התיכון ליתר

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

זהו אחד המשפטים הקצרים והשימושיים ביותר: במשולש ישר זווית, התיכון אל היתר שווה לחצי היתר.

CM=AB2CM = \frac{AB}{2}

למה זה נכון

ההסבר הוא המעגל: כל משולש ישר זווית «יושב» על מעגל שהיתר שלו הוא הקוטר. אמצע היתר הוא לכן מרכז המעגל, ושלושת הקודקודים נמצאים עליו — במרחק רדיוס אחד. התיכון הוא בדיוק הרדיוס הזה, כלומר חצי קוטר.

זה גם מסביר עובדה שנראית מוזרה: אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים. שלוש נקודות על מעגל אחד — אותו רדיוס לכולן.

המשפט ההפוך

גם הכיוון ההפוך נכון, והוא דרך הוכחה מלאה: אם במשולש התיכון לצלע שווה למחצית אותה צלע — אז המשולש ישר זווית, והזווית הישרה נמצאת מול אותה צלע.

שימוש ישיר

במשולש ישר זווית היתר הוא 26. מהו התיכון אליו?

CM=262CM = \frac{26}{2}

לפי המשפט

CM=13CM = 13

וזהו — בלי פיתגורס ובלי אורכי הניצבים

התיכון הנכון.

כל תיכון=12הצלע שמולו\text{כל תיכון} = \tfrac{1}{2} \text{הצלע שמולו}
רק התיכון ליתר\text{רק התיכון ליתר}

המשפט מדבר אך ורק על התיכון אל היתר. שני התיכונים האחרים במשולש הזה אינם מקיימים אותו.

במשולש ישר זווית היתר 10. מה אורך התיכון ליתר?

להציג את התשובה והפתרון

5 — חצי היתר, תמיד. זו התכונה המיוחדת של התיכון ליתר במשולש ישר זווית.

ולמה זה נכון?

להציג את התשובה והפתרון

כי התיכון ליתר שווה למרחק מכל שלושת הקודקודים — הוא רדיוס המעגל החוסם, שמרכזו באמצע היתר.

תרגילים

תרגיל 1

במשולש ישר זווית היתר הוא 18. מהו התיכון אליו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

CM=182=9\begin{aligned}CM &= \frac{18}{2} \\ &= 9\end{aligned}

המשפט: התיכון ליתר שווה למחציתו

בלי פיתגורס ובלי אורכי הניצבים — המשפט מספיק לבדו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

התיכון ליתר במשולש ישר זווית הוא 7.5. מהו היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

7.5=AB27.5 = \frac{AB}{2}

מציבים במשפט

AB=15AB = 15

כופלים ב-2

הכיוון ההפוך — פשוט כפל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במשולש התיכון לצלע שווה למחצית אותה צלע. מה אפשר להסיק?

  1. המשולש שווה צלעות
  2. המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול אותה צלע
  3. המשולש שווה שוקיים
  4. אי אפשר להסיק דבר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול אותה צלע

הפתרון:

CM=12AB⇒∠C=90°\begin{aligned}CM &= \tfrac{1}{2}AB \Rightarrow \angle C \\ &= 90°\end{aligned}

המשפט ההפוך

זו דרך הוכחה מלאה — שימושית כשנתונה נקודת אמצע ואין אף זווית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במשולש ישר זווית הניצבים 9 ו-12. מהו התיכון ליתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

AB2=92+122=225\begin{aligned}AB^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

קודם פיתגורס למציאת היתר

AB=15AB = 15

מוציאים שורש

CM=152=7.5\begin{aligned}CM &= \frac{15}{2} \\ &= 7.5\end{aligned}

ואז המשפט

שני משפטים בשרשרת — פיתגורס ואז התיכון ליתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

מדוע אמצע היתר נמצא במרחק שווה משלושת הקודקודים?

  1. זה לא נכון
  2. כי המשולש שווה שוקיים
  3. כי שלושתם על מעגל שהיתר הוא קוטרו
  4. כי הניצבים שווים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כי שלושתם על מעגל שהיתר הוא קוטרו

הפתרון:

CM=AM=BM=r\begin{aligned}CM &= AM \\ &= BM \\ &= r\end{aligned}

שלושתם רדיוסים של אותו מעגל

אמצע היתר הוא מרכז המעגל, והתיכון הוא הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

התיכון ליתר 7.5 — מהו היתר?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

7.5×2=157.5 \times 2 = 15

התיכון ליתר שווה למחצית היתר — לכן הכפלה בשתיים מחזירה את היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

התיכון ליתר יוצא מ…

  1. מחוץ למשולש
  2. זווית חדה
  3. קודקוד הזווית הישרה
  4. אמצע היתר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג קודקוד הזווית הישרה

הפתרון:

90°→אמצע היתר90° \rightarrow \text{אמצע היתר}

התיכון יוצא מקודקוד הזווית הישרה ומגיע לאמצע היתר. שם, ורק שם, הוא שווה למחצית היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

במשולש ישר זווית התיכון ליתר 6.5 וניצב אחד 5. מהו הניצב השני? (רמז: היתר קודם)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

6.5×2=136.5 \times 2 = 13

היתר

132−52=14413^2 - 5^2 = 144
144=12\sqrt{144} = 12

התיכון פותח את הדלת — פיתגורס גומר את העבודה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המרחק מאמצע היתר לשלושת הקודקודים…

  1. שווה רק לשניים
  2. אינסופי
  3. שווה לשלושתם
  4. שונה לכל אחד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג שווה לשלושתם

הפתרון:

RR

אמצע היתר — מרכז המעגל החוסם

זו הסיבה העמוקה שהתיכון ליתר הוא חצי היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

ABCMD
MM הוא אמצע שני האלכסונים ACAC ו-BDBD.

במשולש ABCABC הזווית ∠B=90∘\angle B = 90^\circ, ו-MM אמצע היתר ACAC. מאריכים את BMBM עד לנקודה DD כך ש-BM=MDBM = MD. הוכיחו: ABCDABCD מלבן.

  • ∠B=90∘\angle B = 90^\circ
  • AM=MCAM = MC
  • BM=MDBM = MD

ABCDABCD מלבן

להציג את התשובה והפתרון
  1. AM=MCAM = MC — נתון — MM אמצע ACAC
  2. BM=MDBM = MD — נתון
  3. ABCDABCD מקבילית — מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית
  4. ∠B=90∘\angle B = 90^\circ — נתון
  5. ABCDABCD מלבן — מקבילית שבה זווית אחת ישרה היא מלבן
לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת