שכיח, חציון וממוצע

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

כשיש אוסף נתונים, רוצים לתאר אותו במספר אחד. יש שלוש דרכים לעשות זאת, וכל אחת עונה על שאלה אחרת.

שכיח\text{שכיח}

הערך שחוזר הכי הרבה פעמים

חציון\text{חציון}

הערך האמצעי, אחרי שמסדרים מהקטן לגדול

ממוצע\text{ממוצע}

הסכום חלקי מספר הנתונים

החציון דורש סידור

לפני שמחפשים חציון — חובה לסדר את הנתונים מהקטן לגדול. זו הטעות הנפוצה ביותר: לקחת את האיבר האמצעי ברשימה כמו שהיא, בלי לסדר.

ואם מספר הנתונים זוגי, אין איבר אמצעי יחיד — אז לוקחים את הממוצע של שני האמצעיים.

ולמה צריך שלוש

כאן הנקודה המעניינת. הממוצע מושפע מאוד מערכים קיצוניים, והחציון כמעט לא. הזיזו ערך אחד לקצה בכלי שלמטה וראו מי מהשניים זז.

זו הסיבה שבחדשות מדברים לפעמים על «השכר החציוני» ולא על השכר הממוצע: כמה משכורות עתק מושכות את הממוצע כלפי מעלה ומעוותות את התמונה, בעוד החציון מתאר את מה שקורה באמצע באמת.

ולא לכל אוסף נתונים יש שכיח. אם כל ערך מופיע פעם אחת בלבד — אין ערך שחוזר, ואין שכיח. זו תשובה לגיטימית.

עכשיו נתרגל. אחרי התרגילים נסכם.

ברשימה 2, 3, 3, 8, 40 — למה החציון מייצג טוב מהממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

הממוצע 11.2 נגרר אחרי ה-40 החריג; החציון 3 נשאר במקום. ערכים קיצוניים מזיזים ממוצע, לא חציון.

תרגילים

תרגיל 1

נתונים: 4, 7, 5, 7, 2. מהו הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2+4+5+7+7=252 + 4 + 5 + 7 + 7 = 25

מחברים את כל הנתונים

25:5=525 : 5 = 5

ומחלקים בכמותם

ממוצע = סכום חלקי כמות. תמיד שתי פעולות, בסדר הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

באותם נתונים — מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

2,4,5,7,72 , 4 , 5 , 7 , 7

קודם כול מסדרים מהקטן לגדול

55

ולוקחים את האיבר האמצעי

בלי לסדר אין חציון. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

באותם נתונים — מהו השכיח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

7 מופיע 2 פעמים7 \text{ מופיע } 2 \text{ פעמים}

הערך שחוזר הכי הרבה

השכיח הוא ערך מתוך הרשימה — לא מספר שמחשבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונים: 10, 12, 11, 15, 12, 8. מהו הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.3333

הפתרון:

8+10+11+12+12+15=688 + 10 + 11 + 12 + 12 + 15 = 68

מחברים את כל הנתונים

68:6=11.3368 : 6 = 11.33

ומחלקים בכמותם

ממוצע = סכום חלקי כמות. תמיד שתי פעולות, בסדר הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

באותם נתונים — מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.5

הפתרון:

8,10,11,12,12,158 , 10 , 11 , 12 , 12 , 15

קודם כול מסדרים מהקטן לגדול

11.511.5

ולוקחים את ממוצע שני האמצעיים

בלי לסדר אין חציון. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

באותם נתונים — מהו השכיח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

12 מופיע 2 פעמים12 \text{ מופיע } 2 \text{ פעמים}

הערך שחוזר הכי הרבה

השכיח הוא ערך מתוך הרשימה — לא מספר שמחשבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונים: 3, 8, 6, 8, 5, 8, 4. מהו הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3+4+5+6+8+8+8=423 + 4 + 5 + 6 + 8 + 8 + 8 = 42

מחברים את כל הנתונים

42:7=642 : 7 = 6

ומחלקים בכמותם

ממוצע = סכום חלקי כמות. תמיד שתי פעולות, בסדר הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

באותם נתונים — מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

3,4,5,6,8,8,83 , 4 , 5 , 6 , 8 , 8 , 8

קודם כול מסדרים מהקטן לגדול

66

ולוקחים את האיבר האמצעי

בלי לסדר אין חציון. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

באותם נתונים — מהו השכיח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

8 מופיע 3 פעמים8 \text{ מופיע } 3 \text{ פעמים}

הערך שחוזר הכי הרבה

השכיח הוא ערך מתוך הרשימה — לא מספר שמחשבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונים: 20, 22, 21, 25. מהו הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22

הפתרון:

20+21+22+25=8820 + 21 + 22 + 25 = 88

מחברים את כל הנתונים

88:4=2288 : 4 = 22

ומחלקים בכמותם

ממוצע = סכום חלקי כמות. תמיד שתי פעולות, בסדר הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

באותם נתונים — מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.5

הפתרון:

20,21,22,2520 , 21 , 22 , 25

קודם כול מסדרים מהקטן לגדול

21.521.5

ולוקחים את ממוצע שני האמצעיים

בלי לסדר אין חציון. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונים: 6, 9, 6, 12, 9, 6. מהו הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

6+6+6+9+9+12=486 + 6 + 6 + 9 + 9 + 12 = 48

מחברים את כל הנתונים

48:6=848 : 6 = 8

ומחלקים בכמותם

ממוצע = סכום חלקי כמות. תמיד שתי פעולות, בסדר הזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

באותם נתונים — מהו החציון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.5

הפתרון:

6,6,6,9,9,126 , 6 , 6 , 9 , 9 , 12

קודם כול מסדרים מהקטן לגדול

7.57.5

ולוקחים את ממוצע שני האמצעיים

בלי לסדר אין חציון. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

באותם נתונים — מהו השכיח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

6 מופיע 3 פעמים6 \text{ מופיע } 3 \text{ פעמים}

הערך שחוזר הכי הרבה

השכיח הוא ערך מתוך הרשימה — לא מספר שמחשבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

מה חייבים לעשות לפני שמחפשים חציון?

  1. לחבר את כל הנתונים
  2. לסדר את הנתונים מהקטן לגדול
  3. למצוא את השכיח
  4. לא צריך שום דבר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לסדר את הנתונים מהקטן לגדול

הפתרון:

סידור→אמצע\text{סידור} \rightarrow \text{אמצע}

החציון מוגדר על רשימה מסודרת

לקחת את האיבר האמצעי ברשימה כמו שהיא — זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

בקבוצת נתונים כל ערך מופיע פעם אחת בלבד. מהו השכיח?

  1. הערך האמצעי
  2. הממוצע
  3. אין שכיח
  4. הערך הגדול ביותר
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג אין שכיח

הפתרון:

אין ערך שחוזר\text{אין ערך שחוזר}

שכיח מוגדר לפי חזרה

«אין שכיח» היא תשובה נכונה ולגיטימית, ולא סימן שטעיתם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

בקבוצה יש ערך אחד קיצוני מאוד. מה יקרה?

  1. שניהם יזוזו באותה מידה
  2. החציון יזוז הרבה, הממוצע כמעט לא
  3. הממוצע יזוז הרבה, החציון כמעט לא
  4. אף אחד מהם לא יזוז
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הממוצע יזוז הרבה, החציון כמעט לא

הפתרון:

ממוצע: כל ערך משתתף בסכום\text{ממוצע: כל ערך משתתף בסכום}

ולכן ערך גדול מושך אותו

חציון: רק המיקום קובע\text{חציון: רק המיקום קובע}

ולכן הוא כמעט לא מושפע

זו הסיבה שבחדשות מדברים על השכר החציוני — כמה משכורות עתק מעוותות את הממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ציוני חמישה תלמידים: 60, 70, 80, 90, 100. מהו הממוצע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 80

הפתרון:

60+70+80+90+100=40060 + 70 + 80 + 90 + 100 = 400

סכום הציונים

400:5=80400 : 5 = 80

חלקי מספר התלמידים

כאן הממוצע והחציון שווים שניהם 80 — זה קורה כשהנתונים מסודרים בצורה סימטרית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

התאימו כל מקרה למה שהוא אומר

  • שכיח\text{שכיח}
  • חציון\text{חציון}
  • ממוצע\text{ממוצע}
  • הסכום חלקי מספר הנתונים
  • הערך האמצעי, אחרי שמסדרים מהקטן לגדול
  • הערך שחוזר הכי הרבה פעמים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: שכיח\text{שכיח} — הערך שחוזר הכי הרבה פעמים · חציון\text{חציון} — הערך האמצעי, אחרי שמסדרים מהקטן לגדול · ממוצע\text{ממוצע} — הסכום חלקי מספר הנתונים

הפתרון:

כל זוג כאן הופיע בשיעור — ההתאמה היא בדיוק מה שהטבלה הראתה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת