שינויים רצופים

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כששני שינויים באים זה אחרי זה, כופלים את שני המקדמים. לא מחברים את האחוזים — וזו הטעות שהפרק כולו נועד למנוע.

סופי=מקורי×k1×k2\text{סופי} = \text{מקורי} \times k_1 \times k_2

הדוגמה שמסבירה הכול

מספר 200 גדל ב-25%, ואז המספר החדש קטן ב-25%. מה מתקבל?

200×1.25=250200 \times 1.25 = 250

העלייה

250×0.75=187.5250 \times 0.75 = 187.5

והירידה — מ-250, לא מ-200

187.5≠200187.5 \neq 200

לא חזרנו להתחלה

הסיבה פשוטה כשמסתכלים על הבסיס: ה-25% שעלו חושבו מ-200 (כלומר 50), וה-25% שירדו חושבו מ-250 (כלומר 62.5). שני אחוזים זהים על בסיסים שונים אינם אותו סכום.

1.25×0.75=0.9375  ⟹  ירידה של 6.25%1.25 \times 0.75 = 0.9375 \;\Longrightarrow\; \text{ירידה של 6.25\%}

הכפלת המקדמים נותנת מיד את התוצאה הכוללת: 0.93750.9375 פירושו 93.75% מהמקורי, כלומר ירידה של 6.25%. אין צורך לחשב שלב-שלב אם רק התוצאה הסופית מעניינת.

ובכיוון ההפוך

דוגמה

תנור במחיר 900 ש״ח התייקר ב-15%. בכמה אחוזים צריך להוריד את המחיר החדש כדי שיעלה 828 ש״ח?

900×1.15=1035900 \times 1.15 = 1035

המחיר אחרי ההתייקרות

1035−828=2071035 - 828 = 207

ההפרש שצריך לרדת

2071035×100=20\frac{207}{1035} \times 100 = 20

ביחס למחיר החדש, כי ממנו מורידים

20%20\%

זו ההנחה הדרושה

הקיצור שלא עובד.

+25% ואז −25%=0%+25\% \text{ ואז } -25\% = 0\%
1.25×0.75=0.93751.25 \times 0.75 = 0.9375

אחוזים אינם מספרים שאפשר לחבר — הם יחסים, וכל אחד מהם מחושב מבסיס אחר. מכפילים מקדמים, תמיד.

עלייה של 10% ואז ירידה של 10% — חוזרים למחיר המקורי?

להציג את התשובה והפתרון

לא! נשארים עם 99%: 1.1×0.9=0.991.1 \times 0.9 = 0.99. הירידה נמדדה מהמחיר הגבוה — ולכן גדולה יותר בשקלים.

תרגילים

תרגיל 1

מספר 200 גדל ב-25%, ואז התוצאה קטנה ב-25%. מה המספר הסופי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 187.5

הפתרון:

200×1.25=250200 \times 1.25 = 250

העלייה

×0.75=187.5\times 0.75 = 187.5

ואז הירידה — מהמספר החדש

אפשר גם בכפל אחד: 200×0.9375200 \times 0.9375.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מספר 500 גדל ב-10%, ואז התוצאה קטנה ב-20%. מה המספר הסופי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 440

הפתרון:

500×1.1=550500 \times 1.1 = 550

העלייה

×0.8=440\times 0.8 = 440

ואז הירידה — מהמספר החדש

אפשר גם בכפל אחד: 500×0.88500 \times 0.88.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מספר 800 גדל ב-30%, ואז התוצאה קטנה ב-10%. מה המספר הסופי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 936

הפתרון:

800×1.3=1040800 \times 1.3 = 1040

העלייה

×0.9=936\times 0.9 = 936

ואז הירידה — מהמספר החדש

אפשר גם בכפל אחד: 800×1.17800 \times 1.17.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מספר 1000 גדל ב-50%, ואז התוצאה קטנה ב-50%. מה המספר הסופי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 750

הפתרון:

1000×1.5=15001000 \times 1.5 = 1500

העלייה

×0.5=750\times 0.5 = 750

ואז הירידה — מהמספר החדש

אפשר גם בכפל אחד: 1000×0.751000 \times 0.75.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מספר גדל ב-25% ואז קטן ב-25%. מה קורה?

  1. תלוי במספר
  2. הוא חוזר למקורי
  3. הוא קטן מהמקורי ב-6.25%
  4. הוא גדל ב-6.25%
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הוא קטן מהמקורי ב-6.25%

הפתרון:

1.25×0.75=0.93751.25 \times 0.75 = 0.9375

מכפילים מקדמים

93.75% מהמקורי93.75\% \text{ מהמקורי}

כלומר ירידה של 6.25%

העלייה חושבה מהמספר הקטן והירידה מהגדול — ולכן הן לא מתקזזות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

תנור במחיר 900 ש״ח התייקר ב-15%. בכמה אחוזים צריך להוריד את המחיר החדש כדי שיעלה 828 ש״ח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

900×1.15=1035900 \times 1.15 = 1035

המחיר אחרי ההתייקרות

1035−828=2071035 - 828 = 207

כמה צריך לרדת

2071035×100=20\frac{207}{1035} \times 100 = 20

ביחס למחיר החדש

שימו לב: ההנחה נמדדת מ-1035, לא מ-900 — כי ממנו מורידים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

האם הנחה של 10% ואז עוד 10% שווה להנחה של 20%?

  1. לא — היא שווה להנחה של 19%
  2. תלוי במחיר
  3. לא — היא שווה להנחה של 21%
  4. כן
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא — היא שווה להנחה של 19%

הפתרון:

0.9×0.9=0.810.9 \times 0.9 = 0.81

משלמים 81%

100−81=19%100 - 81 = 19\%

ולכן ההנחה הכוללת היא 19%

ההנחה השנייה חושבה ממחיר שכבר ירד — ולכן היא קטנה יותר בשקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בחנות מציעים שלושה מסלולי הנחה על אותו מוצר: א) 10% ואז עוד 20% על המחיר החדש · ב) 20% ואז עוד 10% · ג) 30% בבת אחת. מה הכי משתלם לקונה?

  1. א — קודם 10% ואז 20%
  2. ב — קודם 20% ואז 10%
  3. שלושת המסלולים זהים
  4. ג — הנחה של 30% בבת אחת
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ג — הנחה של 30% בבת אחת

הפתרון:

0.9⋅0.8=0.720.9 \cdot 0.8 = 0.72

מסלול א — משלמים 72% מהמחיר

0.8⋅0.9=0.720.8 \cdot 0.9 = 0.72

מסלול ב — אותו דבר בדיוק! סדר הכפל לא משנה

0.70<0.720.70 < 0.72

מסלול ג — משלמים רק 70%

הנחה של 10% ואז 20% היא הנחה כוללת של 28% בלבד, לא 30% — כי ההנחה השנייה ניתנת על מחיר שכבר ירד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

מחיר עלה 20% ואז ירד 20%. כמה אחוזים מהמקורי נשארו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 96

הפתרון:

1.2×0.8=0.961.2 \times 0.8 = 0.96

ירידה על מחיר גבוה גדולה מהעלייה — נשארים מתחת למקור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שתי עליות של 10% — כמה אחוז עלייה בסך הכול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21

הפתרון:

1.1×1.1=1.211.1 \times 1.1 = 1.21

לא 20 — הריבית השנייה רצה גם על העלייה הראשונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת