שיפוע משתי נקודות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

עד עכשיו השיפוע היה כתוב לנו במשוואה. עכשיו נקבל שתי נקודות, ונמצא את השיפוע בעצמנו. זו הנוסחה:

m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

הנוסחה אומרת מה שכבר למדנו: כמה עולים, חלקי כמה זזים ימינה. למעלה (במונה) — ההפרש בגובה. למטה (במכנה) — ההפרש במרחק.

דוגמה

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך A(2,3)A(2, 3) ו-B(6,11)B(6, 11).

m=11−36−2m = \frac{11 - 3}{6 - 2}

מציבים: המונה הוא הפרש ה-y, המכנה הפרש ה-x

m=84=2\begin{aligned}m &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

מחשבים — השיפוע הוא 2

הסדר — כאן נופלים

מותר להתחיל מכל נקודה. אבל אותה נקודה צריכה להיות ראשונה גם במונה וגם במכנה. החלפתם את הסדר למעלה? החליפו גם למטה.

הטעות היחידה שבאמת חוזרת בפרק הזה.

m=y2−y1x1−x2m = \frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}
m=y2−y1x2−x1m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

החלפה במכנה בלבד הופכת את הסימן: במקום שיפוע 2 מקבלים 2−, כלומר ישר שיורד במקום שעולה.

שני מקרים מיוחדים

m=0m = 0

שתי הנקודות באותו גובה — המונה 0. הישר אופקי, מקביל לציר ה-x.

x1=x2x_1 = x_2

שתי הנקודות זו מעל זו — המכנה 0. לישר אנכי אין שיפוע בכלל, כי אי אפשר לחלק באפס.

מה מספיק כדי לקבוע ישר יחיד?

להציג את התשובה והפתרון

שתי נקודות — או נקודה ושיפוע. משתי נקודות מחשבים קודם את השיפוע.

דוגמה שנייה — הפעם השיפוע שלילי

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך A(1,9)A(1, 9) ו-B(4,3)B(4, 3).

m=3−94−1m = \frac{3 - 9}{4 - 1}

אותו סדר למעלה ולמטה: B פחות A

m=−63=−2\begin{aligned}m &= \frac{-6}{3} \\ &= -2\end{aligned}

השיפוע שלילי — הישר יורד

חישבתם שיפוע וקיבלתם מספר שלילי. מה זה אומר על הישר — ואיך בודקים שלא טעיתם בסדר?

להציג את התשובה והפתרון

הישר יורד משמאל לימין. הבדיקה: מסתכלים על שתי הנקודות — אם כשמתקדמים ימינה ה-y קטן, השיפוע חייב לצאת שלילי. חישוב שסותר את הציור — טעות סדר.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(2, 3)B(6, 11)A(2,\, 3) \quad B(6,\, 11)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

m=11−(3)6−(2)m = \frac{11 - (3)}{6 - (2)}

מציבים בנוסחה — הפרש ה-y למעלה

m=84=2\begin{aligned}m &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

ומחשבים

שימו לב שהתחלנו מ-B בשני המקומות. אילו התחלנו מ-A בשניהם — אותה תשובה בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(−2, −1)B(3, 4)A(-2,\, -1) \quad B(3,\, 4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

m=4−(−1)3−(−2)m = \frac{4 - (-1)}{3 - (-2)}

מציבים בנוסחה — הפרש ה-y למעלה

m=55=1\begin{aligned}m &= \frac{5}{5} \\ &= 1\end{aligned}

ומחשבים

שימו לב שהתחלנו מ-B בשני המקומות. אילו התחלנו מ-A בשניהם — אותה תשובה בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(0, 5)B(4, 1)A(0,\, 5) \quad B(4,\, 1)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

m=1−(5)4−(0)m = \frac{1 - (5)}{4 - (0)}

מציבים בנוסחה — הפרש ה-y למעלה

m=−44=−1\begin{aligned}m &= \frac{-4}{4} \\ &= -1\end{aligned}

ומחשבים

שימו לב שהתחלנו מ-B בשני המקומות. אילו התחלנו מ-A בשניהם — אותה תשובה בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(−3, 2)B(1, 10)A(-3,\, 2) \quad B(1,\, 10)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

m=10−(2)1−(−3)m = \frac{10 - (2)}{1 - (-3)}

מציבים בנוסחה — הפרש ה-y למעלה

m=84=2\begin{aligned}m &= \frac{8}{4} \\ &= 2\end{aligned}

ומחשבים

שימו לב שהתחלנו מ-B בשני המקומות. אילו התחלנו מ-A בשניהם — אותה תשובה בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(1, 4)B(5, 4)A(1,\, 4) \quad B(5,\, 4)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0

הפתרון:

m=4−(4)5−(1)m = \frac{4 - (4)}{5 - (1)}

מציבים בנוסחה — הפרש ה-y למעלה

m=04=0\begin{aligned}m &= \frac{0}{4} \\ &= 0\end{aligned}

ומחשבים

שימו לב שהתחלנו מ-B בשני המקומות. אילו התחלנו מ-A בשניהם — אותה תשובה בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מצאו את השיפוע של הישר העובר דרך שתי הנקודות:

A(−4, −3)B(2, 6)A(-4,\, -3) \quad B(2,\, 6)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

m=6−(−3)2−(−4)m = \frac{6 - (-3)}{2 - (-4)}

מציבים בנוסחה — הפרש ה-y למעלה

m=96=1.5\begin{aligned}m &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

ומחשבים

שימו לב שהתחלנו מ-B בשני המקומות. אילו התחלנו מ-A בשניהם — אותה תשובה בדיוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מה קורה כאשר שתי הנקודות הן (3,1)(3, 1) ו-(3,7)(3, 7)?

  1. השיפוע הוא 1
  2. השיפוע הוא 6
  3. השיפוע הוא 0
  4. המכנה יוצא 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד המכנה יוצא 0

הפתרון:

x2−x1=3−3=0\begin{aligned}x_2 - x_1 &= 3 - 3 \\ &= 0\end{aligned}

ואי אפשר לחלק באפס

שיפוע 0 זה משהו אחר לגמרי — ישר אופקי, שבו המונה הוא שמתאפס. לישר אנכי אין שיפוע

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

תלמיד חישב m=y2−y1x1−x2m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}. מה תהיה התוצאה?

  1. תמיד 0
  2. תמיד 1
  3. השיפוע הנכון, אבל עם סימן הפוך
  4. בדיוק השיפוע הנכון
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג השיפוע הנכון, אבל עם סימן הפוך

הפתרון:

y2−y1x1−x2=−y2−y1x2−x1\frac{y_2-y_1}{x_1-x_2} = -\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

המכנה התהפך ולכן הסימן התהפך

ישר עולה יהפוך לישר יורד. זו טעות שקל לפספס כי המספר עצמו נראה נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שיפוע הישר דרך (1,2)(1, 2) ו-(4,11)(4, 11)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

11−24−1=3\frac{11-2}{4-1} = 3

השיפוע הוא הפרש ה-yy חלקי הפרש ה-xx, ושני ההפרשים נלקחים באותו סדר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שיפוע דרך (0,5)(0, 5) ו-(2,1)(2, 1)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -2

הפתרון:

1−52−0=−2\frac{1-5}{2-0} = -2

יורד

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת