מאיפה מגיע משולש הזהב · משולש ישר זווית · כיתה ח׳

משולש הזהב אינו צורה מיוחדת שמישהו המציא. הוא בדיוק חצי משולש שווה צלעות — וברגע שרואים את זה, גם הזוויות וגם יחס הצלעות מובנים מאליהם.

מאיפה הזוויות

במשולש שווה צלעות כל הזוויות הן 60 מעלות. כשמורידים גובה:

90°

הגובה מאונך לבסיס — וזו הזווית הישרה.

60°

זווית הבסיס נשארת כמו שהייתה. הגובה לא נגע בה.

30°

וזווית הראש נחצית — כי במשולש שווה צלעות הגובה הוא גם חוצה זווית. חצי מ-60 הוא 30.

בדיקה: $90 + 60 + 30 = 180$ . הזוויות מסתדרות, וזה לא במקרה — הן נובעות מהחיתוך.

ומאיפה יחס הצלעות

נסמן את צלע המשולש שווה הצלעות ב-2x. הגובה חוצה את הבסיס, ולכן חצי הבסיס הוא x.

2x

היתר — הוא צלע של המשולש המקורי, ולא השתנה.

x

הצלע מול ה-30° — חצי הבסיס.

x\sqrt{3}

והגובה עצמו — יוצא מפיתגורס.

\begin{aligned}\sqrt{(2x)^2 - x^2} &= \sqrt{4x^2 - x^2} \\ &= \sqrt{3x^2} \\ &= x\sqrt{3}\end{aligned}

ומכאן היחס שכדאי לזכור בעל פה: 1 : √3 : 2 — מול ה-30, מול ה-60, ומול ה-90.

הסדר לא שרירותי: הצלע הגדולה יושבת מול הזווית הגדולה. 30 מקבל את 1, 60 מקבל את √3 (בערך 1.73), ו-90 מקבל את 2.

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

10. היתר הוא תמיד פי 2 מהצלע שמול ה-30 — כי הוא היה צלע של שווה הצלעות, וזו הייתה חציה.

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°?

להציג את התשובה והפתרון

$5\sqrt{3}$ , בערך 8.66. זה הגובה של המשולש שווה הצלעות המקורי.

מדוע הצלע מול ה-30 היא בדיוק מחצית היתר?

להציג את התשובה והפתרון

כי היא חצי הבסיס של שווה הצלעות, והיתר הוא צלע שלמה — ובשווה צלעות הבסיס והצלע שווים. חצי מול שלם.

שתי הטעויות של משולש הזהב.

\text{הצלע מול } 60° = 2x

= x\sqrt{3}

פי 2 שייך ליתר, מול הזווית הישרה. מול ה-60 יושב שורש 3.

\text{כל משולש ישר זווית הוא משולש זהב}

\text{רק אם יש בו זווית של 30°}

בלי זווית של 30 (או 60) היחסים האלה אינם תקפים כלל.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש זהב, הצלע מול ה-30° היא 5. מה אורך היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

5 \times 2 = 10

היתר פי 2

כי היא חצי הבסיס והיתר צלע שלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

ובאותו משולש — מה אורך הצלע מול ה-60°? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.66

הפתרון:

5\sqrt{3} \approx 8.66

זה הגובה של שווה הצלעות המקורי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

היתר במשולש זהב הוא 14. מה אורך הצלע מול ה-30°?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

14 : 2 = 7

מחצית היתר

הכיוון ההפוך — חילוק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

צלע משולש שווה צלעות היא 12. מה אורך הגובה שלו? (עגלו לשתי ספרות)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.39

הפתרון:

12 : 2 = 6

חצי הבסיס

6\sqrt{3} \approx 10.39

הגובה הוא הצלע מול ה-60 בחצי המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

כמה זוויות של 60° יש במשולש שווה צלעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

180 : 3 = 60

וכשחוצים אותו, אחת מהן נחצית ל-30.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מדוע הגובה במשולש שווה צלעות הוא גם חוצה זווית?

הוא לא — זו טעות
זו הגדרה
כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד
רק במקרה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כי הוא שווה שוקיים מכל קודקוד

הפתרון:

\begin{aligned}\text{שווה שוקיים} \Rightarrow \text{גובה} &= \text{חוצה} \\ &= \text{תיכון}\end{aligned}

ומכאן שזווית הראש נחצית ל-30.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מהו יחס הצלעות במשולש זהב, לפי סדר הזוויות 30, 60, 90?

$1 : 2 : \sqrt{3}$
$1 : \sqrt{3} : 2$
$1 : 2 : 3$
$2 : \sqrt{3} : 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $1 : \sqrt{3} : 2$

הפתרון:

1 : \sqrt{3} : 2

הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה — תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במשולש 30-60-90 היתר 14. הניצב מול 30?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

14 : 2 = 7

חצי היתר

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

הניצב מול 30 הוא 4.5 — מהו היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

4.5 \times 2 = 9

הניצב שמול 30° שווה למחצית היתר — משפט שחוסך את כל החישוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

חצי משולש שווה צלעות שצלעו 12: מהו הניצב הקצר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

12 : 2 = 6

הגובה חוצה את הבסיס

משולש הזהב הוא חצי שווה-צלעות — משם כל תכונותיו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

מאיפה הזוויות

ומאיפה יחס הצלעות

תרגילים

השיעור הבא מחכה ב-elev