מכנה עם נעלם

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

הפרק האחרון, והמסקרן ביותר: ה-xx עבר לגור במכנה. וזה משנה הכול — כי יש מספר אחד שהוא אסור לו להיות, ואם לא נשים לב, נגיש תשובה שאין לה שום משמעות. לכן יש צעד אחד שעושים עוד לפני שמתחילים לפתור.

12x=4\frac{12}{x} = 4

תחום ההגדרה — קודם כול

אסור לחלק באפס. לכן המכנה לא יכול להיות אפס לעולם, וזה מוציא מראש ערכים מסוימים של xx. אוסף הערכים שכן מותרים נקרא תחום ההגדרה.

12x=4⟶x≠0\frac{12}{x} = 4 \quad \longrightarrow\quad x \neq 0

את תחום ההגדרה כותבים בהתחלה, לפני הפתרון — לא בסוף. הוא חלק מהתשובה, וברוב המבחנים יש עליו ניקוד בפני עצמו.

וכשהמכנה מורכב יותר, מאפסים אותו כדי למצוא מה אסור:

5x−3=1⟶x−3≠0⟶x≠3\frac{5}{x - 3} = 1 \quad \longrightarrow\quad x - 3 \neq 0 \quad \longrightarrow\quad x \neq 3

מה תחום ההגדרה של המשוואה 7x+5=1\frac{7}{x + 5} = 1?

להציג את התשובה והפתרון

x≠−5x \ne -5: מאפסים את המכנה, x+5=0x + 5 = 0, ומקבלים x=−5x = -5. זה הערך היחיד שאסור.

ואיך פותרים

פתרו: 12x=4\frac{12}{x} = 4

אותה שיטה כמו בפרק הקודם — כופלים במכנה.

x≠0x \neq 0

קודם כול תחום ההגדרה

12=4x12 = 4x

כופלים את שני האגפים ב-xx

x=3x = 3

ופותרים כרגיל

3≠0✓3 \neq 0 \quad \checkmark

ובודקים שהפתרון נמצא בתחום ההגדרה

המקרה שבו אין פתרון

ולפעמים קורה דבר מוזר: הפתרון שמתקבל הוא בדיוק הערך האסור. במקרה כזה הוא נפסל, ולמשוואה אין פתרון.

פתרו: xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}

הפתרון שמתקבל נופל בדיוק על הערך האסור.

x≠2x \neq 2

תחום ההגדרה

x=2x = 2

הפתרון שמתקבל

אין פתרון\text{אין פתרון}

אבל 2 אסור — ולכן הוא נפסל

זו בדיוק הסיבה שכותבים את תחום ההגדרה בהתחלה. בלעדיו היינו מוסרים 2 כתשובה — תשובה שמכניסה אפס למכנה, כלומר חסרת משמעות.

הטעות שעולה נקודות גם כשהחישוב נכון.

5x−3=1→x=8\begin{aligned}\frac{5}{x-3} &= 1 \quad \rightarrow\quad x \\ &= 8\end{aligned}
x≠35x−3=1→x=8✓\begin{aligned}x \neq 3 \quad \quad \quad \frac{5}{x-3} &= 1 \quad \rightarrow\quad x \\ &= 8 \quad \checkmark\end{aligned}

החישוב זהה, אבל בלי תחום ההגדרה התשובה אינה שלמה. הוא נדרש גם כשהפתרון בסוף מתקבל.

רמה מתקדמת — שתי שברים משני הצדדים

עד עכשיו היה שבר אחד. כשיש שבר מול שבר, הדרך המהירה היא כפל בהצלבה: מונה של זה כפול מכנה של זה.

שבר מול שבר

פתרו: 20x−1=25x\frac{20}{x-1} = \frac{25}{x}.

x≠1 , x≠0x \neq 1 \ , \ x \neq 0

תחום הגדרה — שני מכנים, שני תנאים

20x=25(x−1)20x = 25(x - 1)

כפל בהצלבה

20x=25x−2520x = 25x - 25

פותחים סוגריים

x=5x = 5

ובודקים: בתחום ✓

שני מכנים בינומיים

פתרו: 2x+45x−3=56\frac{2x+4}{5x-3} = \frac{5}{6}.

5x−3≠0 ⇒ x≠355x - 3 \neq 0 \ \Rightarrow \ x \neq \tfrac{3}{5}

תחום הגדרה — גם שבר!

6(2x+4)=5(5x−3)6(2x + 4) = 5(5x - 3)

כפל בהצלבה

12x+24=25x−1512x + 24 = 25x - 15

פותחים

39=13x ⇒ x=3\begin{aligned}39 &= 13x \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

רמה מתקדמת — כמה איברים עם xx במכנה

כשה-xx יושב בכמה מכנים, לא מצליבים — כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף, בדיוק כמו בפרק של המכנה המספרי. המכנה המשותף של 6x6x ו-2x2x הוא 6x6x.

מכנה משותף עם נעלם

פתרו: 17x+36x−x+92x=1\frac{17x+3}{6x} - \frac{x+9}{2x} = 1.

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

17x+3−3(x+9)=6x17x + 3 - 3(x + 9) = 6x

כפלנו ב-6x6x: השבר השני הוכפל פי 3

17x+3−3x−27=6x17x + 3 - 3x - 27 = 6x

סוגריים — לב הזהירות: המינוס נכנס לשניהם

14x−24=6x14x - 24 = 6x

מכנסים

8x=24 ⇒ x=3\begin{aligned}8x &= 24 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

ברמה הזאת רוב הטעויות אינן בשברים אלא במינוס שלפני השבר השני: הוא כופל את כל המונה, ולכן חייבים סוגריים — −3(x+9)-3(x+9), לא −3x+9-3x+9.

עכשיו נתרגל — מהקל אל הקשה. אחרי התרגילים נסכם את ארבעת השלבים יחד.

במשוואה עם xx במכנה — מה חובה לבדוק בסוף?

להציג את התשובה והפתרון

שהפתרון אינו מאפס את המכנה. אם כן — הוא פסול, והמשוואה אולי בלי פתרון.

תרגילים

תרגיל 1

מהו הערך ש-xx אינו יכול לקבל במשוואה הבאה?

12x=4\frac{12}{x} = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

x≠0x \neq 0

המכנה לא יכול להתאפס

אסור לחלק באפס. זה כל תחום ההגדרה כאן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

פתרו ומצאו את xx:

12x=4\frac{12}{x} = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x≠0x \neq 0

קודם כול תחום ההגדרה

12=4x12 = 4x

כופלים את שני האגפים ב-x

x=3x = 3

ובודקים ש-3 שונה מאפס

הפתרון נמצא בתחום ההגדרה, ולכן הוא מתקבל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מהו הערך ש-xx אינו יכול לקבל?

5x−3=1\frac{5}{x - 3} = 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x−3≠0⟶x≠3x - 3 \neq 0 \quad \longrightarrow\quad x \neq 3

מאפסים את המכנה כדי לדעת מה אסור

כשהמכנה מורכב, משווים אותו לאפס ופותרים — התוצאה היא הערך האסור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

פתרו ומצאו את xx:

5x−3=1\frac{5}{x - 3} = 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

x≠3x \neq 3

תחום ההגדרה

5=x−35 = x - 3

כופלים ב-(x-3)

x=8✓x = 8 \quad \checkmark

ו-8 מותר

גם כשהפתרון מתקבל, תחום ההגדרה נכתב. הוא חלק מהתשובה, לא בדיקה בדיעבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מהו הערך ש-xx אינו יכול לקבל?

xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x−2≠0⟶x≠2x - 2 \neq 0 \quad \longrightarrow\quad x \neq 2

שני המכנים זהים

שימו לב לתשובה הזאת — היא תחזור בשאלה הבאה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מהו הפתרון של המשוואה הבאה?

xx−2=2x−2\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2}
  1. x=0x = 0
  2. x=2x = 2
  3. אין פתרון
  4. כל מספר הוא פתרון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אין פתרון

הפתרון:

x≠2x \neq 2

תחום ההגדרה

x=2x = 2

הפתרון שמתקבל מהחישוב

נפסל\text{נפסל}

אבל הוא בדיוק הערך האסור

זה המקרה שבשבילו כותבים את תחום ההגדרה בהתחלה. בלעדיו היינו מוסרים 2 — תשובה שמכניסה אפס למכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

פתרו ומצאו את xx:

20x=5\frac{20}{x} = 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x≠0x \neq 0

תחום ההגדרה

20=5x⟶x=4\begin{aligned}20 &= 5x \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 4\end{aligned}

כופלים ופותרים

בדיקה: 20:4=520 : 4 = 5. תמיד להציב חזרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

פתרו ומצאו את xx:

6x+1=2\frac{6}{x + 1} = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x≠−1x \neq -1

תחום ההגדרה — מאפסים את המכנה

6=2(x+1)6 = 2(x + 1)

כופלים ב-(x+1)

6=2x+2⟶x=2\begin{aligned}6 &= 2x + 2 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 2\end{aligned}

פותחים סוגריים ופותרים

שימו לב שהופיעו כאן שני שלבים מהפרקים הקודמים: מכנה וסוגריים. כל פרק נשען על הקודמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

פתרו ומצאו את xx:

x+8x=3\frac{x + 8}{x} = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

x+8=3xx + 8 = 3x

כופלים ב-xx

8=2x ⇒ x=4\begin{aligned}8 &= 2x \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 124=3\frac{12}{4} = 3 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פתרו ומצאו את xx:

xx−4=3\frac{x}{x - 4} = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

x≠4x \neq 4

תחום הגדרה

x=3(x−4)x = 3(x - 4)

כופלים במכנה

x=3x−12 ⇒ x=6\begin{aligned}x &= 3x - 12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 62=3\frac{6}{2} = 3 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

פתרו ומצאו את xx:

x−5x−3−12=0\frac{x - 5}{x - 3} - \frac{1}{2} = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x≠3x \neq 3

תחום הגדרה

x−5x−3=12\frac{x - 5}{x - 3} = \frac{1}{2}

מעבירים אגף — שבר מול שבר

2(x−5)=x−32(x - 5) = x - 3

כפל בהצלבה

2x−10=x−3 ⇒ x=7\begin{aligned}2x - 10 &= x - 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 7\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 24=12\frac{2}{4} = \frac{1}{2} ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

פתרו ומצאו את xx:

3x−2=1x\frac{3}{x - 2} = \frac{1}{x}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x≠2 , x≠0x \neq 2 \ , \ x \neq 0

שני מכנים — שני תנאים

3x=x−23x = x - 2

כפל בהצלבה

2x=−2 ⇒ x=−1\begin{aligned}2x &= -2 \ \Rightarrow \ x \\ &= -1\end{aligned}

בתחום ✓

פתרון שלילי הוא פתרון גמור — בודקים: 3−3=1−1\frac{3}{-3} = \frac{1}{-1} ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

פתרו ומצאו את xx:

52x−1−134x+1=0\frac{5}{2x - 1} - \frac{13}{4x + 1} = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x≠12 , x≠−14x \neq \tfrac{1}{2} \ , \ x \neq -\tfrac{1}{4}

תחום הגדרה — גם שברים

52x−1=134x+1\frac{5}{2x-1} = \frac{13}{4x+1}

מעבירים אגף

5(4x+1)=13(2x−1)5(4x + 1) = 13(2x - 1)

הצלבה

20x+5=26x−13 ⇒ x=3\begin{aligned}20x + 5 &= 26x - 13 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

בדיקה: 55=1313\frac{5}{5} = \frac{13}{13} ✓ — שניהם 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

פתרו ומצאו את xx:

2x+12=58−14\frac{2}{x} + \frac{1}{2} = \frac{5}{8} - \frac{1}{4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -16

הפתרון:

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

58−14−12=−18\frac{5}{8} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8}

קודם מסדרים את המספרים

2x=−18\frac{2}{x} = -\frac{1}{8}

נשאר שבר מול שבר

16=−x ⇒ x=−16\begin{aligned}16 &= -x \ \Rightarrow \ x \\ &= -16\end{aligned}

הצלבה, ובתחום ✓

מסדרים את צד המספרים לפני שנוגעים ב-xx — ככה המשוואה מתקצרת לשורה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

פתרו ומצאו את xx:

−14x+12=−12x−12-\frac{14}{x} + \frac{1}{2} = -\frac{12}{x} - \frac{1}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

−14x+12x=−1-\frac{14}{x} + \frac{12}{x} = -1

שברי ה-xx שמאלה, המספרים ימינה

−2x=−1-\frac{2}{x} = -1

מכנסים — אותו מכנה

x=2x = 2

בתחום ✓

שברים בעלי אותו מכנה מתכנסים כמו איברים דומים: −14+12=−2-14+12=-2 על אותו xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

פתרו ומצאו את xx:

17x+36x−x+92x=1\frac{17x + 3}{6x} - \frac{x + 9}{2x} = 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

x≠0x \neq 0

תחום הגדרה

17x+3−3(x+9)=6x17x + 3 - 3(x + 9) = 6x

כפל ב-6x6x — המכנה המשותף

14x−24=6x14x - 24 = 6x

המינוס נכנס לסוגריים!

8x=24 ⇒ x=3\begin{aligned}8x &= 24 \ \Rightarrow \ x \\ &= 3\end{aligned}

בתחום ✓

הטעות הקלאסית כאן: −3x+27-3x + 27 במקום −3x−27-3x - 27. המינוס כופל את כל המונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

פתרו ומצאו את xx:

x−8x+4+25=x−2x+4\frac{x - 8}{x + 4} + \frac{2}{5} = \frac{x - 2}{x + 4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

x≠−4x \neq -4

תחום הגדרה

x−8x+4−x−2x+4=−25\frac{x - 8}{x + 4} - \frac{x - 2}{x + 4} = -\frac{2}{5}

שברי המכנה הזהה — לאותו אגף

−6x+4=−25\frac{-6}{x + 4} = -\frac{2}{5}

מכנסים: (x−8)−(x−2)=−6(x-8)-(x-2) = -6

−30=−2(x+4) ⇒ x=11\begin{aligned}-30 &= -2(x + 4) \ \Rightarrow \ x \\ &= 11\end{aligned}

הצלבה, ובתחום ✓

הרגע היפה: xx נעלם מהמונה — (x−8)−(x−2)(x-8)-(x-2) הוא פשוט −6-6 — והמשוואה מתקפלת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

מתי כותבים את תחום ההגדרה?

  1. רק אם הפתרון יוצא מוזר
  2. לא חייבים לכתוב אותו
  3. בהתחלה, לפני שפותרים
  4. בסוף, אחרי שמוצאים את הפתרון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג בהתחלה, לפני שפותרים

הפתרון:

תחום הגדרה→פתרון→בדיקה\text{תחום הגדרה} \rightarrow \text{פתרון} \rightarrow \text{בדיקה}

הסדר הנכון

הוא נכתב בהתחלה ומקבל ניקוד בפני עצמו. וכשהפתרון נופל עליו — הוא מה שמאפשר לפסול אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

אתגר — מתוך עבודת הקיץ של סוף כיתה ח׳

תרגיל 19

רשמו תחום הצבה ופתרו: xx−2=4\frac{x}{x - 2} = 4. מה הפתרון?

  1. אין פתרון
  2. x=8x = 8
  3. x=83x = \frac{8}{3}
  4. x=2x = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x=83x = \frac{8}{3}

הפתרון:

x≠2x \neq 2

תחום ההצבה

x=4(x−2)x = 4(x - 2)

כופלים ב-(x−2)(x - 2)

x=4x−8  ⇒  3x=8\begin{aligned}x &= 4x - 8 \;\Rightarrow\; 3x \\ &= 8\end{aligned}

פותחים סוגריים

x=83x = \frac{8}{3}

והוא בתחום — 83≠2\frac{8}{3} \neq 2

התשובה לא חייבת להיות מספר שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

רשמו תחום הצבה ופתרו:

x−9x=56\frac{x - 9}{x} = \frac{5}{6}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

x≠0x \neq 0

תחום ההצבה

6(x−9)=5x6(x - 9) = 5x

כופלים ב-6x6x (כפל בהצלבה)

6x−54=5x6x - 54 = 5x

פותחים סוגריים

x=54x = 54

והוא בתחום ✓

בדיקה: 4554=56\frac{45}{54} = \frac{5}{6} ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

רשמו תחום הצבה ופתרו (אפשר לענות במספר עשרוני):

2−x2x−5=13\frac{2 - x}{2x - 5} = \frac{1}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.2

הפתרון:

2x−5≠0  ⇒  x≠2.52x - 5 \neq 0 \;\Rightarrow\; x \neq 2.5

תחום ההצבה

3(2−x)=2x−53(2 - x) = 2x - 5

כפל בהצלבה

6−3x=2x−56 - 3x = 2x - 5

פותחים סוגריים

11=5x  ⇒  x=2.2\begin{aligned}11 &= 5x \;\Rightarrow\; x \\ &= 2.2\end{aligned}

ו-2.2≠2.52.2 \neq 2.5 ✓

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

מה הפתרון של 6x=6x−3\frac{6}{x} = \frac{6}{x - 3}?

  1. x=3x = 3
  2. אין פתרון
  3. כל מספר חוץ מ-0 ו-3
  4. x=0x = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אין פתרון

הפתרון:

x≠0,  x≠3x \neq 0, \; x \neq 3

תחום ההצבה

6(x−3)=6x6(x - 3) = 6x

כפל בהצלבה

6x−18=6x  ⇒  −18=0\begin{aligned}6x - 18 &= 6x \;\Rightarrow\; -18 \\ &= 0\end{aligned}

ה-xx נעלם — שוויון שקרי

שני שברים עם אותו מונה ומכנים שונים לעולם אינם שווים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

מה הפתרון של 4x+16x+4=4\frac{4x + 16}{x + 4} = 4?

  1. כל מספר
  2. אין פתרון
  3. כל מספר חוץ מ-(−4)(-4)
  4. x=4x = 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כל מספר חוץ מ-(−4)(-4)

הפתרון:

x≠−4x \neq -4

תחום ההצבה

4x+16=4(x+4)4x + 16 = 4(x + 4)

כופלים ב-(x+4)(x + 4)

4x+16=4x+164x + 16 = 4x + 16

שוויון שנכון תמיד

כל מספר מקיים את המשוואה — חוץ מ-(−4)(-4), שמאפס את המכנה. בלי תחום ההצבה הייתם עונים «כל מספר», וזו טעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

רשמו תחום הצבה ופתרו: 6x−2=12x\frac{6}{x - 2} = \frac{1}{2x}

  1. x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; x=211x = \frac{2}{11}
  2. x≠2x \neq 2 ; x=−211x = -\frac{2}{11}
  3. x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; x=−211x = -\frac{2}{11}
  4. x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; אין פתרון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2 ; x=−211x = -\frac{2}{11}

הפתרון:

x≠0,  x≠2x \neq 0, \; x \neq 2

שני מכנים — שני ערכים אסורים

12x=x−212x = x - 2

כפל בהצלבה

11x=−2  ⇒  x=−211\begin{aligned}11x &= -2 \;\Rightarrow\; x \\ &= -\frac{2}{11}\end{aligned}

והוא בתחום ✓

תחום ההצבה כולל את כל המכנים — גם את 2x2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

x=3x = 3 יכול להיות פתרון של המשוואה 5x−3=1\frac{5}{x - 3} = 1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

x−3=0  ⇒  x=3\begin{aligned}x - 3 &= 0 \;\Rightarrow\; x \\ &= 3\end{aligned}

הערך שמאפס את המכנה — הוא מחוץ לתחום

ב-x=3x = 3 המכנה מתאפס, ולכן x=3x = 3 מחוץ לתחום ההצבה — הוא לעולם לא פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת