איך מוכיחים שווה שוקיים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

עד עכשיו ידענו שהמשולש שווה שוקיים והסקנו ממנו מסקנות. עכשיו הכיוון הפוך: יש לנו משולש, ואנחנו צריכים להוכיח שהוא שווה שוקיים.

המשפט ההפוך

הדרך השנייה היא המשפט ההפוך לתכונה שלמדנו. כאן קובעים את הזוויות — ובודקים מה קורה לצלעות.

AB=AC⇒∠B=∠C\begin{aligned}AB &= AC \Rightarrow \angle B \\ &= \angle C\end{aligned}

התכונה: מהצלעות השוות אל הזוויות.

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

המשפט ההפוך: מהזוויות השוות אל הצלעות שמולן.

זה לא מובן מאליו! ברוב המשפטים בגאומטריה הכיוון ההפוך אינו נכון אוטומטית — צריך להוכיח אותו בנפרד. כאן שני הכיוונים אכן הוכחו, ולכן שניהם מותרים כנימוק.

במשולש ABCABC נתון ∠A=∠B\angle A = \angle B. אילו צלעות שוות?

להציג את התשובה והפתרון

הצלעות מול הזוויות השוות: BCBC מול ∠A\angle A, ו-ACAC מול ∠B\angle B. לכן BC=ACBC = AC, וקדקוד הראש הוא CC.

הוכחה לדוגמה

במשולש ABCABC נתון ש-∠B=∠C\angle B = \angle C. הוכיחו שהגובה מ-AA חוצה את BCBC.

∠B=∠C\angle B = \angle C

להציג את התשובה והפתרון

נתון

△ABC\triangle ABC שווה שוקיים, AB=ACAB = AC

להציג את התשובה והפתרון

משולש שבו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים

נעביר גובה ADAD אל BCBC

להציג את התשובה והפתרון

בנייה

∠ADB=∠ADC=90°\angle ADB = \angle ADC = 90°

להציג את התשובה והפתרון

ADAD גובה, לפי הבנייה

AD=ADAD = AD

להציג את התשובה והפתרון

צלע משותפת

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

להציג את התשובה והפתרון

משפט חפיפה צ.צ.ז — הזווית הישרה מול הצלע הגדולה, ABAB

BD=DCBD = DC

להציג את התשובה והפתרון

צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

שימו לב לשלב השני: משם והלאה מותר לנו להשתמש בכל התכונות של שווה שוקיים, כי כבר הוכחנו שהוא כזה. זה הרגע שבו ההוכחה נפתחת.

הטעות הלוגית של הפרק.

נראה שווה שוקיים בציור\text{נראה שווה שוקיים בציור}
נובע מנתון או ממשפט\text{נובע מנתון או ממשפט}

ציור אינו נימוק. שני קטעים שנראים שווים על הדף יכולים להיות שונים ב-2 מילימטרים — והוכחה חייבת להיות נכונה לכל ציור אפשרי.

במשולש שתי זוויות שוות. מה אפשר להסיק על הצלעות?

להציג את התשובה והפתרון

הצלעות שמול הזוויות השוות שוות — המשולש שווה שוקיים. זה המשפט ההפוך, וגם הוא כלי הוכחה.

שלושה קטעים, שלוש חפיפות

כמעט כל הוכחה בפרק מעבירה קטע אחד מ-AA אל הבסיס. איזה קטע — זה מה שקובע את משפט החפיפה.

מעבירים במשולש שווה שוקיים את התיכון לבסיס. לפי איזה משפט שני המשולשים חופפים?

להציג את התשובה והפתרון

צ.צ.צ: AB=ACAB = AC (נתון), BD=DCBD = DC (תיכון), ו-ADAD משותפת. מהחפיפה: התיכון הוא גם גובה וגם חוצה זווית.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש הוכח ש-∠B=∠C\angle B = \angle C. מה אפשר להסיק?

  1. המשולש שווה צלעות
  2. המשולש ישר זווית
  3. אי אפשר להסיק דבר
  4. המשולש שווה שוקיים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד המשולש שווה שוקיים

הפתרון:

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

משפט: שתי זוויות שוות — משולש שווה שוקיים

זה המשפט ההפוך, והוא נימוק חוקי בהוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איזה נימוק אינו מספיק כדי להוכיח שמשולש שווה שוקיים?

  1. שתי צלעות שוות
  2. חפיפה שמובילה לשוויון צלעות
  3. הצלעות נראות שוות בציור
  4. שתי זוויות שוות
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הצלעות נראות שוות בציור

הפתרון:

ציור אינו נימוק\text{ציור אינו נימוק}

מדידה אינה הוכחה

הוכחה חייבת להיות נכונה לכל ציור אפשרי, לא רק לזה שעל הדף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש שווה שוקיים העבירו את הגובה לבסיס. אילו שני משולשים נוצרו?

  1. משולש ומרובע
  2. שני משולשים שווי שוקיים
  3. שני משולשים דומים אך לא חופפים
  4. שני משולשים חופפים ישרי זווית
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד שני משולשים חופפים ישרי זווית

הפתרון:

∠ADB=∠ADC=90∘\begin{aligned}\angle ADB &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

כי ADAD גובה

AB=AC AD=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ AD &= AD\end{aligned}

נתון, וצלע משותפת

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

לפי צ.צ.ז — הזווית הישרה מול ABAB, הצלע הגדולה

זו התבנית של כמעט כל הוכחה בפרק: מעבירים את הגובה, ומקבלים חפיפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים הבסיס אורכו 14, והגובה אליו חוצה אותו. מהו אורך כל חלק?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

14:2=714 : 2 = 7

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

רק במשולש שווה שוקיים הגובה חוצה את הבסיס. במשולש רגיל זה לא נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש נתון ששתי זוויות שוות. מה המשפט שמסיק שהוא שווה שוקיים?

  1. זוויות בסיס שוות
  2. מול זוויות שוות
  3. פיתגורס
  4. סכום זוויות 180
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מול זוויות שוות

הפתרון:

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

המשפט ההפוך

שתי זוויות שוות — ולכן הצלעות שמולן שוות. זה המשפט ההפוך לתכונת זוויות הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

להוכחת חפיפה עם צלע משותפת — איזה נימוק כותבים עליה?

  1. «צלע משותפת»
  2. «הגדרת תיכון»
  3. «נתון»
  4. לא צריך נימוק
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א «צלע משותפת»

הפתרון:

משותפת\text{משותפת}

שווה לעצמה

הקטע ADAD שייך לשני המשולשים, ולכן הוא שווה לעצמו. הנימוק הוא «צלע משותפת» — לא «נתון»: אף אחד לא נתן אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש חותך את הבסיס באורך 6 מכל צד. מהו הבסיס?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

6+6=126 + 6 = 12

החוצה הוא גם תיכון

חוצה זווית הראש הוא גם תיכון, ולכן DD אמצע הבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מה מוכיחים כדי להראות ששני קטעים שווים?

  1. שהם מקבילים
  2. שהם נראים שווים
  3. שהם צלעות מתאימות במשולשים חופפים
  4. ששניהם אלכסונים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שהם צלעות מתאימות במשולשים חופפים

הפתרון:

≅\cong

חפיפה — ואז צל״ח

צל״ח: צלעות מתאימות במשולשים חופפים — שוות. הכלי המרכזי של השנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABCDE
המשולשים ABEABE ו-ACDACD חולקים את הזווית AA.

נתון AB = AC והזווית A משותפת לשני משולשים קטנים בתוך הגדול. איזה תנאי חפיפה מזמין?

  1. צ.צ.צ
  2. ז.צ.ז
  3. אין חפיפה
  4. צ.ז.צ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד צ.ז.צ

הפתרון:

צלע-זווית-צלע\text{צלע-זווית-צלע}

הזווית בין שתי הצלעות

AB=ACAB = AC, AE=ADAE = AD, והזווית AA ביניהן בשני המשולשים: צלע, זווית, צלע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בהוכחה בת 5 שורות — כמה נימוקים צריך?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

55

נימוק לכל שורה

שורה בלי נימוק — ניחוש, לא הוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCD
המשולש שווה שוקיים, ו-ADAD יורד מהקודקוד אל אמצע הבסיס.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD הוא התיכון לבסיס BCBC. הוכיחו: AD⊥BCAD \perp BC.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD תיכון לבסיס BCBC

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. BD=DCBD = DC — ADAD תיכון — הגדרת תיכון
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠ADB=∠ADC\angle ADB = \angle ADC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים (זמ״ח)
  6. ∠ADB+∠ADC=180∘\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ — זוויות צמודות
  7. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — שתי זוויות שוות שסכומן 180
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

ABCD
ADAD מחלק את זווית הראש לשתי זוויות שוות.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את זווית AA. הוכיחו: BD=DCBD = DC.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

BD=DCBD = DC

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — ADAD חוצה זווית — הגדרת חוצה זווית
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. BD=DCBD = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

ABCD
זוויות הבסיס שוות, ו-ADAD חוצה את זווית הראש.

במשולש ABCABC נתון ∠B=∠C\angle B = \angle C, ו-ADAD חוצה את הזווית AA. הוכיחו: BD=DCBD = DC.

  • ∠B=∠C\angle B = \angle C
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

BD=DCBD = DC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠B=∠C\angle B = \angle C — נתון
  2. AB=ACAB = AC — מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  3. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — נתון — ADAD חוצה זווית
  4. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן
  6. BD=DCBD = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ABCD
ADAD גם תיכון וגם גובה.

במשולש ABCABC הנקודה DD היא אמצע BCBC, ו-AD⊥BCAD \perp BC. הוכיחו: AB=ACAB = AC — המשולש שווה שוקיים.

  • DD אמצע BCBC
  • AD⊥BCAD \perp BC

AB=ACAB = AC

להציג את התשובה והפתרון
  1. BD=DCBD = DC — נתון — DD אמצע BCBC
  2. ∠ADB=∠ADC\angle ADB = \angle ADC — נתון — AD⊥BCAD \perp BC, ושתיהן 90°90°
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן
  5. AB=ACAB = AC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

ABCD

במשולש ABCABC התיכון ADAD לצלע BCBC מאונך לה. לכן AB=ACAB = AC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

BD=DC ∠ADB=∠ADC AD=AD\begin{aligned}BD &= DC \\ \ \angle ADB &= \angle ADC \\ \ AD &= AD\end{aligned}

שני זוגות צלעות והזווית שביניהן

△ABD≅△ACD⇒AB=AC\triangle ABD \cong \triangle ACD \Rightarrow AB = AC

צ.ז.צ, ואז צלעות מתאימות

הטענה נכונה. תיכון שהוא גם גובה מוכיח שהמשולש שווה שוקיים — זו דרך שלישית להגיע לשוויון הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ABCD

במשולש ABCABC נתון ∠B=∠C\angle B = \angle C, ו-ADAD תיכון לצלע BCBC. סדרו את שורות ההוכחה ש-AD⊥BCAD \perp BC.

  • ∠B=∠C\angle B = \angle C — נתון
  • AB=ACAB = AC — מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  • AD⊥BCAD \perp BC — במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה
  • המשולש שווה שוקיים, ו-ADAD תיכון לבסיס
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠B=∠C\angle B = \angle C — נתון · AB=ACAB = AC — מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות · המשולש שווה שוקיים, ו-ADAD תיכון לבסיס · AD⊥BCAD \perp BC — במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה

הפתרון:

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

קודם המשפט ההפוך

AB=AC⇒AD⊥BCAB = AC \Rightarrow AD \perp BC

ורק אחר כך תכונות שווה השוקיים

אי אפשר להשתמש בתכונות של שווה שוקיים לפני שהוכחנו שהמשולש כזה. לכן המשפט ההפוך בא ראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את זווית הראש. יואב הוכיח ש-BD=DCBD = DC. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

AB=AC(נתון)AB = AC \quad (\text{נתון})
∠BAD=∠CAD(חוצה זווית)\angle BAD = \angle CAD \quad (\text{חוצה זווית})
AD=AD(צלע משותפת)AD = AD \quad (\text{צלע משותפת})
△ABD≅△ACD(צ.צ.צ)\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ})
BD=DC(צלעות מתאימות)BD = DC \quad (\text{צלעות מתאימות})
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: △ABD≅△ACD(צ.צ.צ)\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ}) → △ABD≅△ACD(צ.ז.צ)\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.ז.צ})

הפתרון:

AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ \angle BAD &= \angle CAD \\ \ AD &= AD\end{aligned}

שתי צלעות והזווית שביניהן

יואב ידע רק שתי צלעות שוות, ABAB ו-ADAD, וזווית אחת. צ.צ.צ דורש שלוש צלעות — וזה בדיוק מה שצריך להוכיח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

במשולש ABCABC נתון ∠B=∠C=65°\angle B = \angle C = 65°, ו-AB=9AB = 9 ס״מ. מהו אורך ACAC, בס״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

AC=9AC = 9

אין כאן מה לחשב: המשפט ההפוך נותן את השוויון ישירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

במשולש ABCABC נתון ∠A=40°\angle A = 40° ו-∠B=70°\angle B = 70°. אילו צלעות שוות?

  1. AC=BCAC = BC
  2. AB=BCAB = BC
  3. אין צלעות שוות
  4. AB=ACAB = AC
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד AB=ACAB = AC

הפתרון:

∠C=180−40−70=70∘\begin{aligned}\angle C &= 180 - 40 - 70 \\ &= 70^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

∠B=∠C⇒AC=AB\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AC \\ &= AB\end{aligned}

ACAC מול ∠B\angle B, ו-ABAB מול ∠C\angle C

הצלעות השוות הן אלה שמול הזוויות השוות — לא אלה שיוצאות מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת