עם מכנה מספרי · משוואות ממעלה ראשונה · כיתה ח׳

משוואה עם שברים נראית מפחידה — אבל יש דרך קבועה שהופכת אותה למשוואה רגילה, מהסוג שכבר פתרתם. היא תמיד אותם שלושה צעדים, באותו סדר:

1

מוצאים את המכנה המשותף — תמיד מתחילים כאן

2

כופלים בו כל איבר — משני צדי השוויון

3

פותרים משוואה רגילה, ובודקים

ומספר שאין לו מכנה? גם הוא שבר — המכנה שלו 1: $4 = \frac{4}{1}$ , $x = \frac{x}{1}$ . לכן גם הוא נכפל, כמו כל האחרים.

קודם — לראות את השברים

מה אומרת המשוואה $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ ? חצי מ- $x$ , ועוד שליש מ- $x$ — ביחד 5. נצייר את זה:

פעילות אינטראקטיבית

חצי ועוד שליש

$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 5$ — מה זה $x$ ?

$x$

נצייר את $x$ כפס, ונחלק אותו ל-6 חלקים שווים — כי 6 מתחלק גם ב-2 וגם ב-3.

$x$

$\frac{x}{2}$

חצי מ- $x$ — אלה 3 חלקים.

$x$

$\frac{x}{2}$

$\frac{x}{3}$

שליש מ- $x$ — אלה 2 חלקים.

$x$

ביחד

3 + 2 = 5

ביחד 5 חלקים, והם שווים 5. אז כל חלק שווה 1!

$x$

ביחד

x = 6

ו- $x$ הוא 6 חלקים: $x = 6$ . ספרנו חלקים במקום שברים — וזה בדיוק מה שהכפל במכנה המשותף עושה.

המכנה המשותף הוא מספר החלקים שבהם כל השברים נראים כמספרים שלמים.

לעשות את הפעילות ב-elev

אם מחלקים את $x$ ל-6 חלקים — כמה חלקים הם $\frac{x}{2}$ , וכמה $\frac{x}{3}$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$\frac{x}{2}$ הם 3 חלקים ו- $\frac{x}{3}$ הם 2. ביחד 5 חלקים ששווים 5 — כל חלק 1, ולכן $x = 6$ .

הצעד: כופלים הכול במכנה המשותף

במקום לצייר בכל פעם, עושים את אותו הדבר באלגברה: כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף. כל שבר מצטמצם, ונשארת משוואה בלי שברים. לחצו, ותראו מה קורה לכל איבר:

הטעות שהופכת את המשוואה למשוואה אחרת.

6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 5

6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} = 6 \cdot 5

כופלים את כל האיברים, כולל אלה שאין להם מכנה בכלל. איבר ששכחו לכפול הורס את השוויון.

איך מוצאים מכנה משותף?

המכנה המשותף הוא המספר הקטן ביותר שמתחלק בכל המכנים. יש שלושה מצבים:

2, \; 3 \;\to\; 6

אין להם מחלק משותף — כופלים אותם

4, \; 6 \;\to\; 12

יש להם מחלק משותף (2) — מספיק 12, לא צריך 24

3, \; 9 \;\to\; 9

9 כבר מתחלק ב-3 — המכנה הגדול הוא המשותף

מהו המכנה המשותף של $4$ , $6$ ו- $8$ ?

להציג את התשובה והפתרון

24. הכפולות של 8: 8, 16, 24 — ו-24 הוא הראשון שמתחלק גם ב-4 וגם ב-6.

גם כפולה גדולה יותר עובדת (למשל 24 במקום 12): הפתרון יוצא אותו פתרון, רק עם מספרים גדולים יותר. לכן אל תיבהלו אם לא מצאתם את הקטן ביותר.

פעילות אינטראקטיבית

פותרים יחד

פתרו את המשוואה $\frac{x}{6} + \frac{x}{4} = 5$ . בכל שלב — בחרו מה עושים.

מה המכנה המשותף של 6 ו-4?

להציג את התשובה והפתרון

12 מתחלק גם ב-6 וגם ב-4, והוא הקטן ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

24 עובד — אבל 12 קטן יותר, ומספרים קטנים נוחים יותר.

להציג את התשובה והפתרון

10 לא מתחלק ב-4. לא מחברים מכנים — מחפשים מספר שמתחלק בשניהם.

יש ל-6 ול-4 מחלק משותף, 2 — ולכן מספיק 12.

6, \; 4 \;\to\; 12

כופלים כל איבר ב-12. מה יוצא?

$2x + 3x = 60$

להציג את התשובה והפתרון

$12 : 6 = 2$ , $12 : 4 = 3$ , ו- $12 \cdot 5 = 60$ .

$2x + 3x = 5$

להציג את התשובה והפתרון

גם ה-5 שבאגף ימין נכפל ב-12: מה שעושים לאגף אחד — עושים לשני.

השברים נעלמו.

2x + 3x = 60

מכנסים ומחלקים. מה $x$ ?

$x = 12$

להציג את התשובה והפתרון

$5x = 60$ , ומחלקים ב-5.

$x = 55$

להציג את התשובה והפתרון

$5x$ זה 5 כפול $x$ — מחלקים ב-5, לא מחסירים 5.

$60 : 5 = 12$ .

x = 12

להציג את התשובה והפתרון

$x = 12$ . בדיקה: $\frac{12}{6} + \frac{12}{4} = 2 + 3 = 5$ ✓

לעשות את הפעילות ב-elev

איבר בלי מכנה — שבר שהמכנה שלו 1

זו הטעות הנפוצה ביותר: לכפול את השברים ולשכוח את המספר ה«רגיל». הפתרון: לכתוב אותו קודם על 1. אז רואים שגם הוא שבר, וגם הוא מקבל את הכפל.

במשוואה $\frac{x}{5} + 2 = x$ כופלים ב-5. מה מקבלים?

להציג את התשובה והפתרון

$x + 10 = 5x$ . גם ה-2 וגם ה- $x$ שבאגף ימין הם «על 1», ולכן שניהם נכפלים ב-5.

מונה עם שני איברים — סוגריים!

כשהמונה הוא $x + 1$ , המספר שנשאר אחרי הצמצום כופל את כל המונה — ולכן כותבים אותו בסוגריים.

מה מקבלים כשכופלים את $\frac{x + 4}{2}$ ב-6?

להציג את התשובה והפתרון

$3(x + 4) = 3x + 12$ . ה-3 כופל גם את $x$ וגם את 4.

המלכודת: מינוס לפני שבר

כאן קורות רוב הטעויות. הקו של השבר עובד כמו סוגריים: המינוס שלפניו חל על כל המונה, לא רק על האיבר הראשון.

הטעות של המינוס שלפני השבר.

2x - x - 3 = 8

2x - x + 3 = 8

שכחו שהמינוס חל גם על ה-3. $-(x - 3) = -x + 3$ — ובדיקה של $x = 5$ הייתה מגלה את הטעות מיד.

מה זה $-(2x - 5)$ ?

להציג את התשובה והפתרון

$-2x + 5$ — המינוס הופך את הסימן של כל איבר בסוגריים.

שבר בתוך מקדם, מספר מעורב ועשרוני

$\frac{2x}{3}$ ו- $\frac{2}{3}x$ הם אותו ביטוי, ונפתרים באותה שיטה. מספר מעורב כמו $1\tfrac{1}{2}$ הופכים קודם לשבר, $\frac{3}{2}$ . ומספר עשרוני הוא שבר בתחפושת: $0.3 = \frac{3}{10}$ .

פתרו: $0.5x + 0.2 = 1.2$

כופלים ב-10 — וכל הנקודות העשרוניות נעלמות.

5x + 2 = 12

כופלים כל איבר ב-10

5x = 10

מחסירים 2

x = 2

מחלקים ב-5

ספרה אחת אחרי הנקודה — כופלים ב-10. שתי ספרות (כמו $0.35$ ) — כופלים ב-100.

פעילות אינטראקטיבית

פותרים יחד

פתרו את המשוואה $0.4x - 1.5 = 0.1x$ . בכל שלב — בחרו מה עושים.

בכמה כופלים כדי להיפטר מהנקודה העשרונית?

להציג את התשובה והפתרון

בכל המספרים יש ספרה אחת אחרי הנקודה — לכן 10 מספיק.

להציג את התשובה והפתרון

גם 100 עובד, אבל ספרה אחת אחרי הנקודה — מספיק 10, והמספרים יוצאים קטנים יותר.

עשרוני הוא שבר בתחפושת: $0.4 = \frac{4}{10}$ .

כופלים כל איבר ב-10. מה יוצא?

$4x - 15 = x$

להציג את התשובה והפתרון

$0.4x \to 4x$ , $1.5 \to 15$ , $0.1x \to x$ .

$4x - 1.5 = x$

להציג את התשובה והפתרון

גם ה-1.5 נכפל ב-10: $1.5 \cdot 10 = 15$ .

אין יותר נקודות עשרוניות.

4x - 15 = x

מעבירים אגף. מה יוצא?

$3x = 15$

להציג את התשובה והפתרון

$4x - x = 3x$ , וה- $-15$ עובר ימינה ונהיה $+15$ .

$5x = 15$

להציג את התשובה והפתרון

ה- $x$ עובר שמאלה ונהיה $-x$ : $4x - x = 3x$ .

איקסים משמאל, מספרים מימין.

3x = 15

ומה $x$ ?

$x = 5$

להציג את התשובה והפתרון

$15 : 3 = 5$ .

$x = 12$

להציג את התשובה והפתרון

$3x$ זה 3 כפול $x$ — מחלקים ב-3.

מחלקים ב-3.

x = 5

להציג את התשובה והפתרון

$x = 5$ . בדיקה: $0.4 \cdot 5 - 1.5 = 2 - 1.5 = 0.5$ וגם $0.1 \cdot 5 = 0.5$ ✓

לעשות את הפעילות ב-elev

כל השלבים ביחד

פעילות אינטראקטיבית

משוואה ברמת מבחן

\frac{3x - 1}{4} - \frac{x + 3}{6} = \frac{x}{3}

שלושה מכנים, מונים עם שני איברים ומינוס לפני שבר. לחצו — שלב אחד בכל פעם.

מכנה משותף

4, \; 6, \; 3 \;\to\; 12

12 הוא המספר הקטן ביותר שמתחלק ב-4, ב-6 וב-3.

כפל

3(3x - 1) - 2(x + 3) = 4x

כופלים כל איבר ב-12. כל מונה נכנס לסוגריים.

סוגריים

9x - 3 - 2x - 6 = 4x

המינוס שלפני ה-2 חל על שני האיברים: $-2(x + 3) = -2x - 6$ .

כינוס

7x - 9 = 4x

מכנסים איברים דומים.

העברה

3x = 9

מעבירים $4x$ שמאלה ו-9 ימינה.

פתרון

x = 3

מחלקים ב-3.

בדיקה

\frac{8}{4} - \frac{6}{6} = \frac{3}{3}

מציבים $x = 3$ במשוואה המקורית: $2 - 1 = 1$ — שני האגפים שווים 1 ✓

אותם שלושה צעדים כמו בתרגיל הראשון — רק יותר איברים.

לעשות את הפעילות ב-elev

פעילות אינטראקטיבית

פותרים יחד

פתרו את המשוואה $\frac{x}{3} - \frac{x - 1}{4} = 1$ . בכל שלב — בחרו מה עושים.

מה המכנה המשותף של 3 ו-4?

להציג את התשובה והפתרון

12 מתחלק גם ב-3 וגם ב-4, והוא הקטן ביותר.

להציג את התשובה והפתרון

לא מחברים מכנים — מחפשים מספר שמתחלק גם ב-3 וגם ב-4.

להציג את התשובה והפתרון

24 עובד, אבל 12 קטן יותר ונותן מספרים נוחים יותר.

3, \; 4 \;\to\; 12

צעד 1: המכנה המשותף.

כופלים כל איבר ב-12. מה יוצא מ- $\frac{x}{3}$ ?

$4x$

להציג את התשובה והפתרון

$12 : 3 = 4$ , וה-4 כופל את $x$ .

$36x$

להציג את התשובה והפתרון

קודם מחלקים את 12 במכנה: $12 : 3 = 4$ — ורק אז כופלים במונה.

12 \cdot \frac{x}{3} = 4x

המכנה 3 נמחק.

ומה יוצא מ- $\frac{x - 1}{4}$ ?

$3(x - 1)$

להציג את התשובה והפתרון

$12 : 4 = 3$ , וה-3 כופל את כל המונה — לכן סוגריים.

$3x - 1$

להציג את התשובה והפתרון

ה-3 צריך לכפול גם את ה-1. בלי סוגריים, ה-1 נשכח.

12 \cdot \frac{x - 1}{4} = 3(x - 1)

מונה עם שני איברים נכנס לסוגריים.

ומה עם ה-1 שבאגף ימין?

גם הוא נכפל: $12 \cdot 1 = 12$

להציג את התשובה והפתרון

נכון — כופלים כל איבר, משני הצדדים.

הוא נשאר 1 — אין לו מכנה

להציג את התשובה והפתרון

למספר בלי מכנה יש מכנה 1: $1 = \frac{1}{1}$ . גם הוא נכפל ב-12.

4x - 3(x - 1) = 12

אין יותר שברים!

פותחים את $-3(x - 1)$ . מה יוצא?

$4x - 3x + 3 = 12$

להציג את התשובה והפתרון

מינוס כפול מינוס: $-3 \cdot (-1) = +3$ .

$4x - 3x - 3 = 12$

להציג את התשובה והפתרון

ה- $-3$ כופל גם את ה- $-1$ : מינוס כפול מינוס נותן פלוס, $+3$ .

4x - 3x + 3 = 12

זה המקום שבו נופלים הכי הרבה.

מכנסים ומעבירים אגף. מה $x$ ?

$x = 9$

להציג את התשובה והפתרון

$x + 3 = 12$ , וה- $+3$ עובר ימינה ונהיה $-3$ .

$x = 15$

להציג את התשובה והפתרון

ה- $+3$ עובר ימינה ונהיה $-3$ : $12 - 3 = 9$ .

x = 9

$12 - 3 = 9$ .

להציג את התשובה והפתרון

$x = 9$ . בדיקה: $\frac{9}{3} - \frac{8}{4} = 3 - 2 = 1$ ✓

לעשות את הפעילות ב-elev

הכלל

מוצאים את המכנה המשותף, כופלים בו את כל אברי המשוואה — משני האגפים — והשברים נעלמים. מונה עם שני איברים נכנס לסוגריים, ומינוס שלפני שבר חל על כל המונה. משם זו משוואה רגילה.

\begin{aligned}\frac{x}{4} - \frac{x}{6} &= 1 \quad \longrightarrow\quad 3x - 2x \\ &= 12 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 12\end{aligned}

ועכשיו — תרגול: 72 תרגילים בשש רמות, מהקל ועד שאלות מבחן. כל רמה מוסיפה קושי אחד.

תרגילים

רמה 1 — מכנה אחד

תרגיל 1

פתרו את המשוואה:

\frac{x}{4} = 6

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}x &= 6 \times 4 \\ &= 24\end{aligned}

כופלים במכנה

קודם — לראות את השברים

הצעד: כופלים הכול במכנה המשותף

איך מוצאים מכנה משותף?

איבר בלי מכנה — שבר שהמכנה שלו 1

מונה עם שני איברים — סוגריים!

המלכודת: מינוס לפני שבר

שבר בתוך מקדם, מספר מעורב ועשרוני

כל השלבים ביחד

הכלל

תרגילים

רמה 1 — מכנה אחד

רמה 2 — כמה מכנים

רמה 3 — מונה עם שני איברים

רמה 4 — מינוס לפני שבר

רמה 5 — מקדם שבר, מספר מעורב ועשרוני

רמה 6 — אתגר: שאלות מבחן ובעיות מילוליות

השיעור הבא מחכה ב-elev