מציאת משוואת הישר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

כל פונקציה קווית נראית כך: y=mx+by = mx + b. כדי לכתוב משוואה של ישר צריך שני מספרים: השיפוע mm והקבוע bb. בלי אחד מהם — אין משוואה.

y=mx+by = mx + b

המצב הראשון: נתונים שיפוע ונקודה

את mm כבר יש לנו. חסר רק bb. הנקודה נמצאת על הישר, ולכן היא מקיימת את המשוואה. מציבים אותה ופותרים משוואה פשוטה.

דוגמה

ישר בעל שיפוע m=3m = 3 עובר דרך הנקודה (2,11)(2, 11). מצאו את משוואתו.

y=3x+by = 3x + b

כותבים את הצורה הכללית עם השיפוע הידוע

11=3⋅2+b11 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה: x=2, y=11

11=6+b11 = 6 + b

מחשבים

b=5b = 5

ומבודדים

y=3x+5y = 3x + 5

זו המשוואה

המצב השני: נתונות שתי נקודות

כאן חסרים גם mm וגם bb. לכן עובדים בשני שלבים:

שלב 1: מוצאים את mm בנוסחה של שתי נקודות.

שלב 2: ממשיכים בדיוק כמו במצב הראשון.

דוגמה

מצאו את משוואת הישר העובר דרך A(1,5)A(1, 5) ו-B(3,11)B(3, 11).

m=11−53−1=62=3\begin{aligned}m &= \frac{11 - 5}{3 - 1} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

5=3⋅1+b5 = 3 \cdot 1 + b

שלב 2 — מציבים אחת מהנקודות

b=2b = 2

ומבודדים

y=3x+2y = 3x + 2

זו המשוואה

בדיקה של עשר שניות: הציבו את הנקודה השנייה במשוואה שקיבלתם. השוויון לא מתקיים? יש טעות באחד השלבים.

קיצור דרך שנראה הגיוני ואינו נכון.

y=3xy = 3x
y=3x+2y = 3x + 2

שיפוע לבדו אינו מגדיר ישר — הוא מגדיר כיוון. יש אינסוף ישרים בשיפוע 3, אחד מעל השני. bb הוא מה שבוחר ביניהם.

התרגיל המלא — משתי נקודות ועד המשוואה

מקרים מיוחדים — בלי חישוב ארוך

יש תרגילים שנפתרים בשורה אחת, אם מזהים את המקרה. ישר מקביל לישר נתון? יש לו אותו mm, ונשאר רק למצוא את bb. ויש גם שני מקרים קיצוניים:

y=5xy = 5x

שיפוע 5 דרך ראשית הצירים — b=0b = 0 מיידית

y=3y = 3

מקביל לציר ה-xx דרך (−1,3)(-1, 3) — שיפוע אפס, גובה קבוע

x=−7x = -7

מקביל לציר ה-yy דרך (−7,−13)(-7, -13) — זו אינה פונקציה כלל, כותבים x=x = קבוע

ישר בשיפוע 2 עובר דרך (1,7)(1, 7). מהו bb?

להציג את התשובה והפתרון

מציבים: 7=2⋅1+b7 = 2 \cdot 1 + b, ולכן b=5b = 5. המשוואה: y=2x+5y = 2x + 5.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(1, 5)B(3, 11)A(1,\, 5) \quad B(3,\, 11)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

m=62=3\begin{aligned}m &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

5=3⋅(1)+b5 = 3 \cdot (1) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=2b = 2

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=3x+2y = 3x + 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(0, −2)B(4, 6)A(0,\, -2) \quad B(4,\, 6)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

m=84=2\begin{aligned}m &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

−2=2⋅(0)+b-2 = 2 \cdot (0) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=−2b = -2

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=2x−2y = 2x - 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(−1, 3)B(2, −3)A(-1,\, 3) \quad B(2,\, -3)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

m=−63=−2\begin{aligned}m &= \frac{-6}{3} \\ &= -2\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

3=−2⋅(−1)+b3 = -2 \cdot (-1) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=1b = 1

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=−2x+1y = -2x + 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את הקבוע bb של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(2, 1)B(5, 7)A(2,\, 1) \quad B(5,\, 7)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

m=63=2\begin{aligned}m &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

שלב 1 — השיפוע

1=2⋅(2)+b1 = 2 \cdot (2) + b

שלב 2 — מציבים את הנקודה A

b=−3b = -3

ומבודדים

המשוואה המלאה היא y=2x−3y = 2x - 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ישר בעל שיפוע 3 עובר דרך הנקודה (2,11)(2, 11). מהו הקבוע bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

11=3⋅2+b11 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה

b=5b = 5

ומבודדים

המשוואה המלאה: y=3x+5y = 3x + 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ישר בעל שיפוע −2-2 עובר דרך הנקודה (3,1)(3, 1). מהו הקבוע bb?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

1=−2⋅3+b1 = -2 \cdot 3 + b

מציבים

1=−6+b1 = -6 + b

מחשבים

b=7b = 7

ומבודדים

שיפוע שלילי אינו אומר ש-b שלילי. אלה שני מספרים בלתי תלויים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

כמה נתונים דרושים כדי לכתוב משוואה של ישר?

  1. אחד — השיפוע
  2. אחד — נקודה כלשהי עליו
  3. שניים — שיפוע וקבוע
  4. שלושה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שניים — שיפוע וקבוע

הפתרון:

y=mx+by = mx + b

שני מספרים בלתי ידועים

שיפוע לבדו מגדיר כיוון, ונקודה לבדה מגדירה מיקום. צריך את שניהם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

איך בודקים במהירות שמשוואת הישר שמצאנו נכונה?

  1. אין דרך לבדוק
  2. מציבים בה את הנקודה השנייה ורואים שהיא מתקיימת
  3. בודקים שהשיפוע חיובי
  4. בודקים ש-bb שלם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מציבים בה את הנקודה השנייה ורואים שהיא מתקיימת

הפתרון:

y2=?mx2+by_2 \stackrel{?}{=} m x_2 + b

הנקודה חייבת לשבת על הישר

הבדיקה תופסת גם טעות בשיפוע וגם טעות ב-b, בעשר שניות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 5 והעובר דרך ראשית הצירים.

  1. y=x+5y = x + 5
  2. y=5x+5y = 5x + 5
  3. y=5xy = 5x
  4. y=5y = 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=5xy = 5x

הפתרון:

m=5    (0,0)⇒b=0\begin{aligned}m &= 5 \\ \;\; (0, 0) \Rightarrow b &= 0\end{aligned}

דרך הראשית פירושו b=0b = 0

ראשית הצירים היא הנקודה (0,0)(0,0) — ומציבים: 0=5⋅0+b0 = 5 \cdot 0 + b, כלומר b=0b = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

מצאו את משוואת הישר ששיפועו 0 והעובר דרך הנקודה (−7,−2)(-7, -2).

  1. x=−7x = -7
  2. y=−2y = -2
  3. y=−7y = -7
  4. y=−2xy = -2x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=−2y = -2

הפתרון:

m=0⇒y=b\begin{aligned}m &= 0 \Rightarrow y \\ &= b\end{aligned}

ישר אופקי

y=−2y = -2

הגובה של הנקודה — ה-yy שלה

שיפוע אפס = הישר לא עולה ולא יורד. ה-xx של הנקודה לא משנה כלום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

הישר עובר דרך (2,7)(2, 7) ומקביל לישר y=3x+2y = 3x + 2. מצאו את bb במשוואתו y=3x+by = 3x + b.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

m=3m = 3

מקבילים — אותו שיפוע

7=3⋅2+b7 = 3 \cdot 2 + b

מציבים את הנקודה

b=1b = 1

ולכן y=3x+1y = 3x + 1

המילה «מקביל» נותנת את mm בחינם. כל העבודה היא שורת הצבה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מצאו את משוואת הישר העובר דרך (2,4)(2, 4) והמקביל לישר y=−5x+7y = -5x + 7.

  1. y=−5x−6y = -5x - 6
  2. y=−5x+14y = -5x + 14
  3. y=−5x+7y = -5x + 7
  4. y=5x−6y = 5x - 6
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=−5x+14y = -5x + 14

הפתרון:

m=−5m = -5

מקבילים

4=−5⋅2+b⇒b=14\begin{aligned}4 &= -5 \cdot 2 + b \Rightarrow b \\ &= 14\end{aligned}

הצבה

מי שבחר y=−5x+7y = -5x + 7 העתיק את הישר הנתון — אבל הוא לא עובר דרך (2,4)(2,4): −10+7=−3≠4-10+7=-3 \neq 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מצאו את משוואת הישר העובר דרך ראשית הצירים והמקביל לישר y=−2x+5y = -2x + 5.

  1. y=−2y = -2
  2. y=5xy = 5x
  3. y=−2xy = -2x
  4. y=−2x+5y = -2x + 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=−2xy = -2x

הפתרון:

m=−2    b=0\begin{aligned}m &= -2 \\ \;\; b &= 0\end{aligned}

מקביל + דרך הראשית

שני הנתונים מתרגמים ישירות: מקביל = אותו mm, ראשית = b=0b = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

רשמו את משוואת הישר העובר דרך (−1,3)(-1, 3) והמקביל לציר ה-xx.

  1. x=−1x = -1
  2. y=−x+3y = -x + 3
  3. y=3y = 3
  4. y=3xy = 3x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=3y = 3

הפתרון:

y=3y = 3

ישר אופקי — כל הנקודות בגובה 3

מקביל לציר ה-xx = שיפוע אפס = yy קבוע. לוקחים את ה-yy של הנקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

רשמו את משוואת הישר העובר דרך (−7,−13)(-7, -13) והמקביל לציר ה-yy.

  1. x=−13x = -13
  2. x=−7x = -7
  3. y=−13y = -13
  4. y=−7y = -7
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=−7x = -7

הפתרון:

x=−7x = -7

ישר אנכי — כל הנקודות עם אותו xx

ישר אנכי אינו פונקציה — אין לו mm ואין לו bb. כותבים פשוט x=x = הערך הקבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

הישר עובר דרך A(1,8)A(1, 8) ו-B(2,10)B(2, 10). מצאו את bb במשוואתו y=mx+by = mx + b.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

m=10−82−1=2\begin{aligned}m &= \dfrac{10 - 8}{2 - 1} \\ &= 2\end{aligned}

השיפוע משתי הנקודות

8=2⋅1+b⇒b=6\begin{aligned}8 &= 2 \cdot 1 + b \Rightarrow b \\ &= 6\end{aligned}

הצבת AA

y=2x+6y = 2x + 6

המשוואה המלאה

והאם (2,2)(2, 2) על הישר? מציבים: 2⋅2+6=10≠22 \cdot 2 + 6 = 10 \neq 2 — לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

לישר y=2x+6y = 2x + 6 — מהן נקודות החיתוך עם הצירים?

  1. (0,6)(0, 6) עם ציר yy · (−3,0)(-3, 0) עם ציר xx
  2. (0,2)(0, 2) ו-(−6,0)(-6, 0)
  3. (0,6)(0, 6) ו-(3,0)(3, 0)
  4. (6,0)(6, 0) עם ציר yy · (0,−3)(0, -3) עם ציר xx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (0,6)(0, 6) עם ציר yy · (−3,0)(-3, 0) עם ציר xx

הפתרון:

x=0⇒y=6\begin{aligned}x &= 0 \Rightarrow y \\ &= 6\end{aligned}

חיתוך עם ציר yy — מציבים אפס

y=0⇒2x+6=0⇒x=−3\begin{aligned}y &= 0 \Rightarrow 2x + 6 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -3\end{aligned}

חיתוך עם ציר xx — משווים לאפס

ציר yy: מציבים x=0x=0 (מקבלים את bb!). ציר xx: פותרים y=0y=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת