עם סוגריים · משוואות ממעלה ראשונה · כיתה ח׳

סוגריים במשוואה הם כמו שקית סגורה: אי אפשר לסדר את מה שבתוכה לפני שפותחים אותה. ולכן מוסיפים צעד אחד בהתחלה — פותחים את הסוגריים. אחרי זה המשוואה הופכת למשוואה רגילה, ופותרים בדיוק כמו קודם.

\begin{aligned}3(x - 1) &= 3 \quad \longrightarrow\quad 3x - 3 \\ &= 3 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 2\end{aligned}

שום דבר בשיטה לא השתנה. זה אותו פרק כמו קודם, עם צעד מקדים — וזה נכון גם לשני הפרקים הבאים.

פעילות אינטראקטיבית

פותרים יחד

פתרו את המשוואה $2(x + 3) = 14$ . בכל שלב — בחרו מה עושים.

פותחים את הסוגריים. מה יוצא?

$2x + 6 = 14$

להציג את התשובה והפתרון

ה-2 כופל גם את $x$ וגם את ה-3.

$2x + 3 = 14$

להציג את התשובה והפתרון

ה-2 כופל כל איבר בסוגריים — גם את ה-3: $2 \cdot 3 = 6$ .

הסוגריים נפתחו — זו משוואה רגילה.

2x + 6 = 14

מעבירים אגף. מה יוצא?

$2x = 8$

להציג את התשובה והפתרון

ה- $+6$ עובר ימינה ונהיה $-6$ : $14 - 6 = 8$ .

$2x = 20$

להציג את התשובה והפתרון

פלוס שעובר אגף נהיה מינוס: $14 - 6$ , לא $14 + 6$ .

עבר אגף — החליף סימן.

2x = 8

ומה $x$ ?

$x = 4$

להציג את התשובה והפתרון

מחלקים את שני האגפים ב-2.

$x = 6$

להציג את התשובה והפתרון

$2x$ זה 2 כפול $x$ — מחלקים ב-2, לא מחסירים 2.

$8 : 2 = 4$ .

x = 4

להציג את התשובה והפתרון

$x = 4$ . בדיקה: $2(4 + 3) = 2 \cdot 7 = 14$ ✓

לעשות את הפעילות ב-elev

המינוס שלפני הסוגריים

כאן נמצאת הטעות היחידה שבאמת מפילה בפרק הזה. כשלפני הסוגריים יש מינוס, הוא מוכפל בכל איבר שבפנים — ולכן כל הסימנים בתוכם מתהפכים.

מה מקבלים כשפותחים את $-2(x - 4)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$-2x + 8$ . ה- $(-2)$ כופל את $x$ ונותן $-2x$ , וכופל את $-4$ ונותן $+8$ — מינוס כפול מינוס נותן פלוס.

שווה לעצור על זה, כי זה חוזר בכל מבחן.

-(3x - 5) = -3x - 5

-(3x - 5) = -3x + 5

המינוס מוכפל גם ב- $3x$ וגם ב- $-5$ . מינוס כפול מינוס נותן פלוס, ולכן ה-5 יוצא חיובי.

פתרו: $x - (3x - 5) = 4 - (3x + 3)$

שני זוגות סוגריים, שניהם עם מינוס לפניהם.

x - 3x + 5 = 4 - 3x - 3

פותחים את שני הזוגות, והסימנים מתהפכים

-2x + 5 = 1 - 3x

מכנסים איברים דומים בכל אגף

-2x + 3x = 1 - 5

מרכזים

x = -4

ומקבלים את הפתרון

פעילות אינטראקטיבית

פותרים יחד

פתרו את המשוואה $3(x - 2) - (x + 4) = 6$ . בכל שלב — בחרו מה עושים.

פותחים את $3(x - 2)$ . מה יוצא?

$3x - 6$

להציג את התשובה והפתרון

נכון — ה-3 כופל גם את $x$ וגם את ה-2.

$3x - 2$

להציג את התשובה והפתרון

ה-3 כופל כל איבר בסוגריים — גם את ה-2: $3 \cdot 2 = 6$ .

3x - 6 - (x + 4) = 6

הזוג הראשון נפתח.

ועכשיו $-(x + 4)$ . מה יוצא?

$-x - 4$

להציג את התשובה והפתרון

נכון — המינוס הופך את הסימן של שני האיברים.

$-x + 4$

להציג את התשובה והפתרון

בפנים יש $+4$ , והמינוס שלפני הסוגריים הופך אותו ל- $-4$ .

3x - 6 - x - 4 = 6

אין יותר סוגריים — זו משוואה רגילה.

מכנסים את אגף שמאל. מה יוצא?

$2x - 10 = 6$

להציג את התשובה והפתרון

$3x - x = 2x$ , ו- $-6 - 4 = -10$ .

$2x - 2 = 6$

להציג את התשובה והפתרון

$-6 - 4$ זה $-10$ : שני המינוסים מצטברים, הם לא מתקזזים.

2x - 10 = 6

מכנסים כל אגף בנפרד.

מעבירים אגף. מה יוצא?

$2x = 16$

להציג את התשובה והפתרון

ה- $-10$ עובר ימינה ונהיה $+10$ : $6 + 10 = 16$ .

$2x = -4$

להציג את התשובה והפתרון

שכחתם להחליף סימן: $-10$ שעובר אגף נהיה $+10$ .

2x = 16

עבר אגף — החליף סימן.

ומה $x$ ?

$x = 8$

להציג את התשובה והפתרון

מחלקים את שני האגפים ב-2.

$x = 14$

להציג את התשובה והפתרון

$2x$ זה 2 כפול $x$ — מחלקים ב-2, לא מחסירים 2.

x = 8

$16 : 2 = 8$ .

להציג את התשובה והפתרון

$x = 8$ . בדיקה: $3(8 - 2) - (8 + 4) = 18 - 12 = 6$ ✓

לעשות את הפעילות ב-elev

טכניקה שעוזרת: לפני שפותחים, לרשום את המינוס כ- $(-1)$ ולכפול אותו באופן מפורש בכל איבר. זה איטי יותר, אבל בשלב הלימוד הוא מונע כמעט את כל הטעויות.

עכשיו נתרגל.

פתרו: $2(x - 3) = 10$

להציג את התשובה והפתרון

$x = 8$ . אפשר לפתוח סוגריים — או פשוט לחלק ב-2 קודם: $x - 3 = 5$ . הדרך השנייה קצרה.

תרגילים

תרגיל 1

פתרו את המשוואה ומצאו את $x$ :

3(x - 1) = 3

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

3x - 3 = 3

פותחים סוגריים — מכפילים כל איבר

3x = 6

מעבירים את המספר לאגף השני

x = 2

ומחלקים במקדם

אחרי פתיחת הסוגריים זו משוואה רגילה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו את המשוואה ומצאו את $x$ :

2(x + 3) = 16

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2x + 6 = 16

פותחים סוגריים — מכפילים כל איבר

2x = 10

מעבירים את המספר לאגף השני

x = 5

ומחלקים במקדם

אחרי פתיחת הסוגריים זו משוואה רגילה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

פתרו את המשוואה ומצאו את $x$ :

4(x + 5) = 16

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

4x + 20 = 16

פותחים סוגריים — מכפילים כל איבר

4x = -4

מעבירים את המספר לאגף השני

x = -1

ומחלקים במקדם

אחרי פתיחת הסוגריים זו משוואה רגילה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו את המשוואה ומצאו את $x$ :

5(x - 2) = 5

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

5x - 10 = 5

פותחים סוגריים — מכפילים כל איבר

5x = 15

מעבירים את המספר לאגף השני

x = 3

ומחלקים במקדם

אחרי פתיחת הסוגריים זו משוואה רגילה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

פתרו את המשוואה ומצאו את $x$ :

-2(x + 1) = -10

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

-2x - 2 = -10

פותחים סוגריים — המינוס מוכפל בכל איבר, והסימנים מתהפכים

-2x = -8

מעבירים את המספר לאגף השני

x = 4

ומחלקים במקדם

המינוס שלפני הסוגריים הוא המקום היחיד שבו נופלים כאן. אפשר לכתוב אותו כ-(-1) ולכפול במפורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

פתרו את המשוואה ומצאו את $x$ :

-3(x + 4) = -6

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

-3x - 12 = -6

פותחים סוגריים — המינוס מוכפל בכל איבר, והסימנים מתהפכים

-3x = 6

מעבירים את המספר לאגף השני

x = -2

ומחלקים במקדם

המינוס שלפני הסוגריים הוא המקום היחיד שבו נופלים כאן. אפשר לכתוב אותו כ-(-1) ולכפול במפורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו את המשוואה ומצאו את $x$ :

-4(x - 3) = -12

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

-4x + 12 = -12

פותחים סוגריים — המינוס מוכפל בכל איבר, והסימנים מתהפכים

-4x = -24

מעבירים את המספר לאגף השני

x = 6

ומחלקים במקדם

המינוס שלפני הסוגריים הוא המקום היחיד שבו נופלים כאן. אפשר לכתוב אותו כ-(-1) ולכפול במפורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו את המשוואה ומצאו את $x$ :

6(x + 2) = 18

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

6x + 12 = 18

פותחים סוגריים — מכפילים כל איבר

6x = 6

מעבירים את המספר לאגף השני

x = 1

ומחלקים במקדם

אחרי פתיחת הסוגריים זו משוואה רגילה לגמרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו את המשוואה ומצאו את $x$ :

x - (3x - 5) = 4 - (3x + 3)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -4

הפתרון:

x - 3x + 5 = 4 - 3x - 3

פותחים את שני זוגות הסוגריים — הסימנים מתהפכים

-2x + 5 = 1 - 3x

מכנסים בכל אגף

-2x + 3x = 1 - 5

מרכזים

x = -4

ומקבלים

שני זוגות סוגריים עם מינוס לפניהם — ארבע הזדמנויות לטעות בסימן. שווה לפתוח לאט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

איך נפתחים הסוגריים ב- $-(3x - 5)$ ?

$-3x - 5$
$3x + 5$
$3x - 5$
$-3x + 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $-3x + 5$

הפתרון:

(-1) \cdot 3x = -3x

המינוס מוכפל באיבר הראשון

(-1) \cdot (-5) = +5

ובאיבר השני — מינוס כפול מינוס

זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק כולו: לשכוח שהמינוס מוכפל גם באיבר השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתרו את המשוואה:

2(x + 3) = 14

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}2x + 6 &= 14 \;\Rightarrow\; x \\ &= 4\end{aligned}

פותחים סוגריים קודם

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

שורה אחת שגויה — מצאו אותה:

2(x + 3) = 14

2x + 3 = 14

2x = 11

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $2x + 3 = 14$ → $2x + 6 = 14$

הפתרון:

2(x+3) = 2x + 6

ה-2 כופל את שני האיברים

הטעות: כפלו את ה-x ושכחו את ה-3. חוק הפילוג לא בוחר איברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

השלימו את פתרון $5(x - 2) = 30$ :

פותחים סוגריים: ____x פחות ____ = 30 , ולכן x = ____.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: פותחים סוגריים: 5x פחות 10 = 30 , ולכן x = 8.

הפתרון:

\begin{aligned}5x - 10 &= 30 \;\Rightarrow\; x \\ &= 8\end{aligned}

ואפשר גם: x - 2 = 6

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

סוגריים בשני האגפים — פתרו:

3(x + 2) = 2(x + 5)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}3x + 6 &= 2x + 10 \;\Rightarrow\; x \\ &= 4\end{aligned}

פותחים בשני הצדדים, מכנסים

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

המינוס שלפני הסוגריים

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev