «אותה זווית, קומה אחת למטה». גם הן שוות.

איך מבדילים ביניהן במבחן: מתאימות יושבות באותו צד של החותך ויוצרות צורת האות F. מתחלפות יושבות בצדדים נגדיים ויוצרות צורת האות Z.

התנאי שנשכח, והוא כל העניין.

מתחלפות⇒שוות\text{מתחלפות} \Rightarrow \text{שוות}
∥+מתחלפות⇒שוות\parallel \quad +\quad \text{מתחלפות} \Rightarrow \text{שוות}

בלי מקבילות אין שום שוויון — שתי הזוויות יכולות להיות שונות לגמרי. הנימוק חייב להזכיר את המקבילות במפורש: «זוויות מתחלפות בין מקבילים שוות».

וגם בכיוון ההפוך

שני הכללים עובדים גם הפוך, וזה כלי הוכחה חשוב: אם מצאנו זוג זוויות מתחלפות (או מתאימות) שוות, אפשר להסיק שהישרים מקבילים.

נתון AB∥CDAB \parallel CD, וישר חותך יוצר את הזווית ∠1=65°\angle 1 = 65° בצומת העליון. מצאו את הזווית המתאימה לה בצומת התחתון ואת הצמודה לה.

AB∥CDAB \parallel CD

∠1=65°\angle 1 = 65°

∠2\angle 2 (מתאימה), ∠3\angle 3 (צמודה)

∠2=65°\angle 2 = 65°

זוויות מתאימות בין מקבילים שוות

∠1+∠3=180°\angle 1 + \angle 3 = 180°

זוויות צמודות

∠3=115°\angle 3 = 115°

חישוב

שימו לב שהשורה הראשונה נשענת על המקבילות והשנייה לא. בכל שורה שואלים מחדש: איזו תצורה יש כאן?

שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי שלישי. זוויות מתאימות — מה היחס?

להציג את התשובה והפתרון

שוות. מתאימות, מתחלפות — שוות; חד-צדדיות — משלימות ל-180. שלושת הכללים של כל הפרק.

ולמה הכללים האלה עובדים רק כשהישרים מקבילים?

להציג את התשובה והפתרון

כי רק אז שני המפגשים הם «אותו מפגש» שהוזז. אם הישרים נוטים — כל הזוויות משתנות.

תרגילים

תרגיל 1

שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי. אחת הזוויות היא 65°. מה גודל הזווית המתאימה לה, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65

הפתרון:

∠2=65°\angle_2 = 65°

זוויות מתאימות בין מקבילים שוות

אותו צד של החותך, צומת אחר — צורת F.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותה תצורה, מה גודל הזווית הצמודה לזווית של 65°, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 115

הפתרון:

180−65=115180 - 65 = 115

זוויות צמודות משלימות ל-180°

הכלל הזה לא צריך את המקבילות בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי. אחת הזוויות היא 110°. מה גודל הזווית המתאימה לה, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 110

הפתרון:

∠2=110°\angle_2 = 110°

זוויות מתאימות בין מקבילים שוות

אותו צד של החותך, צומת אחר — צורת F.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

באותה תצורה, מה גודל הזווית הצמודה לזווית של 110°, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 70

הפתרון:

180−110=70180 - 110 = 70

זוויות צמודות משלימות ל-180°

הכלל הזה לא צריך את המקבילות בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי. אחת הזוויות היא 40°. מה גודל הזווית המתאימה לה, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

∠2=40°\angle_2 = 40°

זוויות מתאימות בין מקבילים שוות

אותו צד של החותך, צומת אחר — צורת F.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותה תצורה, מה גודל הזווית הצמודה לזווית של 40°, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 140

הפתרון:

180−40=140180 - 40 = 140

זוויות צמודות משלימות ל-180°

הכלל הזה לא צריך את המקבילות בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי. אחת הזוויות היא 125°. מה גודל הזווית המתאימה לה, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 125

הפתרון:

∠2=125°\angle_2 = 125°

זוויות מתאימות בין מקבילים שוות

אותו צד של החותך, צומת אחר — צורת F.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותה תצורה, מה גודל הזווית הצמודה לזווית של 125°, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 55

הפתרון:

180−125=55180 - 125 = 55

זוויות צמודות משלימות ל-180°

הכלל הזה לא צריך את המקבילות בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שני ישרים מקבילים נחתכים על ידי ישר שלישי. אחת הזוויות היא 72°. מה גודל הזווית המתאימה לה, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 72

הפתרון:

∠2=72°\angle_2 = 72°

זוויות מתאימות בין מקבילים שוות

אותו צד של החותך, צומת אחר — צורת F.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

באותה תצורה, מה גודל הזווית הצמודה לזווית של 72°, במעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 108

הפתרון:

180−72=108180 - 72 = 108

זוויות צמודות משלימות ל-180°

הכלל הזה לא צריך את המקבילות בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

איזה תנאי הכרחי כדי לטעון שזוויות מתחלפות שוות?

  1. שהזוויות חדות
  2. ששני הישרים מקבילים
  3. שהישר החותך מאונך
  4. אין תנאי, זה תמיד נכון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ששני הישרים מקבילים

הפתרון:

AB∥CDAB \parallel CD

בלי זה אין שוויון

הנימוק בהוכחה חייב לכלול את המילה «מקבילים», אחרת הוא נפסל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מצאנו שזוג זוויות מתאימות שוות. מה אפשר להסיק?

  1. שהמשולש שווה שוקיים
  2. שהישרים מקבילים
  3. לא ניתן להסיק דבר
  4. שהישרים מאונכים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב שהישרים מקבילים

הפתרון:

מתאימות שוות⇒∥\text{מתאימות שוות} \Rightarrow \parallel

הכיוון ההפוך של הכלל

זו הדרך הרגילה להוכיח מקבילות בשאלות של מרובעים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

איזו אות עוזרת לזהות זוויות מתחלפות?

  1. האות L
  2. האות F
  3. האות Z
  4. האות T
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג האות Z

הפתרון:

ZZ

משני צדי החותך

F היא סימן הזיהוי של המתאימות — אותו צד, שני צמתים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ABCDEF
המעביר EFEF חותך את שני הישרים המקבילים.

הישרים ABAB ו-CDCD מקבילים, והישר EFEF חותך אותם בנקודות PP ו-QQ. הוכיחו: ∠APQ+∠BPQ\angle APQ + \angle BPQ הן צמודות, ולכן ∠BPQ+∠PQD=180∘\angle BPQ + \angle PQD = 180^\circ.

  • AB∥CDAB \parallel CD
  • EFEF מעביר החותך את שניהם

∠BPQ+∠PQD=180∘\angle BPQ + \angle PQD = 180^\circ

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB∥CDAB \parallel CD — נתון
  2. ∠APQ=∠PQD\angle APQ = \angle PQD — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים
  3. ∠APQ+∠BPQ=180∘\angle APQ + \angle BPQ = 180^\circ — זוויות צמודות על הישר ABAB
  4. ∠BPQ+∠PQD=180∘\angle BPQ + \angle PQD = 180^\circ — הצבה של הזוויות השוות
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת