נקודת חיתוך בין שני ישרים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

נקודת החיתוך של שני ישרים נמצאת על שניהם: יש לה אותו xx ואותו yy בשני הישרים. לכן השיטה פשוטה: משווים בין שני הביטויים.

m1x+b1=m2x+b2m_1x + b_1 = m_2x + b_2

דוגמה

מצאו את נקודת החיתוך של y=2x+1y = 2x + 1 ושל y=−x+7y = -x + 7.

2x+1=−x+72x + 1 = -x + 7

משווים בין שני ה-y

3x=63x = 6

אוספים איברים

x=2x = 2

מוצאים את ה-x של הנקודה

y=2⋅2+1=5\begin{aligned}y &= 2 \cdot 2 + 1 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים באחת המשוואות כדי לקבל את ה-y

(2,5)(2, 5)

זו נקודת החיתוך

אפשר להציב את xx באיזו משוואה שרוצים — ה-yy חייב לצאת אותו דבר. יצאו שני ערכים שונים? יש טעות בחישוב.

וכשאין נקודת חיתוך

שני ישרים מקבילים לא נפגשים אף פעם. במשוואה רואים את זה כך: ה-xx נעלם משני הצדדים, ונשאר משהו לא נכון, כמו 1=71 = 7. זו לא «טעות בתרגיל» — זו התשובה: הישרים מקבילים.

m1=m2⇒מקביליםm_1 = m_2 \quad \Rightarrow\quad \text{מקבילים}

ואם גם השיפועים וגם הקבועים שווים? אז הישרים מתלכדים: זה אותו ישר, שנכתב פעמיים. כל הנקודות שלו משותפות, ואין נקודת חיתוך אחת.

העצירה באמצע היא הטעות היקרה כאן.

x=2x = 2
(2, 5)(2,\, 5)

השאלה ביקשה נקודה, ולנקודה יש שתי קואורדינטות. מי שעוצר אחרי ה-x פתר את רוב התרגיל וקיבל חצי מהניקוד.

מה מוצאים כשמשווים שתי פונקציות קוויות זו לזו?

להציג את התשובה והפתרון

את נקודת המפגש — ה-xx שבו שני הישרים שווים בגובהם, כלומר נחתכים.

תרגילים

תרגיל 1

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך בין שני הישרים:

{y=2x+1y=−x+7\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 7 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

2x+1=−x+72x + 1 = -x + 7

משווים בין שני ה-y

3x=63x = 6

אוספים איברים

x=2x = 2

ומחלקים

ה-y מתקבל בהצבה: y=5y = 5, ולכן הנקודה היא (2, 5)(2,\, 5).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ומהו שיעור ה-yy של אותה נקודת חיתוך?

{y=2x+1y=−x+7\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 7 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

x=2x = 2

מהסעיף הקודם

y=2⋅(2)+1=5\begin{aligned}y &= 2 \cdot (2) + 1 \\ &= 5\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

הצבה בישר השני חייבת לתת בדיוק אותו y — זו הבדיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך בין שני הישרים:

{y=3x−2y=x+4\begin{cases} y = 3x - 2 \\ y = x + 4 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

3x−2=x+43x - 2 = x + 4

משווים בין שני ה-y

2x=62x = 6

אוספים איברים

x=3x = 3

ומחלקים

ה-y מתקבל בהצבה: y=7y = 7, ולכן הנקודה היא (3, 7)(3,\, 7).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ומהו שיעור ה-yy של אותה נקודת חיתוך?

{y=3x−2y=x+4\begin{cases} y = 3x - 2 \\ y = x + 4 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

x=3x = 3

מהסעיף הקודם

y=3⋅(3)−2=7\begin{aligned}y &= 3 \cdot (3) - 2 \\ &= 7\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

הצבה בישר השני חייבת לתת בדיוק אותו y — זו הבדיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך בין שני הישרים:

{y=−2x+5y=x−1\begin{cases} y = -2x + 5 \\ y = x - 1 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

−2x+5=x−1-2x + 5 = x - 1

משווים בין שני ה-y

−3x=−6-3x = -6

אוספים איברים

x=2x = 2

ומחלקים

ה-y מתקבל בהצבה: y=1y = 1, ולכן הנקודה היא (2, 1)(2,\, 1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ומהו שיעור ה-yy של אותה נקודת חיתוך?

{y=−2x+5y=x−1\begin{cases} y = -2x + 5 \\ y = x - 1 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

x=2x = 2

מהסעיף הקודם

y=−2⋅(2)+5=1\begin{aligned}y &= -2 \cdot (2) + 5 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

הצבה בישר השני חייבת לתת בדיוק אותו y — זו הבדיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת החיתוך בין שני הישרים:

{y=4x+0y=2x+6\begin{cases} y = 4x + 0 \\ y = 2x + 6 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

4x+0=2x+64x + 0 = 2x + 6

משווים בין שני ה-y

2x=62x = 6

אוספים איברים

x=3x = 3

ומחלקים

ה-y מתקבל בהצבה: y=12y = 12, ולכן הנקודה היא (3, 12)(3,\, 12).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ומהו שיעור ה-yy של אותה נקודת חיתוך?

{y=4x+0y=2x+6\begin{cases} y = 4x + 0 \\ y = 2x + 6 \end{cases}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

x=3x = 3

מהסעיף הקודם

y=4⋅(3)+0=12\begin{aligned}y &= 4 \cdot (3) + 0 \\ &= 12\end{aligned}

מציבים בישר הראשון

הצבה בישר השני חייבת לתת בדיוק אותו y — זו הבדיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מהי הפעולה הראשונה במציאת נקודת חיתוך בין שני ישרים?

  1. מציבים y=0y = 0
  2. מחשבים את השיפוע של כל אחד
  3. מחברים את שתי המשוואות
  4. משווים בין שני הביטויים של yy
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד משווים בין שני הביטויים של yy

הפתרון:

m1x+b1=m2x+b2m_1x + b_1 = m_2x + b_2

באותה נקודה שני ה-y שווים

זו בדיוק ההגדרה של «נמצאת על שני הישרים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בפתרון התקבל 1=71 = 7. מה המסקנה?

  1. יש טעות חישוב, צריך לפתור שוב
  2. נקודת החיתוך היא (1,7)(1, 7)
  3. הישרים מקבילים
  4. הישרים מתלכדים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הישרים מקבילים

הפתרון:

m1=m2m_1 = m_2

ה-x הצטמצם משני האגפים

1=7שקרי1 = 7 \quad \text{שקרי}

ולכן אין x שמקיים את המשוואה

זו תשובה מלאה, לא כישלון: «הישרים מקבילים ואין להם נקודת חיתוך». אין נקודת חיתוך

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

לשני ישרים אותו שיפוע ואותו קבוע. מה נכון?

  1. הם מקבילים ולא נפגשים
  2. הם מאונכים
  3. הם מתלכדים
  4. הם נחתכים בנקודה אחת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הם מתלכדים

הפתרון:

m1=m2b1=b2\begin{aligned}m_1 &= m_2 \\ \quad b_1 &= b_2\end{aligned}

אותה משוואה, כתובה פעמיים

לכל נקודה על הישר יש «חיתוך» — ולכן אין נקודת חיתוך יחידה. זהו ישר אחד

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 5. א. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת המפגש EE.

f(x)=x−2g(x)=−x+6\begin{aligned} f(x) &= x - 2 \\ g(x) &= -x + 6 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

x−2=−x+6x - 2 = -x + 6

משווים

x=4x = 4
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 5. ב. ומהו שיעור ה-yy שלה?

f(x)=x−2g(x)=−x+6\begin{aligned} f(x) &= x - 2 \\ g(x) &= -x + 6 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

y=2y = 2

מציבים באחת הפונקציות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 5. ג. מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה BB — נקודת האפס של gg.

f(x)=x−2g(x)=−x+6\begin{aligned} f(x) &= x - 2 \\ g(x) &= -x + 6 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

x=6x = 6

מציבים y=0y=0

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 5. ד. מצאו את שטח משולש BEDBED.

f(x)=x−2g(x)=−x+6\begin{aligned} f(x) &= x - 2 \\ g(x) &= -x + 6 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

BD=4BD = 4

בסיס על ציר ה-xx

S=4⋅22=4\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 2}{2} \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס מונח על הציר, ולכן הגובה הוא בדיוק שיעור ה-yy של EE.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 5. ה. מהי משוואת הישר המקביל לציר ה-xx ועובר דרך EE?

f(x)=x−2g(x)=−x+6\begin{aligned} f(x) &= x - 2 \\ g(x) &= -x + 6 \end{aligned}
  1. y=2y = 2
  2. x=4x = 4
  3. y=4y = 4
  4. x=2x = 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א y=2y = 2

הפתרון:

y=2y = 2

מקביל לציר ה-xx ⇐ גובה קבוע ⇐ y=y = מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 6. א. מצאו את שיעור ה-xx של נקודת המפגש EE.

f(x)=12x−3g(x)=−x+9\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2}x - 3 \\ g(x) &= -x + 9 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

12x−3=−x+9\frac{1}{2}x - 3 = -x + 9

משווים

x=8x = 8
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 6. ב. ומהו שיעור ה-yy שלה?

f(x)=12x−3g(x)=−x+9\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2}x - 3 \\ g(x) &= -x + 9 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

y=1y = 1

מציבים באחת הפונקציות

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 6. ג. מצאו את שיעור ה-xx של הנקודה BB — נקודת האפס של gg.

f(x)=12x−3g(x)=−x+9\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2}x - 3 \\ g(x) &= -x + 9 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

x=9x = 9

מציבים y=0y=0

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 6. ד. מצאו את שטח משולש BEDBED.

f(x)=12x−3g(x)=−x+9\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2}x - 3 \\ g(x) &= -x + 9 \end{aligned}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

BD=3BD = 3

בסיס על ציר ה-xx

S=3⋅12=32\begin{aligned}S &= \frac{3 \cdot 1}{2} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

הבסיס מונח על הציר, ולכן הגובה הוא בדיוק שיעור ה-yy של EE.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

לפניכם שתי הפונקציות שבשרטוט 6. ה. מהי משוואת הישר המקביל לציר ה-xx ועובר דרך EE?

f(x)=12x−3g(x)=−x+9\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2}x - 3 \\ g(x) &= -x + 9 \end{aligned}
  1. x=1x = 1
  2. y=8y = 8
  3. y=1y = 1
  4. x=8x = 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=1y = 1

הפתרון:

y=1y = 1

מקביל לציר ה-xx ⇐ גובה קבוע ⇐ y=y = מספר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת