משולש זהב

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

יש משולש ישר זווית אחד שחוזר כל כך הרבה, שנתנו לו שם: משולש הזהב. אלה המשולשים שזוויותיהם 30°30°, 60°60° ו-90°90°.

המשפט: במשולש הזהב, הצלע שמול הזווית 90°90° שווה לפעמיים הצלע שמול הזווית 30°30°.

היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

כלומר: הצלע הקטנה ביותר — זו שמול הזווית הקטנה ביותר — היא בדיוק מחצית היתר. די להכיר צלע אחת כדי לדעת מיד את השנייה.

למה זה עובד

זה לא מקרי. הזוויות הן שקובעות את צורת המשולש, והצורה קובעת את היחסים בין הצלעות. שני משולשי זהב, קטן וגדול, הם תמיד דומים — ולכן היחס ביניהם קבוע.

זו בדיוק המסקנה של פרק הדמיון: זוויות שוות פירושן יחסים שווים. משולש הזהב הוא המקרה השימושי ביותר של הכלל הזה.

והצלע השלישית

את הצלע שמול ה-60°60° אין צורך לזכור — מוצאים אותה במשפט פיתגורס, כמו כל צלע חסרה.

הצלע שמול 30°30° היא 5. מהן שתי הצלעות האחרות?

קודם היתר לפי המשפט, ואז הצלע השלישית לפי פיתגורס.

היתר=2×5=10\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \times 5 \\ &= 10\end{aligned}

לפי משפט משולש הזהב

52+b2=1025^2 + b^2 = 10^2

ואז פיתגורס

b2=100−25=75⟶b≈8.66\begin{aligned}b^2 &= 100 - 25 \\ &= 75 \quad \longrightarrow\quad b \approx 8.66\end{aligned}

ומוציאים שורש

שימו לב שהצלע השלישית כמעט אף פעם אינה מספר שלם, וזה תקין לגמרי. הכתיב המדויק שלה דורש שורשים — נושא של פרק אחר.

הטעות שנובעת מבלבול בין הצלעות.

היתר=2×הצלע שמול 60°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 60°
היתר=2×הצלע שמול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{הצלע שמול } 30°

הכפל הוא ביחס לצלע הקטנה — זו שמול הזווית הקטנה. הצלע שמול 60°60° גדולה ממנה, ואין לה יחס פשוט ליתר.

עכשיו נתרגל בשני הכיוונים.

במשולש 30-60-90 היתר 10. מהו הניצב מול ה-30?

להציג את התשובה והפתרון

5 — חצי היתר, תמיד. זו התכונה המרכזית של משולש הזהב.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 3 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

2×3=62 \times 3 = 6

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במשולש זהב, אורך היתר הוא 6 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

62=3\frac{6}{2} = 3

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 5 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2×5=102 \times 5 = 10

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש זהב, אורך היתר הוא 10 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

102=5\frac{10}{2} = 5

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 7 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

2×7=142 \times 7 = 14

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במשולש זהב, אורך היתר הוא 14 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

142=7\frac{14}{2} = 7

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 9 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

2×9=182 \times 9 = 18

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש זהב, אורך היתר הוא 18 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

182=9\frac{18}{2} = 9

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 12 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

2×12=242 \times 12 = 24

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש זהב, אורך היתר הוא 24 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

242=12\frac{24}{2} = 12

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במשולש זהב, הצלע שמול הזווית 30° היא 20 ס״מ. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

2×20=402 \times 20 = 40

היתר הוא פעמיים הצלע שמול 30°

הצלע הקטנה ביותר היא תמיד מחצית היתר — זו כל התכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש זהב, אורך היתר הוא 40 ס״מ. מה אורך הצלע שמול הזווית 30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

402=20\frac{40}{2} = 20

הכיוון ההפוך — מחצית היתר

התכונה עובדת בשני הכיוונים, ולכן שווה לזהות משולש זהב מיד לפי הזוויות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

אילו זוויות יש במשולש זהב?

  1. 30°30°, 30°30°, 120°120°
  2. 45°45°, 45°45°, 90°90°
  3. 30°30°, 60°60°, 90°90°
  4. 60°60°, 60°60°, 60°60°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 30°30°, 60°60°, 90°90°

הפתרון:

30+60+90=18030 + 60 + 90 = 180

וסכום הזוויות מתקיים

זהו המשולש שהזוויות שלו קובעות יחס פשוט במיוחד בין הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

לאיזו צלע היתר שווה פי שניים?

  1. לאף אחת מהן
  2. לשתי הצלעות
  3. לצלע שמול 30°30°
  4. לצלע שמול 60°60°
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לצלע שמול 30°30°

הפתרון:

היתר=2×מול 30°\text{היתר} = 2 \times \text{מול } 30°

הצלע הקטנה ביותר

הזווית הקטנה ביותר נמצאת תמיד מול הצלע הקטנה ביותר. הבלבול עם הצלע שמול 60° הוא הטעות הנפוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מדוע היחס נשאר קבוע גם כשהמשולש גדל?

  1. כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים
  2. זו הגדרה שרירותית
  3. זה נכון רק במשולשים קטנים
  4. כי כל המשולשים חופפים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כי הזוויות קובעות את הצורה, וכל משולשי הזהב דומים

הפתרון:

זוויות שוות→דמיון\text{זוויות שוות} \rightarrow \text{דמיון}

לפי משפט ז.ז

שני משולשי זהב הם תמיד דומים לפי ז.ז — ובמשולשים דומים היחס בין הצלעות קבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

במשולש זהב, הצלע שמול 30° היא 6 ס״מ. מה היקף המשולש? (עגלו לשלם הקרוב)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

היתר=2×6=12\begin{aligned}\text{היתר} &= 2 \times 6 \\ &= 12\end{aligned}

לפי משפט משולש הזהב

62+b2=122⟶b≈10.396^2 + b^2 = 12^2 \quad \longrightarrow\quad b \approx 10.39

הצלע השלישית לפי פיתגורס

6+12+10.39≈286 + 12 + 10.39 \approx 28

ומחברים את שלוש הצלעות

שני המשפטים בשאלה אחת: משולש הזהב נותן את היתר, ופיתגורס את הצלע החסרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ABCD
שני משולשי זהב זה בתוך זה — הגדול ABCABC, והקטן ABDABD.

במשולש ABCABC נתון ∠B=90∘\angle B = 90^\circ ו-∠C=30∘\angle C = 30^\circ. הקטע BDBD הוא גובה ליתר ACAC. הוכיחו כי AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}.

  • ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
  • ∠C=30∘\angle C = 30^\circ
  • BDBD גובה ליתר ACAC

AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2}

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ — נתון
  2. ∠C=30∘\angle C = 30^\circ — נתון
  3. BDBD גובה ליתר ACAC — נתון
  4. ∠A=60∘\angle A = 60^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — גובה מאונך לצלע שאליה הוא מגיע
  6. ∠ABD=30∘\angle ABD = 30^\circ — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  7. AD=AB2AD = \dfrac{AB}{2} — הניצב מול זווית של 30∘30^\circ שווה למחצית היתר

הפתרון:

∠A=180∘−90∘−30∘=60∘\begin{aligned}\angle A &= 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ \\ &= 60^\circ\end{aligned}

הזווית החסרה במשולש הגדול

∠ABD=180∘−90∘−60∘=30∘\begin{aligned}\angle ABD &= 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ \\ &= 30^\circ\end{aligned}

ובמשולש הקטן ABDABD

AD=AB2AD = \frac{AB}{2}

הניצב מול 30∘30^\circ

הגובה מהזווית הישרה יצר משולש זהב קטן בתוך הגדול. זה הטריק שחוזר בכל התרגילים מהסוג הזה: לחפש את משולש הזהב הנסתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת