תחומי חיוביות ושליליות

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

עד עכשיו מצאנו נקודות. עכשיו נשאל על תחומים: לאילו ערכי xx הישר מעל ציר ה-x, ולאילו הוא מתחת לו?

y>0y > 0

תחום חיוביות — הישר נמצא מעל ציר ה-x.

y<0y < 0

תחום שליליות — הישר נמצא מתחת לציר ה-x.

נקודה אחת מפרידה בין שני התחומים: נקודת החיתוך עם ציר ה-x, שבה y=0y = 0. בצד אחד שלה הישר מעל הציר, ובצד השני — מתחתיו.

הנקודה עצמה לא שייכת לאף תחום: שם y=0y = 0, ואפס אינו חיובי ואינו שלילי. לכן כותבים << או >>, ולא ≤\le או ≥\ge.

לראות את זה

שימו לב: התשובה היא לא תמיד «חיובי מימין, שלילי משמאל». היא תלויה בסימן של השיפוע.

m>0m > 0

ישר עולה: מתחיל למטה ועולה. לכן שלילי משמאל לנקודה, וחיובי מימינה.

m<0m < 0

ישר יורד: מתחיל למעלה ויורד. לכן חיובי משמאל לנקודה, ושלילי מימינה.

איך רושמים את התשובה

שלב 1: מוצאים את נקודת החיתוך עם ציר ה-x — מציבים y=0y = 0 ופותרים.

שלב 2: כותבים את שני התחומים: לפני הנקודה ואחריה.

ישר עולה

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של y=2x+6y = 2x + 6.

2x+6=02x + 6 = 0

מציבים y=0y = 0

x=−3x = -3

זו נקודת החיתוך: (−3, 0)(-3,\, 0)

m=2>0m = 2 > 0

הישר עולה

x>−3x > -3

תחום חיוביות — מימין לנקודה

x<−3x < -3

תחום שליליות — משמאלה

ישר יורד

ועכשיו y=−x+3y = -x + 3.

−x+3=0-x + 3 = 0

מציבים y=0y = 0

x=3x = 3

נקודת החיתוך: (3, 0)(3,\, 0)

m=−1<0m = -1 < 0

הפעם הישר יורד

x<3x < 3

תחום חיוביות — עכשיו משמאל

x>3x > 3

תחום שליליות — מימין

בדיקה של שלוש שניות: בחרו מספר בתוך התחום והציבו. יצא yy חיובי? התחום החיובי שכתבתם נכון. למשל ב-y=−x+3y = -x + 3: מציבים x=0x = 0 ומקבלים y=3>0y = 3 > 0. ואכן 0 קטן מ-3.

לישר y=4x−8y = 4x - 8 — מהו תחום החיוביות?

להציג את התשובה והפתרון

x>2x > 2. נקודת החיתוך: 4x−8=04x - 8 = 0 נותן x=2x = 2. השיפוע חיובי, ולכן החיוביות היא מימין לנקודה.

ולישר y=−2x+10y = -2x + 10?

להציג את התשובה והפתרון

x<5x < 5. החיתוך ב-x=5x = 5, והשיפוע שלילי — ולכן החיוביות היא משמאל.

שני מקרים מיוחדים

y=3y = 3

ישר קבוע חיובי: הוא כולו מעל הציר, ולכן חיובי בכל התחום ואין לו תחום שליליות כלל.

y=−4y = -4

ישר קבוע שלילי: שלילי בכל התחום.

כשהשיפוע הוא אפס, הישר אופקי. אין לו נקודת חיתוך עם ציר ה-x, ולכן אין מה לחלק: הוא כולו באוויר (מעל הציר), או כולו מתחת למים (מתחת לציר).

שתי הטעויות של התחומים.

חיובי=מימין לנקודה, תמיד\text{חיובי} = \text{מימין לנקודה, תמיד}
תלוי בסימן של m\text{תלוי בסימן של } m

בישר יורד זה בדיוק הפוך. תמיד בודקים קודם אם השיפוע חיובי או שלילי.

x≥2x \ge 2
x>2x > 2

בנקודת החיתוך y=0y = 0, ואפס אינו חיובי. הנקודה אינה שייכת לתחום.

תרגילים

תרגיל 1

לישר y=2x+6y = 2x + 6 — מהו ערך ה-xx שמפריד בין תחום החיוביות לתחום השליליות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -3

הפתרון:

2x+6=02x + 6 = 0

מציבים y=0y = 0

x=−3x = -3

זו נקודת החיתוך עם ציר ה-x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

לישר y=2x+6y = 2x + 6 — מהו תחום החיוביות?

  1. x<0x < 0
  2. x>6x > 6
  3. x<−3x < -3
  4. x>−3x > -3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x>−3x > -3

הפתרון:

m=2>0m = 2 > 0

הישר עולה

x>−3x > -3

ולכן חיובי מימין

בדיקה: נציב x=0x = 0 ונקבל y=6>0y = 6 > 0, ואכן 0 גדול מ-3−.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

לישר y=−x+3y = -x + 3 — מהו תחום החיוביות?

  1. x<−3x < -3
  2. x>0x > 0
  3. x<3x < 3
  4. x>3x > 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x<3x < 3

הפתרון:

m=−1<0m = -1 < 0

הישר יורד

x<3x < 3

ולכן חיובי משמאל

בישר יורד הכול מתהפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

לישר y=4x−8y = 4x - 8 — מהו ערך ה-xx של נקודת החיתוך עם ציר ה-x?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

4x−8=04x - 8 = 0
x=2x = 2

ומשם: חיובי ל-x>2x > 2, שלילי ל-x<2x < 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

לישר y=−2x+10y = -2x + 10 — מהו תחום השליליות?

  1. x>10x > 10
  2. x<−5x < -5
  3. x<5x < 5
  4. x>5x > 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x>5x > 5

הפתרון:

x=5x = 5

נקודת החיתוך

m<0m < 0

הישר יורד

יורד — ולכן השליליות היא מימין לנקודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

האם נקודת החיתוך עם ציר ה-x שייכת לתחום החיוביות?

  1. רק אם b>0b > 0
  2. כן, תמיד
  3. לא
  4. רק אם השיפוע חיובי
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא

הפתרון:

y=0y = 0

לא חיובי ולא שלילי

ולכן כותבים << ו->>, ולא ≤\le ו-≥\ge. שם y=0y = 0, ואפס אינו חיובי

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

לישר הקבוע y=3y = 3 — מהו תחום השליליות?

  1. כל התחום
  2. אין לו תחום שליליות
  3. x>3x > 3
  4. x<3x < 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב אין לו תחום שליליות

הפתרון:

y=3>0y = 3 > 0

בכל נקודה

ישר אופקי מעל הציר אינו יורד מתחתיו לעולם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מה קובע באיזה צד של נקודת החיתוך נמצא תחום החיוביות?

  1. הסימן של השיפוע mm
  2. הסימן של bb
  3. תמיד הצד השמאלי
  4. תמיד הצד הימני
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א הסימן של השיפוע mm

הפתרון:

m>0⇒חיובי מימיןm > 0 \Rightarrow \text{חיובי מימין}
m<0⇒חיובי משמאלm < 0 \Rightarrow \text{חיובי משמאל}

זו הטעות הנפוצה: לזכור «תמיד מימין».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

y=2x−8y = 2x - 8 — מאיזה xx הפונקציה חיובית?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

2x−8>0 , x>42x - 8 > 0 \ , \ x > 4

«חיובית» פירושו y>0y > 0: מציבים אי-שוויון במקום משוואה ופותרים כרגיל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

פונקציה יורדת שחותכת את ציר ה-x ב-x=2x=2. איפה היא חיובית?

  1. אף פעם
  2. x>2x > 2
  3. x<2x < 2
  4. תמיד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x<2x < 2

הפתרון:

↘\searrow

יורדת: חיובית לפני האפס

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת